de thi chon doi tuyen toan 92016 2017 vong i

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỨC THỌ
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 9 (VÒNG I)
NĂM HỌC 2016-2017
Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 30/9/2016
9
8
3 − 4 − 2 3 là một nghiệm của đa thức P ( x ) = x − 2017x + m
1
1
2
+
=
b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn 2b = a + c . Chứng minh rằng
a+ b
b+ c
c+ a
2 2
x y
Bài 2: a) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y sao cho 2
là một số nguyên tố
x + y2

Bài 1: a) Tìm m để

b) Cho a, b là các số thực thỏa mãn a > b > 0 và a 3 − a 2 b + ab 2 − 6b3 = 0
a 4 − 4b 4
Tính giá trị của biểu thức B = 4
b − 4a 4
Bài 3: Giải các phương trình:
1
3

2
=2
b) x 2 + x + 1 −
2
( x + 1)

a) 5x x − 3 + 8 = 4 x − 3 + 10x

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC. (M khác A, C). Từ C
vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại D. Chứng minh rằng
·
·
b) DHA
= DBC

a) DA.DB = DH.DC.
c) Tổng BM. BH + CM. CA có giá trị không đổi.

Bài 5: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c =
Chứng minh rằng ab + bc + ca ≤ 3

2
2
2
+
+
a +b b+c c+a

BÀI GIẢI
Bài 1: a) Ta có

3 − 4−2 3 =

3−

(

)

3 −1

2

=

3−

(

)

3 −1 = 1

Để 1 là nghiệm của đa thức P(x) thì P ( 1) = 0 ⇒ m = 2016
b) Từ giả thiết 2b = a + c ⇒ a − b = b − c
1
1
2
+
=

Xét a = b ⇒ b = c nên
đúng
a+ a
a+ a
a+ a
Xét a ≠ b thì b ≠ c khi đó

1
1
a− b
b− c
a− b
b− c
+
=
+
=
+
a−b
b−c
a −b
a−b
a+ b
b+ c

(

)

a− c

a− c
a− c+ a− c 2 a− c
2
=
=
=
=
a−b
b−c
a −b+b−c
a −c
a+ c
2 2
x y
= p , với p là một số nguyên tố.
Bài 2: a) Đặt 2
x + y2
=

2 2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2

Khi đó x y = p ( x + y ) ⇔ x y − px − py + p = p ⇔ ( x − p ) ( y − p ) = p

Vai trò x, y như nhau và p là số nguyên tố nên xảy ra các trường hợp
2
2
 x − p = 1
( x − 1) ( x + 1) = p
⇔ 2
TH1:  2
Do p là số nguyên tố nên x – 1 = 1 ⇒ x = 2 và p = 3
2
2
 y = p + p
 y − p = p

Suy ra y 2 = 12 vô lí


 x 2 − p = p
 x 2 = 2p
⇔
TH2:  2
. Suy ra x 2 M2 ⇒ x M2 ⇒ x 2 M4 ⇒ pM2 , suy ra p = 2
 2
 y − p = p
 y = 2p
Do đó x = y = 2 thỏa mãn
Bài 3: Giải các phương trình:
a) ĐKXĐ: x ≥ 3. Ta có phương trình tương đương x − 3 ( 5x − 4 ) − 2 ( 5x − 4 ) = 0
4


x
=
x − 3 − 2 ( 5x − 4 ) = 0 ⇔ 
5 . Đối chiếu điều kiện thì x = 7 là nghiệm của phương trình

x
=
7

1
2
1
2
−1 +
−
=0
b) ĐKXĐ: x ≠ 0, x ≠ -1. Ta có 2 − 1 +
x
x +1
x + 1 ( x + 1) 2

(

)

1 + x
1− x2 1− x
1− x
1

1 
+
−
= 0 ⇔ ( 1− x )  2 +
−
=0
2
2
x
x + 1 ( x + 1)
x + 1 ( x + 1) 2 
 x

x = 1
1 + x
x = 1
x 
3
3

⇔ ( 1− x )  2 +
= 0 ⇔ ( 1− x ) ( 1+ x ) + x = 0 ⇔ 
⇔
2 


x = − 1
1
+
x

=
−
x
x
( x + 1) 



2
 1 
Đối chiếu ĐKXĐ thì tập nghiệm của phương trình S =  − ;1
 2 
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC. (M khác A, C). Từ C vẽ một
đường thẳng vuông góc với tia BM, cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại D. Chứng minh rằng
a) DA.DB = DH.DC.

·
·
b) DHA
= DBC

c) Tổng BM. BH + CM. CA có giá trị không đổi.
µ
Bài 4: a) Xét 2 tam giác vuông BHD và CAD có chung D
B
DB DH
=
nên ∆BHD ∼ ∆CAD ⇒
⇒ DA. DB = DH. DC
DC DA

DB DH
DB DC
=
⇒
=
b) Từ câu a ta có
N
DC DA
DH DA
µ
Xét hai tam giác DBC và DHA có chung D
DB DC
=
và
nên ∆DBC ∼ ∆DHA (c – g – c)
DH DA
A
·
·
Suy ra DHA
= DBC
M
c) Kẻ MN ⊥ BC (N ∈ BC). Xét 2 tam giác vuông
·
BNM và BHC có chung MBN
nên ∆BNM ∼ ∆BHC
H
BN BM
⇒
=

⇒ BM. BH = BN. BC (1)
BH BC
Tương tự ∆CNM ∼ ∆CAB ⇒ CM. CA = CN. BC (2)
D
Từ (1) và (2) ⇒ BM. BH + CM. CA = BC(BN + CN)
= BC2 không đổi
Bài 5: Vì a, b, c > 0 nên từ giả thiết ta có
ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca 
+
+
( ab + bc + ca ) ( a + b + c ) = 2 
÷
a+b
b+c
c+a


 2ab 2bc 2ca 
= 2 ( a + b + c) + 
+
+
÷ . Áp dụng bất đẳng thức CauChy ta có
a+b b+c c+a 
2ab
2ab
2bc
2ca
a + b ≥ 2 ab ⇒
≤
= ab , tương tự

≤ bc ,
≤ ca
a + b 2 ab
b+c
c+a

C


 2ab 2bc 2ca 
⇒ 2 ( a + b + c) + 
+
+
÷≤ 2 ( a + b + c ) +
a +b b+c c+a 
Mặt khác

(

a− b

) +(
2

b− c

) +(
2

c− a

)

2

(

ab + bc + ca

)

≥ 0 ⇒ ab + bc + ca ≤ a + b + c

Do đó ( ab + bc + ca ) ( a + b + c ) ≤ 3 ( a + b + c ) ⇔ ab + bc + ca ≤ 3
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
Bài giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn