Toán 11: Bài tập lượng giác ( cực hay)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.29 MB, 107 trang )

GV. TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và Biên tậ
tập)
Ll20202020v

1

,.

Chuyên đề 1

LƯỢNG GIÁC

Phần 1 - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Hàm số y = sin x và y = cos x
y = cos x

y = sin x
Tập xác định
Chu kỳ
Tính chẵn lẻ

Sự biến thiên

D=ℝ
T = 2π

D=ℝ
T = 2π

Lẻ

Chẵn

 π

π
HSĐB trên:  − + k2π ; + k2π 
2
 2


HSĐB trên: ( −π + k 2π ; k 2π
HSĐB trên: ( k 2π ; π + k 2π

π

3π
+ k2π ;
+ k2π 
2
2


HSNB trên: 

x
Bảng biến
thiên

–π −

y = sin x

π
2

0

0

π

π

2
1

–π

x

)
π

0

1

y = cos x

0

)

–1

0

–1

–1

Đồ thị

2. Hàm số y = tan x và y = cot x

y = tan x

y = cot x

π

D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ 
2


Tập xác định

D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ}

Tập giá trị
Chu kỳ
Tính chẵn lẻ

ℝ
T =π

ℝ
T =π

Lẻ

Sự biến thiên

Đồng biến trên  −

Lẻ
Nghịch

π
 π

+ kπ ; + kπ 
2
 2


x
Bảng biến
thiên

−

π

π

2

2
+∞

y = tan x
–∞

Đồ thị

biến

trên

mỗi

khoảng:

( kπ ; π + kπ )

x

0
+∞

π

y = cot x
–∞

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 11 – CHỦ
CHỦ ĐỀ 1: LƯ
LƯỢNG GIÁC

2

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tập xác định của hàm số y = f ( x ) là tập hợp tất cả các giá trị của biến số x sao cho f(x) có nghĩa.
f ( x)
có nghĩa
g ( x)

⇔ g ( x) ≠ 0

•

y=

•

y = 2 n f ( x ) có nghĩa

⇔ f ( x ) ≥ 0, (n ∈ ℕ)

•

y = 2 n +1 f ( x) có nghĩa

⇔ f ( x ) có nghĩa (n ∈ ℕ)

•

y = tan f ( x ) có nghĩa

⇔ cos f ( x ) ≠ 0 ⇔ f ( x ) ≠

•

y = cot f ( x) có nghĩa

⇔ sin f ( x ) ≠ 0 ⇔ f ( x ) ≠ kπ ,(k ∈ ℤ)

π
2

+ kπ ,( k ∈ℤ )

B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
1 − sin x
1 − cos x
a) y =
b) y =
sin x
1 + cos x

π

c) y = tan  x − 
3


π

d) y = cot  x + 
6


.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và Biên tậ
tập)

3

C. BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1.

Tìm tập xác định của mỗ i hàm số sau:
x
a) y = sin 3x
b) y = cos
2
π

e) y = 3 − sin x
f) y = tan  2 x + 
3


c) y =

3
2 cos x

g) y = cos x

2x
x −1
π

h) y = cot  2 x − 
4


d) y = cos

D. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 2.

Tìm tập xác định của mỗ i hàm số sau:
1+ x
sin x + 2
a) y = sin
b) y =
1− x
cos x + 1
1
2
e) y = sin 2
f) y =
x −1
cos x − cos 3x

c) y =

cot x
cos x − 1

g) y = tan x + cot x

d) y = tan
h) y =

Bài 3.

Tìm m để hàm số sau xác định ∀x ∈ ℝ : y = sin 4 x + cos4 x − 2m sin x cos x

Bài 4.

Tìm tập xác định của các hàm số:
a) y = 2 + tan 2 x − cos x

x
3

3
sin x − cos 2 x
2

b) y = sin 2 x − sin x + 3

Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Sử dụng phương pháp miền giá trị của hàm số lượng giác. ∀x ∈ ℝ :
0 ≤ sin 2 x ≤ 1 , 0 ≤ cos 2 x ≤ 1
−1 ≤ sin x ≤ 1 , −1 ≤ cos x ≤ 1
0 ≤ sin x ≤ 1 ,

0 ≤ sin x ≤ 1 , 0 ≤ cos x ≤ 1 (khi sin x ≥ 0 , cos x ≥ 0 )

0 ≤ cos x ≤ 1

• Sử dụng các tính chất của bắt đẳng thức:
a ≤ b
⇔ a≤c

b ≤ c
a ≤ b
a ≤ b ⇔ a + c ≤ b + c (cộng 2 vế với c)
⇔a+c≤b+d
c ≤ d
a ≤ b ⇔ a.c ≤ b.c (nếu c > 0: giữ nguyên chiều) a ≤ b ⇔ a.c ≥ b.c (nếu c < 0: đổi chiều)
a≤b⇔b≥a

a > b > 0
 ⇔ a.c > b.d
c > d > 0
a > b > 0 ⇔ a 2 n > b 2 n (n ∈ ℕ* )
• Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc: Cô-si, BCS, …

a>b>0⇔

1 1
<
a b

a > b ⇔ a 2 n +1 > b 2 n +1 ( n ∈ ℕ* )

B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗ i hàm số sau:
π

a) y = 2 cos x + 1
b) y = 3 – 2sin x
c) y = 2cos  x +  + 3
3



d) y = 1 − sin( x 2 ) − 1

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 11 – CHỦ
CHỦ ĐỀ 1: LƯ
LƯỢNG GIÁC

4

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 5.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗ i hàm số sau:
1 + 4cos2 x
a) y =
b) y = 4sin x
c) y = 2(1 + cos x ) + 1
3
d) y = cos2 x + 2cos 2 x
e) y = 2 + 3cos x
f) y = 3 – 4sin 2 x cos2 x
g) y = 2sin 2 x – cos 2 x
h) y = 3 – 2 sin x
i) y = 3 – 4sin x

π

j) y = 3sin  x −  − 2
6


π

l) y = cos x + cos  x − 
3


k) y = 5 − 2cos2 x sin 2 x

D. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 6.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
a) y = sin x + cos x

b) y = sin x (1 − 2 cos 2 x )

Bài 7.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = cot 4 x + cot 4 y + 2 tan 2 x tan 2 y + 2 .

Bài 8.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
 π 2π 
a) y = sin x trên đoạn  − ;  .
 3 3 
π
π


 π π
b) y = cos  2 x +  − cos  2 x −  trên đoạn  − ;  .
4
4


 3 6

Dạng 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên D :
∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D
a) Hàm số chẵn trên D nếu 
 f (− x ) = f ( x )
∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D
b) Hàm số lẻ trên D nếu 
 f (− x ) = − f ( x )
 ∀x ∈ D ⇒ − x0 ∉ D
c) Hàm số không chẵn, không lẻ trên D nếu:  0
 ∀x0 ∈ D : f (− x0 ) ≠ f ( x0 ) ≠ − f ( x0 )

Nhận xét:
Chú ý:

Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung
Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
x = −x
(a − b) 2 n = (b − a) 2 n , n ∈ ℝ

(a − b) 2 n +1 = −(b − a) 2 n +1 , n ∈ ℝ

GV. TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và Biên tậ
tập)

5

B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẻ của mỗ i hàm sồ sau:
a) y = x – sin x
b) y = 3sin x – 2
cos x
d) y = sin x cos x + tan x
e) y =
x

c) y = sin x – cos x
f) y = 1 − cos x

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 11 – CHỦ
CHỦ ĐỀ 1: LƯ
LƯỢNG GIÁC

6

C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Bài 9.

Xét tính chẵn lẻ của mỗ i hàm sồ sau:
tan x + cot x
1 + cos x
a) y =
b) y =
1 − sin 2 x
1 − cos x
π

d) y = cos3 x
e) y = tan  x + 
5

g) y =

x
sin x + tan x

h) y =

c) y = x 3 sin 2 x
f) y =

x3 − sin x
cos 2 x

sin 4 1 − x 2 − cos 6 x 2 − 1

1− x

Dạng 4. Tính tuần hoàn của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để xét tính tuần hoàn của các hàm số ta dựa vào khái niệm sau:
Hàm số y = f ( x ) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu
∀x ∈ D ⇒ x ± T ∈ D
.
∃T ≠ 0 sao cho 
 f ( x + T ) = f ( x ) , ∀x ∈ D

Nếu tồn tại số T > 0 nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T được gọi là chu kỳ của
hàm số tuần hoàn y = f ( x ) .
Chú ý: ● y = sin ( ax + b ) có chu kỳ T0 =
● y = tan ( ax + b ) có chu kỳ T0 =

2π
.
a

● y = cos ( ax + b ) có chu kỳ T0 =

2π
.
a

π

● y = cot ( ax + b ) có chu kỳ T0 =

π

a

.

a

.

● y = f1 ( x ) có chu kỳ T1 và y = f 2 ( x ) có chu kỳ T2 thì hàm số y = f1 ( x ) ± f 2 ( x ) có

chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2 .

C. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 4. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau
a) y = 1 + sin 2 2 x .

b) y =

1
.
sin 2 x

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và Biên tậ
tập)

7

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

Ví dụ 5. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau
a) y = x + sin x .
b) y = sin 2 2 x + cos 2 2 x .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Bài 10.
Bài 11.

Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau ( a ≠ 0 ):

a) y = sin ( ax + b )
b) y = cos ( ax + b )
c) y = tan ( ax + b )
Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số:
a) y = cos3x. (1 + cos x ) b) y = sin 6 x + cos6 x c) y = sin( x 2 )

d) y = cot ( ax + b )

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 11 – CHỦ
CHỦ ĐỀ 1: LƯ
LƯỢNG GIÁC

8

Dạng 5. Sử dụng đồ thị
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Vẽ đồ thị hàm số trên miền đã chỉ ra.
• Dựa vào đồ thị xác định giá tị cần tìm.

B. BÀI TẬP MẪU
3π 

Ví dụ 6. Hãy xác định giá trị của x trên đoạn  −π ;
để hàm số y = tan x nhận giá trị:
2 


a) bằng 0 .
b) bằng 1 .
c) dương.
d) âm.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

 3π

Ví dụ 7. Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x , tìm những giá trị của x trên đoạn  −
; 2π  để hàm số đó:
 2


a) Nhận giá trị bằng –1 .

b) Nhận giá trị âm.

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x , tìm các giá trị của x để cos x =

Bài 13.

Cho các hàm số f ( x ) = sin x , g ( x ) = cos x , h ( x ) = tan x và các khoảng:
3π 
610π 

 π π
 31π 33π 
 452π
J1 =  π ;
;
;−
 , J 2 =  − ;  , J3 = 
 , J4 =  −

2 
4 
3
4 

 4 4
 4

Hỏi hàm nào trong ba hàm trên đồng biến trên khoảng J1 ? Trên khoảng J 2 ? Trên khoảng J 3 ?
Trên khoảng J 4 ? (Trả lời bằng cách lập bảng biến thiên)

Bài 14.

Trong mỗi khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai? Giải thích vì sao?
a) Trên mỗ i khoảng mà hàm số y = sin x đồng biến thì hàm số y = cos x nghịch biến.
b) Trên mỗ i khoảng mà hàm số y = sin 2 x đồng biến thì hàm số y = cos2 x nghịch biến.

Bài 15.

Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x hãy vẽ đồ thị hàm số y = sin x .

Bài 16.

Cho hàm số y = f ( x ) = 2 sin 2 x
a) Chứng minh rằng với số nguyên dương k tùy ý, luôn có f ( x + kπ ) = f ( x ) với mọ i x .
 π π
b) Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2sin 2 x trên đoạn  − ;  .
 2 2
c) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin 2 x

Bài 17.

CMR: sin 2( x + kπ ) = sin 2 x với mọ i số nguyên k . Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin 2 x .

Bài 18.

1
x
x
CMR: cos ( x + k 4π ) = cos với mọ i số nguyên k . Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = cos rồi suy
2
2

2
x
ra đồ thị hàm số y = cos .
2

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 11 – CHỦ
CHỦ ĐỀ 1: LƯ
LƯỢNG GIÁC

10

Phần 2 - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Dạng 1. Phương trình cơ bản
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Chú ý:
Khi gặp dấu trừ ở trước thì:
– sin x = sin ( – x ) – cos x = cos (π – x )

– tan x = tan ( – x )

– cot x = cot ( – x )
0

Khi giải phải dùng đơn vị là rad nếu đề bài không cho độ ( ).

GV. TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và Biên tậ
tập)

11

B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:
3
a) sin x = −
2

π
3

d) cot  x +  =
3 3


π
2

b) cos  3 x −  = −
6
2


1
e) sin x =
4

c) tan ( 3 x – 30° ) = –1
f) cos ( x + 3) =

1
3

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

1
a) sin ( x – 60° ) =
2
π
1

d) cos  2 x +  = −
3
2


π
x π
g) tan  −  = tan
8
2 4
2
j) sin 4 x =
3
3
m) sin ( 2 x –15° ) = −
2

c) cos ( x – 2 ) =

b) sin 2 x = –1
e) cos ( 2 x + 50° ) =

1
2

3
x

h) cot  + 20°  = −
3
3

3
k) cos ( 3x – 45° ) =
2
1
x

n) sin  + 10°  = −
2
2


2
5

π

f) cot  4 x −  = 3
6

2π
i) tan 2 x = tan
7

3
2
3
o) sin 2 x =
2
l) sin 3x = –

Dạng 2. Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác là các phương trình có dạng:
asinx + b = 0 ; acosx + b = 0 ; atanx + b = 0 ; acotx + b = 0

Phương pháp giải: Chuyển về phương trình lượng giác cơ bản.

B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau:
a) 3sin 4 x = 2

b) 2sin 2 x − 1 = 0

c)

d) 2cos ( x + 50° ) = − 3

e) 2cos x – 3 = 0

f)

π


3 cot  x +  − 1 = 0
3

3 tan 3x – 3 = 0

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và Biên tậ
tập)

Ví dụ 10. Giải các phương trình sau:
π

a) cos 2 x.cot  x −  = 0
4

c) (1 + 2 cos x )( 3 – cos x ) = 0

13

x 
x 

b)  cot − 1 cot + 1 = 0
3 
2 

d) ( cot x + 1) .sin 3 x = 0

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

Ví dụ 11. Giải các phương trình sau:
a) cos 3x – sin 2 x = 0

b) tan x. tan 2 x = –1

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 11 – CHỦ
CHỦ ĐỀ 1: LƯ
LƯỢNG GIÁC

14

C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 20.

Giải các phương trình sau:
a) sin 2 x.cot x = 0

b) tan ( x – 30° ) .cos ( 2 x –150° ) = 0

c) ( 2cos 2 x –1) (2sin 2 x – 3 ) = 0

d) 3tan x + 3 ( 2sin x –1) = 0

e) tan ( 2 x + 60° ) cos ( x + 75° ) = 0

f)

(

)

g) ( sin x + 1) 2cos 2 x – 2 = 0

(

h)

)

( 2 + cos x )( 3cos 2 x – 1) = 0
( sin 2 x – 1)( cos x + 1) = 0

C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 21.

Giải các phương trình sau:
a) sin 3x = cos 2 x
c) sin 3x + sin 5 x = 0
e) sin x – cos ( x + 60° ) = 0

b) cos x = – sin 2 x
d) cot 2 x.cot 3x = 1
f) cos ( x –10° ) + sin x = 0

π
π


g) sin  x +  = − sin  2 x − 
3
4



i) tan 3 x + tan x = 0
k) sin 2 x + cos 3x = 0
m) cot 2 x cot ( x + 45° ) = 1

π

h) cos  2 x −  = − cos x
4

f) tan 3 x + tan ( 2 x – 45° ) = 0
l) tan x.tan 3 x = 1
n) tan ( 3 x + 2 ) + cot 2 x = 0

π

π

o) cos  2 x −  − sin  − x  = 0
4

3


π
π


p) cos  2 x +  + cos  x − 

3
6



(

)

q) ( sin x + 1) 2cos 2 x – 2 = 0

Bài 22.

Giải các phương trình sau:
1
a) sin 2 x =
4
2
d) sin ( x – 45° ) = cos 2 x

r)

( sin 2 x – 1)( cos x + 1) = 0

b) 4cos 2 x – 3 = 0

c) sin 2 3 x – cos 2 x = 0

e) 8cos3 x –1 = 0

f) tan 2 ( x + 1) = 3

Dạng 3. Tìm nghiệm phương trình lượng giác trên
khoảng, đoạn cho trước
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bước 1. Giải phương trình lượng giác đã cho và tìm các họ nghiệm (nếu có)
Bước 2. Với mỗi họ nghiệm tìm được, cho thuộc khoảng, đoạn đề cho và tìm k

(k ∈ℤ)

Bước 3. Ứng với mỗi giá trị k vừa tìm được, thế vào họ nghiệm tìm nghiệm tương ứng.

B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 12. Giải các phương trình sau:
2
a) sin ( 2 x –15° ) =
với –120° < x < 90°
2

π
3

b) tan  2 x +  = −
với 0 < x < π
4
3


.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và Biên tậ
tập)

15

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

2

2
2

với –π < x < 0

d) cos ( x – 2 ) =

với –15° < x < 15°

π

f) sin  x +  = 1
4


với 0 < x < 2π
với x ∈ [0; π ]
với x ∈ [π ; 2π ]

C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 24.

Tìm nghiệm thuộc đoạn [ 0;14] của phương trình: cos 3x − 4 cos 2 x + 3cos x − 4 = 0

Bài 25.

sin 2 x − cos 2 x
 π 

Tính giá trị của x ∈  − ; 0  thỏa mãn phương trình: cot x =
2 + sin 2 x
 2 

Bài 26.

cos 3x + sin 3 x 

Tìm nghiệm thuộc ( 0; 2π ) của phương trình: 5  sin x +
 = cos 2 x + 3
1 + 2sin 2 x 


TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 11 – CHỦ
CHỦ ĐỀ 1: LƯ
LƯỢNG GIÁC

16

Dạng 4. Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Là các phương trình mà sau khi biến đổi ta được một trong các dạng sau ( a ≠ 0 ) :

•

asin 2 u + bsinu + c = 0 ( 1)

•

Đặt t = sinu
Điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1
(1) ⇔ at 2 + bt + c = 0

•

a tan 2 u + b tan u + c = 0 ( 1)

acos 2 u + bcosu + c = 0 ( 1)

Đặt t = cosu
Điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1

(1) ⇔ at 2 + bt + c = 0
•

acot 2 u + bcotu + c = 0 ( 1)

Điều kiện: cos u ≠ 0 .
Đặt t = tanu ,

Điều kiện: sinu ≠ 0
Đặt t = cotu ,

(1) ⇔ at 2 + bt + c = 0

(1) ⇔ at 2 + bt + c = 0

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 13. Giải các phương trình sau:
a) 2sin 2 x + 3sin x − 2 = 0
c) 3cos 2 x − 5cos x + 2 = 0

b) 3cot 2 x + 3cot x − 2 = 0
d) 3 tan 2 x − 2 3 tan x + 1 = 0

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

Giải các phương trình sau:
a) 2cos 2 x + 2 cos x – 2 = 0
c) 6sin 2 x – 5sin x – 4 = 0

(

)

e) tan 2 3 x + 1 − 3 tan 3x − 3 = 0

f) 4cot 2

x
x
− 2 2 + 1 cos + 2 = 0
2
2
2
i) 2sin x − 3sin x − 5 = 0

h) 2sin 2

g) 4cos 2

Bài 28.

b) 2cos 2 x – 3cos x + 1 = 0
d) 3 tan 2 x − 1 + 3 tan x + 1 = 0

(

)

(
x
− 2(
3

)
x
3 − 1) cot −
3

3=0

x
x
+ 2 sin − 2 = 0
2
2
2
j) 2 tan x + 3tan x + 1 = 0

Giải các phương trình sau:
a) sin 2 x – 2cos x + 2 = 0

b) cos2 x + sin x + 1 = 0

c) 2cos 2 x + 4sin x + 1 = 0

d) 2cos 2 x – 2

e) cos 2 x + 9 cos x + 5 = 0

f) cos5 x.cos x = cos 4 x.cos 2 x + 3cos 2 x + 1
π

π
 5
h) cos 2  x +  + 4cos  − x  =
3

6
 2
1
j)
– 1 + tan x – 3 ( tan x + 1) = 0
cos 2 x
1 − tan 2 x
l) cos 4 x – 3
+2=0
1 + tan 2 x

g) cot 4 x – 4cot 2 x + 3 = 0
i) tan 2 x –

4
+5 = 0
cos x

k) tan x − 2 cot x + 1 = 0

(

)

3 + 1 cos x + 3 + 2 = 0

C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 29.

Giải các phương trình sau:
π
π 9


a) sin 4 x + sin 4  x +  + cos 4  x +  =
4
4 8


π
π


b) cos  2 x +  + cos  2 x −  + 4sin x = 2 + 2 (1 − sin x )
4
4




Bài 30.

Giải các phương trình sau:
1
π

a) tan 3 x –1 +
+ 2cot  − x  = 3
2
cos x
3

c) 1 + sin 3x = sin x + cos 2 x
e) cos 2 x +

1
1
7
+ cos x −
− =0
2
cos x
cos x 4

b) 2sin 2 x = 1 + sin 3 x
d) tan 2 x + cot 2 x + 2 ( tan x + cot x ) = 6
f)

1
5
+ cot 2 x + ( tan x + cot x ) + 2 = 0
2
cos x
2

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 11 – CHỦ
CHỦ ĐỀ 1: LƯ
LƯỢNG GIÁC

18

Dạng 5. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
(Phương trình cổ điển)
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
a sin x + b cos x = c

(1)

với a, b, c ∈ ℝ , và a 2 + b 2 ≠ 0

Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a 2 + b 2 ≥ c 2

Chia 2 vế phương trình cho a 2 + b 2 , ta được:
a

b
c
.s inx +
.cos x =
a 2 + b2
a 2 + b2
a 2 + b2
2

2


 

a
b
b
a
Vì 
+
, sin α =

 = 1 nên đặt cos α =
2
2
2
2
2
2
2

a +b
a + b2
 a +b   a +b 
c
Khi đó ta được:
sin ( x + α ) =
rồi giải như phương trình cơ bản.
2
a + b2
Chú ý: Nếu a = b có thể dùng công thức sau để giải:

π
π


sin x ± cos x = 2 sin  x ±  = ± 2 cos  x ∓ 
4
4


B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 15. Giải các phương trình sau:
a) sin x + 3 cos x = 1
c) 3sin 3 x – 4cos 3x = 5

b) cos x – 3 sin x = 2
d) 2sin x + 2cos x − 2 = 0

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và Biên tậ
tập)

Ví dụ 16. Giải các phương trình sau:
a) cos x – 3 sin x = 2cos 3x

19

b) sin 9 x + 3 cos 7 x = sin 7 x + 3 cos9 x

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 31.

Giải các phương trình sau:
6
a) sin x – cos x =
2
c) sin 4 x + cos 4 x = 3
e) 3sin x + 3 cos x = 1
g) cos x + 4sin x + 1 = 0
i) cos ( 2 x – 15° ) + sin ( 2 x – 15° ) = –1

d) 2sin x – 9 cos x = 85

f) 2 cos x – 3sin x + 2 = 0
h) 2 sin 2 x + 3cos 2 x = 4
j) sin 2 x – 3 cos 2 x = 1

k) 5 cos 2 x + 12sin 2 x = 13

l) 2sin x + 2cos x = 2

b)

3 cos x + sin x = – 2

C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 32.

Giải các phương trình sau:
a) 2sin 2 2 x + 3 sin 4 x = –3

π
π 3 2


c) 2sin  x +  + sin  x −  =
4
4
2


1
e) sin 2 x + sin 2 x =

2
2
2
g) 3cos x – sin x – sin 2 x = 0
i) 2cos 2 x – sin 2 x = 2 ( sin x + cos x )

h) 4sin x cos x = 13 sin 4 x + 3cos 2 x
j) 2sin17 x + 3 cos5 x + sin 5 x = 0

k) sin 5 x + cos5 x = 2 cos13x

l) 8sin 2

m)

Bài 33.

π

b) cos x + 3 sin x = 2cos  − x 
3


1 + sin x 1
=
1 + cos x 2

π
π 5 2



d) 2cos  x +  + 3cos  x −  =
6
3
2


f) 2sin 2 x + 3 sin 2 x = 3

x
– 3sin x – 4 = 0
2
1 − cos 4 x
sin 4 x
n)
=
2sin 2 x 1 + cos 4 x

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các hàm số sau:
a) y = 2sin x + 3 cos x + 1
c) y = 2sin 2 x + 4sin x cos x + 3
sin x + cos x − 1
b) y = sin 2 x + cos 2 x – 2
d) y =
sin x − cos x + 3

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ

TẬP TOÁN 11 – CHỦ
CHỦ ĐỀ 1: LƯ
LƯỢNG GIÁC

20

Dạng 6. Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sin x và cos x
(Phương trình đẳng cấp)
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0
Hoặc

( 2)

a′ sin 2 x + b′ sin x cos x + c′ cos2 x = d

(1)
( 2)

⇔ a′ sin 2 x + b′ sin x cos x + c′ cos 2 x = d ( sin 2 x + cos 2 x )
⇔ ( a ′ – d ) sin 2 x + b′ sin x cos x + ( c ′ – d ) cos 2 x = 0

( 2′ )

Phương trình ( 2′ ) cũng là dạng (1) , nên ta chỉ xét dạng (1) . Nếu gặp dạng ( 2 ) thì ta đưa
về dạng (1) như trên.
Sau đây là cách giải dạng (1) :
 cos x = 0
Nếu a = 0 và b, c ≠ 0 thì (1) ⇔ cos x. ( b sin x + c cos x ) = 0 ⇔ 
b sin x + c cos x = 0

sin x = 0
Nếu c = 0 và b, a ≠ 0 thì (1) ⇔ sin x. ( a sin x + b cos x ) = 0 ⇔ 
 a sin x + b cos x = 0
Nếu a, b, c ≠ 0 :
Kiểm tra xem với cos x = 0 thì (1) có thỏa hay không? ( cos x = 0 thì sin x = ±1 ). Nếu

π

+ kπ ( k ∈ ℤ ) .
2
Với cos x ≠ 0 , chia 2 vế của (1) cho cos 2 x , ta được phương trình:

thỏa thì kết luận rằng phương trình có 1 họ nghiệm là x =

a tan 2 x + b tan x + c = 0

(1′)

(1′ ) là phương trình bậc 2 theo tanx , ta đã biết cách giải (Xem phần 2).
Nghiệm của (1) là nghiệm của (1′ ) và x =

π

+ kπ (nếu có).
2
Chú ý: Ngoài ra ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa (1) về dạng phương trình

bậc nhất theo sin 2x và cos 2x (Phần 3). Với:
1 − cos 2 x
1 + cos 2 x

1
sin 2 x =
, cos 2 x =
, sin x.cos x = sin 2 x
2
2
2
3
2
☺ Phương trình đẳng cấp bậc 3: a sin x + b sin x cos x + c.sin x cos2 x + d cos3 x = 0
Giải tương tự như đẳng cấp bậc 2.

B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 17. Giải các phương trình sau:
a) 2sin 2 x − 5sin x cos x − cos 2 x = −2
c) 3 sin 2 x + 2cos 2 x –1 = 0

b) 4sin 2 x – 3 3 sin 2 x – 2cos 2 x = 4
d) 2 cos 2 x + 3sin 2 x – 8sin 2 x = 0

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ

tầm và Biên tậ
tập)

21

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 11 – CHỦ
CHỦ ĐỀ 1: LƯ
LƯỢNG GIÁC

22

C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 34.

Giải các phương trình sau:
a) 2sin 2 x + sin x cos x – 3cos 2 x = 0
1
c) sin 2 x + sin 2 x – 2 cos 2 x =
2
2
e) sin x –10sin x cos x + 21cos 2 x = 0
g) cos 2 x – 3 sin 2 x – sin 2 x = 1
i) 3sin 2 x – 2 3 sin x cos x + cos 2 x –1 = 0
k) 3cos 2 x + 3sin x cos x + 2sin 2 x = 1
m) 3 sin 2 x + 2 cos 2 x –1 = 0

b) 3sin 2 x – 4sin x cos x + 5cos 2 x = 2
d) 2cos 2 x + sin 2 x – 4sin 2 x = –4
f)
h)
j)
l)
n)

cos 2 x – 3sin x cos x + 1 = 0
2cos 2 x – 3sin x cos x + sin 2 x = 0
3cos 2 x + sin x cos x + 2sin 2 x = 2
3 cos 2 x – sin 2 x – 3 sin 2 x = 1
2cos 2 x + 3sin 2 x – 8sin 2 x = 0

C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 35.

Giải các phương trình sau:

a) sin 3 x + cos3 x = sin x + cos x
c) 3cos 4 x − 4cos 2 x sin 2 x − sin 4 x = 0
π

e) 2 2 cos3  x −  − 3cos x − sin x = 0
4


b) sin 3 x + 2sin 2 x cos x – 3cos 3 x = 0
d) sin x − 4sin 3 x + cos x = 0

Dạng 7. [NC] Phương trình đối xứng – Phản đối xứng
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1:

a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x = c

(1)

π

Đặt t = sin x + cos x = 2 sin  x +  , Điều kiện: – 2 ≤ t ≤ 2
4

t 2 −1
2
⇔ t = 1 + 2sin x cos x ⇔ sin x cos x =
2
2
t −1

= c ⇔ bt 2 + 2at – b – 2c = 0
(1) ⇔ at + b.
( 2)
2
Giải phương trình ( 2 ) , chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 ≤ t ≤ 2
π

Giải phương trình sin  x +  = t để tìm x .
4

Dạng 2: a ( sin x – cos x ) + b sin x cos x = c

(1)

π

Đặt t = sin x – cos x = 2 sin  x –  , Điều kiện: –
4

1− t2
⇔ t 2 = 1 − 2sin x cos x
⇔ sin x cos x =
2
2
1− t
= c ⇔ bt 2 − 2at – b + 2c = 0
(1) ⇔ at + b.
2
Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện:
π


Giải phương trình sin  x −  = t để tìm x .
4

Dạng 3: a sin x ± cos x + b sin x cos x = c
π

Đặt t = sin x ± cos x = 2 sin  x ± 
4

Giải tương tự như trên.

2 ≤t≤ 2

( 2)
– 2 ≤t≤ 2

(1)
Điều kiện: 0 ≤ t ≤ 2

GV. TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và Biên tậ
tập)

23

B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 18. Giải các phương trình sau:
a) 5sin 2 x – 12 ( sin x – cos x ) + 12 = 0

b) 3 ( sin x + cos x ) – sin 2 x – 3 = 0

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 36.

Giải các phương trình sau:

a) ( cos x – sin x ) + 2 sin 2 x – 1 = 0

b) 2 sin x + cos x + 3sin 2 x = 2

c) sin x – cos x + 4sin 2 x = 1

d) tan x + cot x = 2 ( sin x + cos x )

e) (1 + sin 2 x )( cos x – sin x ) = cos 2 x

f) 2sin 4 x + 3 ( sin 2 x + cos 2 x ) + 3 = 0

g) cos x +

π

h) sin 2 x – 2 sin  x +  + 1 = 0
4


1
1
10
+ sin x +
=
cos x
sin x 3

Dạng 8. [NC] Phương trình lượng giác không mẫu mực
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

A ≥ 0 ∧ B ≥ 0
⇔
A + B = 0

a. Trường hợp 1: Tổng hai số không âm: 

A = 0

B = 0

A ≤ M ≤ B
A = M
⇔ 

A = B
B = M
 A ≤ M va B ≤ N
A = M
c. Trường hợp 3: Sử dụng tính chất: 
⇔ 
A + B = M + N
B = N

b. Trường hợp 2: Phương pháp đối lập:

Toán 11: Bài tập lượng giác ( cực hay)

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về