Ôn tập toán 11 - Phương trình lượng giác

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
I/Các hàm số lượng giác:
1/Các hàm số lượng giác và tính chất
Hàm số
siny x=
Hàm số
cosy x=
-Tập xác định là
¡
-Tập xác định là
¡
-Tập giá trị là
[ ]
1;1−
-Tập giá trị là
[ ]
1;1−
-Là hàm số lẻ -Là hàm số chẵn
-Tuần hoàn với chu kỳ
2
π
-Tuần hoàn với chu kỳ
2
π
-Đồng biến trên mỗi khoảng
2 ; 2
2 2
k k
π π

 
− + π + π
 ÷
 
Và nghịch biến trên mỗi khoảng
2 ; 2 ,
2 2
k k k
π 3π
 
+ π + π ∈
 ÷
 
¢
-Đồng biến trên mỗi khoảng
( )
2 ; 2k k−π + π π
Và nghịch biến trên mỗi khoảng
( )
2 ; 2 ,k k kπ π + π ∈ ¢
-Có đồ thị là đường hình Sin -Có đồ thị là đường hình Sin
Hàm số
tany x=
Hàm số
coty x=
-Tập xác định là
\
2
k k
π

 
= + π ∈
 
 
¢¡
1
D
-Tập xác định là
{ }
\ k k= π ∈ ¢¡
2
D
-Tập giá trị là
¡
-Tập giá trị là
¡
-Là hàm số lẻ -Là hàm số lẻ
-Tuần hoàn với chu kỳ
π
-Tuần hoàn với chu kỳ
π
-Đồng biến trên mỗi khoảng
; ,
2 2
k k k
π π
 
− + π + π ∈
 ÷
 

¢
-Và nghịch biến trên mỗi khoảng
( )
; ,k k kπ π + π ∈ ¢
-Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng
,
2
x k k
π
= + π ∈ ¢
làm đường tiệm cận
-Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng
,x k k= π ∈ ¢
làm
đường tiệm cận
2.Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
Cung đối nhau
α
và
−α
( )
( )
( )
cos cos
sin sin
tan( ) tan
cot cot
−α = α
−α = − α
−α = − α

−α = − α
Cung bù nhau:
α
và
π −α
( )
( )
( )
( )
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
π−α = α
π −α = − α
π−α = − α
π−α − − α
Cung hơn kém
π
:
α
và
α + π
( )
( )
( )
( )
sin sin
cos cos
tan tan

cot cot
α + π = − α
α + π = − α
α + π = α
α + π = α
Cung phụ nhau:
α
và
2
π
− α
sin cos ;cos sin
2 2
tan cot ;cot tan
2 2
π π
   
−α = α −α = α
 ÷  ÷
   
π π
   
−α = α − α = α
 ÷  ÷
   
Biên soạn: Nguyễn Lê Quang Duy
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
II/Các công thức:
1/ Các công thức lượng giác cơ bản:

2 2
2 2
2 2
sin cos
sin cos 1;tan ;cot
cos sin
1 1
tan 1 ;cot 1
cos sin
x x
x x x x
x x
x x
x x
+ = = =
+ = + =
a) công thức cộng: b)Công thức nhân:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
cos cos .cos sin .sin
cos cos .cos sin .sin
sin sin .cos cos .sin
sin sin .cos cos .sin
tan tan
tan
1 tan .tan

tan tan
tan
1 tan .tan
α −β = α β+ α β
α + β = α β − α β
α −β = α β − α β
α + β = α β + α β
α − β
α −β =
+ α β
α + β
α + β =
− α β
2 2 2 2
3
3
2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 sin
sin 2 2sin .cos
sin 3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
2 tan
tan 2
1 tan
α = α − α = α − = − α
α = α α
α = α − α
α = α − α
α
α =

− α
Hệ quả: Công thức đại số hoá:
2
2
2
1 cos 2
cos
2
1 cos 2
sin
2
1 cos 2
tan
1 cos2
+ α
α =
− α
α =
− α
α =
+ α
Nếu đặt
tan
2
t
α
=
thì
2
2

2
2
1
cos
1
2
sin
1
2
tan
1
t
t
t
t
t
t
−
α =
+
α =
+
α =
−
c)Công thức biến đổi tích thành tổng:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1

cos .cos cos cos
2
1
sin .sin cos cos
2
1
sin .cos sin sin
2
1
cos .sin sin sin(
2
α β = α +β + α −β 
 
α β = α +β − α −β
 
 
α β = α +β + α −β 
 
α β = α +β − α −β 
 
d)Công thức biến đổi tổng thành tích:
Biên soạn: Nguyễn Lê Quang Duy
Trang 2
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
( ) ( )
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos ;sin sin 2cos sin

2 2 2 2
sin sin
tan tan ; tan tan
cos .cos cos .cos
α +β α −β
α + β =
α +β α −β
α − β = −
α + β α −β α + β α −β
α + β = α − β =
α +β α −β
α + β = α − β =
α β α β
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
I/Phương trình lượng giác cơ bản:
) cosu = cosv u = v + k2
2
) sinu = sinv u = ,k
2
c) tanu = tanv u = v + k ,k
d) cotu = cotv u = v + k ,k
a
v k
b
v k
⇔ ± π , κ∈
+ π

⇔ ∈


π− + π

⇔ π ∈
⇔ π ∈
¢
¢
¢
¢
*Phương trình bậc nhất đối với
sin ,cosu u
:
sin cosA x B x C+ =
Điều kiện có nghiệm
2 2 2
A B C+ ≥
Phương pháp: đưa phương trình về dạng
2 2
2 2
sin( )
cos( )
C
x
A B
C
x
A B

+ α =

+



−β =

+

II/Phương trình chỉ chứa 1 hàm số lượng giác.
1Phương trình chỉ chứa 1 hàm số lượng giác.
Dạng: F(sinx) = 0 hoặcF(cosx) = 0 hoặc F(tanx) = 0 hoặc F(cotx) = 0
Cách giải: Đặt t = sinx, cosx, tanx, cotx tùy từng dạng; đưa phương trình về dạng F(t)=0. Chú ý
với t = sinx hoặc t = cosx thì
1t ≤
.
2.Phương trình đẳng cấp cấp n của sinx, cosx:
Dạng:
1
0 1
sin sin .cos ... cos 0
n n n
n
a x a x x a x
−
+ + + =
Cách giải:
*Khi
0
0a =
phương trình dạng
( )
1 2 2 1

1 2
cos sin sin .cos ... cos 0
n n n
n
x a x a x x a x
− − −
+ + + =
1 2 2 1
1 2
sin sin .cos ... cos 0
n n n
n
a x a x x a x
− − −
+ + + =
phương trình đẳng cấp cấp n-1
*Khi
0
0a ≠ ⇒
cos 0x =
không là nghiệm; chia cả 2 vế phương trình cho
cos x
, sau đó đặt
tant x=
rồi đưa về phương trình đạn số theo biến t.
3.Một số phương trình đưa về đẳng cấp:
*Dạng:
2 2
sin sin .cos cosa x b x x c x d+ + =
Cách giải: chuyển về phương trình đẳng cấp cấp 2 bằng cách thay

( )
2 2
sin cosd d x x= +
*Dạng:
3 2 2 3
asin sin .cos sin .cos cos sin cosx b x x c x x d x e x f x g+ + + + + =
Cách giải: chuyển về phương trình đẳng cấp cấp 3 bằng cách thay
( )
( )
( )
2 2
2 2
sin cos sin cos sin cos
sin cos
e x f x e x f x x x
g g x x
+ = + +
= +
III/Phương trình chỉ chứa đồng thời
( )
sin cos
m
x x±
và
( )
sin .cos
n
x x
Dạng:
( ) ( )

sin cos sin .cos 0
m n
A x x B x x C± + + =
Biên soạn: Nguyễn Lê Quang Duy
Trang 3
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Cách giải: Đặt
( )
2
1
sin cos ; 2 2 sin .cos
2
t
t x x t x x
−
= ± − ≤ ≤ ⇒ = ±
.Đưa phương trình về
phương trình đại số theo t:
2
1
0
2
n
m
t
At B C
 
−
+ ± + =
 ÷

 
IV/Phương pháp đánh giá.
Nếu
A B
C D
E F
≤


≤


≤

Thì phương trình
A C E B D F+ + = + +
tương đương với phương trình
A B
C D
E F
=


=


=

C.BÀI TẬP.
I/ Phương trình cơ bản.

1. Giải các phương trình sau:
1)
3
sin 2
2
x =
2)
( )
2
cos 2 25
2
x + = −
o
3)
( )
cot 4 2 3x + = −
4)
( )
3
tan 15
3
x + =
o
5)
( )
2
sin 2 15
2
x − =
o

với
120 90x− < <
o o
6)
( )
1
cos 2 1
2
x + =
với
x−π < < π
7)
( )
tan 3 2 3x + =
với
2 2
x
−π π
< <
8)
( ) ( )
sin 2 1 sin 3x x− = +
9)
sin 3 cos 2xx =
10)
( )
tan 3 2 cot 2 0x x+ + =
11)
sin 4 cos5x=0x +
12)

2sin 2 sin 2 0x x+ =
13)
2 2
sin 2 cos 3 1x x+ =
14)
tan .tan 5 1x x =
15)
2 2
2
sin 5 cos
5 4
x
x
π
   
+ = + π
 ÷  ÷
   
16)
cot 3 3
3
x
π
 
+ =
 ÷
 
17)
( ) ( )
sin 2 1 sin 3 1x x− = +

18)
cos cos 2 0
4 3
x x
π π
   
− + + =
 ÷  ÷
   
19)
( )
sin 8 20 sin 2 0x x+ + =
o
20)
( )
tan sin 1 1
4
x
π
 
+ =
 ÷
 
21)
tan cot 2
4
x x
π
 
= −

 ÷
 
22)
( )
cot cot cot tan
2
x x
π
 
π = − π
 ÷
 
23)
2cos 3 3 0
3
x
π
 
− − =
 ÷
 
24)
tan 3 1 0
3
x
π
 
+ + =
 ÷
 

25)
cos 3 sin 2 0
6
x x
π
 
+ + =
 ÷
 
26)
tan cot 2 0
4
x x
π
 
+ + =
 ÷
 
27)
2 2
cos 2 sin 0
3 3
x x
π π
   
+ − − =
 ÷  ÷
   
28)
2

3tan 3 1
6
x
π
 
+ =
 ÷
 
29)
tan 3 cot
6 3
x x
π π
   
+ = +
 ÷  ÷
   
30)
( )
2
tan tan 0x x xπ − + π =
2. Giải các phương trình sau.
a)
( )
tan 3 tan 72x x= −
o
b)
tan 4 .tan 1x x = −
c)
3 tan 2 2;(0 2 )x x+ = < < π

d)
tan .tan 1 tan .tan tan .tan ;( 2 2 )
9 9 90 90
x x x
π π π π
= + + − π < < π
e)
2
2
1
tan 2 7;(0 360 )
cos 2
x x
x
+ = < <
o
f)
( )
3
2
1
tan 4 3 1 tan 8 7 tan ;( )
cos
x x x x
x
+ + + = + −π < < π
3.Tính
sin ;cos
10 10
π π

sau đó giải phương trình
( )
10 2 5 tan 5 1;x x+ = − −π < < π
4. Giải phương trình.
Biên soạn: Nguyễn Lê Quang Duy
Trang 4
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
a)
( ) ( )
cos 3 sin cos sinx xπ = π
b)
4 4
5
sin cos
8
x x+ =
c)
6 6
cos sin cos 2x x x− =
d)
4 6
cos cos 2 2sin 0x x x− + =
e)
3 3
5
cos .cos3 sin .sin3
8
x x x x− =
f)
3 3 3

cos .cos3 sin .sin 3 cos 4x x x x x+ =
g)
3 3
1
cos .cos3 sin .sin 3
8
x x x x+ =
h)
4 4
1
sin cos
4 4
x x
π
 
+ + =
 ÷
 
5.Giải và biện luận các phương trình sau.
a)
sin 3 .sin 3x m m x+ =
b)
( )
2 2
1 cos3 2m m x m m+ + = − −
c)
2 2
2 .cos 3 .cos
2
x

m x m m+ = +
6.Tìm m để phương trình có nghiệm.
a)
( )
( )
2 2
2 2 cos2 cos2 cos 2m m x m m x m x+ − = + +
b)
2
3 3
2sin cos 3 1
2 2
x x
m m+ = +
7.Tìm m để phương trình
( )
( )
( )
2 2 2 3 2
cos cos2 2 4 cos 4 cos 2 cos 1m x x m x m m x x− + + = + + − +
có nghiệm
thuộc khoảng
;
2
π
 
π
 ÷
 
8.Tìm m để phương trình sau vô nghiệm.

2 3
3cos 4 2 cos 2 9x m x m− = −
II/Phương trình mẫu mực.
9. Giải các phương trình.
1)
2
2cos 3cos 1 0x x− + =
2)
2
cos sin 1 0x x+ + =
3)
3sin 4cos 5x x+ =
4)
2sin 2cos 2x x− =
5)
2
1
sin 2 sin
2
x x+ =
6)
5cos 2 12sin 2 13x x− =
7)
sin 6 3 cos6 2x x+ =
8)
( )
2 sin cos 4sin .cos 1x x x x+ = +
9)
( )
sin 2 12 sin cos 12 0x x x− + + =

10)
( )
sin 2 12 sin cos 12 0x x x− − + =
11)
2 2
sin 3sin .cos 2cos 0x x x x+ + =
12)
2 2
2cos 3sin 2 8sin 0x x x+ − =
13)
2 2
2sin 5sin .cos 8cos 2x x x x− − = −
14)
( )
3 sin cos 2sin 2 3 0x x x+ + + =
15)
sin cos 4sin .cos 1 0x x x x− + + =
16)
sin 2 12(sin cos ) 12 0x x x− − + =
17)
3 3
sin cos 1x x+ =
18)
( )
2 2
3sin 8sin .cos 8 3 9 cos 0x x x x+ + − =
19)
2 2
4sin 3 3 sin 2 2cos 4x x x+ − =
20)

2 2
1
sin sin 2 2cos
2
x x x+ − =
21)
( ) ( )
2 2
2sin 3 3 sin .cos 3 1 cos 1x x x x+ + + − = −
22)
2
16sin 6sin 7 0x x− − =
23)
2
9sin 9cos 5 0x x+ − =
24)
2 2
3
sin 2 cos 0
4
x x− + =

25)
cos 8 cos 0
4 8
x x
− =
26)
3
17 sin cos3 0

2
x
x− =
27)
2 5
cos 2 4sin
3 3 2
x x
π π
   
+ + + =
 ÷  ÷
   
28)
( ) ( )
2 2
11 14sin 6 5 3cos 2 6 5x x− π − = π −
29)
2
tan 5 tan 6 0x x− + =
30)
2
1
3cot 1 0
sin
x
x
+ + =
31)
2

1
_ tan 3 0
cos
x
x
− =
32)
2
2
5
3 12sin 2cos 4
1 tan
x x
x
− − = −
+
33)
2 2
cos12 2cos 6 3
0
12 8
x
x x
− −
=
− π + π
34)
4 4
5
1 sin cos 0

3
x x− − =
35)
cos 2 sin 1
2
x
x − =
10.Giải các phương trình sau.
Biên soạn: Nguyễn Lê Quang Duy
Trang 5