đề thi thử THPT quốc gia 2017 môn toán khối chuyên THPT đại học khoa học huế

ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPTQG NĂM 2017

KHỐI CHUYÊN THPT

Môn: Toán
Mã đề thi: 101
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Đề gồm có 6 trang

x−3
y
z+1
x+3
y−1
Câu 1. Trong không gian cho đường thẳng ∆ :
= =
và đường thẳng d :
=
=
1
2
3
3
1
z+2
. Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua ∆ và tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất.
2
A 19x − 17y − 20z − 77 = 0.

B 19x − 17y − 20z + 34 = 0.

C 31x − 8y − 5z + 91 = 0.

D 31x − 8y − 5z − 98 = 0.

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa Oxyz, cho hai điểm M (−2; −2, 1), A(1; 2, −3) và đường thẳng
x+1
y−5
z
−
d:
=
=
. Tìm véctơ chỉ phương →
u của đường thẳng ∆ đi qua M , vuông góc với đường
2
2
−1
thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng lớn nhất.
−
u = (4; −5; −2).
A →

−
u = (1; 0; 2).
B →

−

u = (1; 1; −4).
C →

−
u = (8; −7; 2).
D →

Câu 3. Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng như hình vẽ.

Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức w =

.

A

i
z

.

B

.

C

.

D

x2 y 2
+ 2 = 1, a, b > 0 và đường tròn
a2
b
2
2
(C) : x + y = 7. Để diện tích elip (E) gấp 7 lần diện tích hình tròn (C) khi đó
√
√
A ab = 7.
B ab = 7 7.
C ab = 7.
D ab = 49.
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E) có phương trình

Câu 5. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 8m2 x2 + 1 có ba điểm cực trị nằm trên các trục tọa độ.
A m = ±1.

1
2

B m=± .

C m=

1
.
2

1

2

D m=− .

Câu 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường: y = |x2 − 4x + 3|; y = x + 3
A

107
.
6

B

109
.
6

C

109
.
7

D

109
.
8

Trang 1/6 - Mã đề thi: 101

Câu 7. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)3 = 9 và mặt phẳng
(P ) : 2x − 2y + z + 3 = 0. Gọi M (a; b; c) là điểm trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt
phẳng (P ) là lớn nhất. Khi đó
A a + b + c = 5.

B a + b + c = 6.

C a + b + c = 7.

D a + b + c = 8.

a
Câu 8. Cho hàm số f (x) = + cos2 x. Tìm tất cả các giá trị a để f (x) có một nguyên hàm F (x) thỏa
π
1
π
π
F (0) = , F ( ) = .
4
4
4
π
π
A π − 2.
B π − 1.
C
− 1.
D

− 2.
2
2
Câu 9. Trong các hàm số sau, hàm số nào không có tiệm cận (tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang).
A y=

x + 22017
.
x − log2 2017

B y = 2x+2017 .

C y = log2 (x + 2017). D y = sin(x + 2017).

Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A Đồ thị hàm số y = x4 − 3x2 + 1 có trục đối xứng là trục Ox.

x
có tiệm cận đứng y = 1.
x−1
C Đồ thị hàm số y = x3 có tâm đối xứng là gốc tọa độ.
D Hàm số y = log2 x đồng biến trên [0; +∞).
B Đồ thị hàm số y =

Câu 11. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :

y+1
z+3
x−1
=

=
. Trong các vectơ sau, vectơ
2
−1
2

nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng d?
−
u (1; −1; −3).
A →

−
u (−2; −1; −2).
B →

−
u (−2; 1; −2).
C →

−
u (2; 1; 2).
D →

Câu 12. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên (1; +∞)?
x−1
A y= 2
.
x +2

B y=

1
2

x

C y = log3 x.

.

D y=

x−3
.
x−2

Câu 13. Trong các hàm số sau, hàm số nào có cực trị?
A y = ex .

B y = logπ x.

C y=

x+2
.
x−3

D y = |3x − 1|.

Câu 14. Cho hàm số f (x) xác định, liên tục trên R\{−1} và có bảng biến thiên như sau

x −∞
f (x)

−1
−

+

1
0

2 +∞

f (x)
−∞

+∞
+
+∞

0

Khẳng định nào sau đây là sai?
A Hàm số không có đạo hàm tại x = −1.

B Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1.

C Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

D Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Câu 15. Tìm m để đồ thị hàm số y = (x − m)(2x2 + x − 3m) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Trang 2/6 - Mã đề thi: 101


A

m=0
m=1

.


m = 0, m = 1
B
1
m <
24


m = 0, m = 1
. C
1
m > −
24

. D m>−

1
.

24

2x − 1
(C). Tìm giá trị m để đường thẳng d : y = x + m cắt (C) tại hai điểm
x−1
phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại A hoặc B.
√
√
√
√
A m = 1 ± 5.
B m = 1 ± 3.
C m = 1 ± 2.
D m = 1 ± 6.
Câu 16. Cho hàm số y =

Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD trong đó A(2; 3; 1), B(4; 1; −2), C(6; 3; 7), D(−5; −4; 8).
Tính độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện.
√
86
19
19
.
.
.
A
B
C
D 11.
19

86
2
Câu 18. Cho tứ diện ABCD. Có bao nhiêu mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện?
A 1.

B 4.

C 5.

D Vô số.

Câu 19. Trong không gian (Oxyz) cho điểm M (1; 2; 3), A(1; 0; 0), B(0; 0; 3). Đường thẳng ∆ đi qua M và
thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm A, B đến ∆ lớn nhất có phương trình là:
y−2
z−3
x−1
=
=
.
6
2
−3
x−1
y−2
z−3
C ∆:
=
=
.
−3

6
2

y−2
z−3
x−1
=
=
.
6
−3
2
x−1
y−2
z−3
D ∆:
=
=
.
2
−3
6

A ∆:

B ∆:

Câu 20. Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 + z2 + z3 = 0 và |z1 | = |z2 | = |z3 | = 1. Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A |z12 + z22 + z32 | = |z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 |.

B |z12 + z22 + z32 | < |z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 |.

C |z12 + z22 + z32 | > |z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 |.

D |z12 + z22 + z32 | = |z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 |.

Câu 21. Trong các số phức z thỏa |z + 3 + 4i| = 2, gọi z0 là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó
A Không tồn tại số phức z0 .

B |z0 | = 2.

C |z0 | = 7.

D |z0 | = 3.
x

Câu 22. Cho đồ thị của ba hàm số y = f (x), y = f (x), y =

f (t) dt ở hình dưới. Hãy xác định xem
0

(C1 ) , (C2 ) , (C3 ) tương ứng là đồ thị của hàm số nào?

x

A y = f (x), y = f (x), y =

x

f (t) dt.

B y = f (x), y =

0
x

C y = f (x), y = f (x), y =

x

f (t) dt.
0

D y=

f (t) dt, y = f (x).
0

f (t) dt, y = f (x), y = f (x).
0

Trang 3/6 - Mã đề thi: 101


Câu 23. Cho 0 < a < b < 1, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A logb a > loga b.

B loga b < 0.

C logb a < loga b.

D loga b > 1.
0

Câu 24. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên [0; 1] , f (0) = 1, f (1) = −1. Tính I =

f (x) dx.
1

A I = 1.

B I = 2.

C I = −2.

D I = 0.

Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình log3 log 1 x < 1.
2

A (0; 1) .

1
;1 .
8

B

C (1; 8) .

1
;3 .
8

D

2x
là
Câu 26. Số tiệm cận ngang của hàm số y = √
x2 + 1
A 0.

B 1.

C 2.

D 3.

Câu 27. Tìm m để phương trình m ln(1 − x) − ln x = m có nghiệm x ∈ (0; 1)
A m ∈ (0; +∞).

B m ∈ (1; e).
1

Câu 28. Tính tích phân I =

C m ∈ (−∞; 0).

D m ∈ (−∞; −1).

√
x2017 x2 + 2017dx.

−1

A 0.

B 2.

C −2.

D

1
.
3

√
Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AC = 7a, SA = a 7 và SA ⊥ (ABCD).
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
√
√
√
a 77
7a
A R = a 56.
B R = a 14.
C R=
.

D R=
.
2
2
Câu 30. Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ tâm I của đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) :
(x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 64 với mặt phẳng (α) : 2x + 2y + z + 10 = 0.
A

7 7 2
− ;− ;− .
3 3 3

B (−2; −2; −2).

C

2 7 7
− ;− ;− .
3 3 3

D

7 2 7
− ;− ;− .
3 3 3

√
Câu 31. Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng 3, chiều cao bằng 6 3. Tính diện tích toàn phần
của hình trụ.
√

√
√
√
A 9π + 36π 3.
B 18π + 36π 3.
C 18π + 18π 3.
D 6π + 36π 3.
Câu 32. Trong không gian Oxyz, đường thẳng nào dưới đây đi qua A(3; 5; 7) và song song với đường
x−1
y−2
z−3
thẳng d :
=
=
2
3
4






x = 3 + 2t
x = 2 + 3t
x = 1 + 3t
A
B
C
D Không tồn tại.

y = 5 + 3t .
y = 3 + 5t .
y = 2 + 5t .






z = 7 + 4t
z = 4 + 7t
z = 3 + 7t

Trang 4/6 - Mã đề thi: 101


Câu 33. Cho điểm A(0; 8; 2) và mặt cầu (S) có phương trình (S) : (x − 5)2 + (y + 3)2 + (z − 7)2 = 72 và
điểm B(1; 1; −9). Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến
(P ) là lớn nhất. Giả sử n = (1; m; n) là một vectơ pháp tuyến của (P ). Lúc đó
A mn =

Câu
A

Câu
A

276
.
49

B mn = −

276
.
49

D m.n = −4.

C m.n = 4.

√
(5 + 3i)
− 1 = 0. Lúc đó
34. Cho số phức z có phần thực dương và thỏa: z¯ −
z
√
|z| = 2.
B |z| = 3.
C |z| = 4.
D |z| = 7.
√
35. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3x + 10 − x2 .
√
√
√
√
10.
B 2 10.
C −3 10.

D 3 10.

Câu 36. Giải bất phương trinh log0,7 log6

x2 + x
x+4

A (−4; −3) ∪ (8; +∞). B (−4; −3).

<0
C (−4; +∞).

Câu 37. Giải phương trình log3 (x + 2) + log9 (x + 2)2 =
A x = 1.

B x=

√
8
35 − 2.

D (8; +∞).

5
4

C x=

√
4

35 − 2.

D x=

√
4

3 − 2.

Câu 38. Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm
(x2 − 4)(log2 x + log3 x + log4 x + · · · + log19 x − log220 x) = 0

A 1.

B 2.

C 3.

D 4.

4

x. ln (2x + 1)2017 dx = a +

Câu 39. Giả sử tích phân I =
0

A b + c = 127075.

B b + c = 127073.

b
b
ln 3. Với phân số tối giản. Lúc đó:
c
c

C b + c = 127072.

D b + c = 127071.

Câu 40. Giả sử số phức z = −1 + i − i2 + i3 − i4 + i5 − ... + i99 − i100 + i101 . Lúc đó tổng phần thực và
phần ảo của z là
B −i.

A 1.

C 0.
5

Câu 41. Giả sử tích phân I =
1

A a+b+c=

4
.
3

D i.

1
√
dx = a + b. ln 3 + c. ln 5; a, b, c ∈ Q. Lúc đó:
1 + 3x + 1

B a+b+c=

5
.
3

C a+b+c=

7
.
3

D a+b+c=

8
.
3

Câu 42. Trong không gian Oxyz, cho A(4; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 6). Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp K
của tam giác ABC.
A K(2; 1; 3).

B K(5; 7; 5).

C K

80 13 135
; ;
.
49 49 49

D K(−1; −5; 1).

Trang 5/6 - Mã đề thi: 101


Câu 43. Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3a, AC = 4a. Hình chiếu H
của S trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Biết SA = 2a, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABC là
√
√
√
√
118
118
118
A R=
.
B R=
.
C R=
.
D R = 118.

4
2
8
√
√
3
và
SA
=
a
2, SB =
Câu
44.
Cho
tứ
diện
S.ABC
có
tam
giác
ABC
vuông
tại
B,
AB
=
a,
BC
=
a

√
√
a 2, SC = a 5. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC.
√
√
√
√
a 259
a 259
a 259
a 37
A R=
B R=
C R=
D R=
.
.
.
.
7
14
2
14
Câu 45. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R và có đạo hàm f (x) = (x + 2)(x − 1)2 . Khẳng định nào
sau đây là khẳng định đúng?
A Hàm số y = f (x) đồng biến trên (−2; +∞).
B Hàm số y = f (x) đạt cực đại tại x = −2.
C Hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại x = 1.
D Hàm số y = f (x) nghịch biến trên (−2; 1).

Câu 46. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = 4 − |x| và trục hoành Ox là
A 0.

B 16.

C 4.

D 8.

Câu 47. Cho hàm số y = f (x) xác định trên nửa khoảng (−2; 1) và có lim + f (x) = 2, lim− f (x) = −∞.
x→−2

x→1

Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A Đồ thị hàm số y = f (x) có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1.
B Đồ thị hàm số y = f (x) không có tiệm cận.
C Đồ thị hàm số y = f (x) có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và một tiệm cận

ngang là đường thẳng y = 2.
D Đồ thị hàm số y = f (x) có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1.
Câu 48. Cho hình chóp S.ABC có AB = 3, BC = 4, AC = 5. Các mặt bên (SAB), (SAC), (SBC) đều
cùng với mặt đáy (ABC) một góc 600 và hình chiếu H của S lên (ABC) nằm khác phía với A đối với
đường thẳng BC. Thể tích của khối chóp S.ABC
√
√
√
√
A VS.ABC = 2 3.
B VS.ABC = 6 3.

C VS.ABC = 4 3.
D VS.ABC = 12 3.
√
a3 3
Câu 49. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a. Gọi M, N là trung điểm của AD, BC. Biết VABCD =
12
và d(AB; CD) = a. Khi đó độ dài đoạn M N là
√
√
√
A M N = a hoặc M N = a 3.
B M N = a 2 hoặc M N = a 3.
√
√
a
a 3
C M N = hoặc M N =
.
D M N = a hoặc M N = a 2.
2
2
Câu 50. Trong không gian Oxyz cho điểm A(0; 0; 4), điểm M nằm trên mặt phẳng (Oxy) và M = O.
Gọi D là hình chiếu của O lêm AM và E là trung điểm OM . Biết đường thẳng DE luôn luôn tiếp xúc
với một mặt cầu cố định. Tính bán kính mặt cầu đó.
√
A R = 2.
B R = 1.
C R = 4.
D R = 2.

Trang 6/6 - Mã đề thi: 101


HƯỚNG DẪN GIẢI: Tập thể giáo viên toán học Bắc Trung Nam
KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NĂM 2017
THPT CHUYÊN. TP HUẾ
Bài thi môn: TOÁN
ĐỀ ÔN TẬP
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Trong quá trình chép và dán chứ không phải biên soạn thầy Nguyễn Văn Huy có sắp xếp lại thứ
tự các câu hỏi để giúp học sinh thuận tiện trong quá trình làm bài. Thay mặt các em học sinh
cảm ơn quý thầy cô ra đề, biên tập đề, giải đề, . . .
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
2x
Câu 1. Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  2
x 1
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
2
2
2x
2
x
x  0, lim

x  0.
 lim
 lim
Ta có lim 2
2
1
1
x x  1 x
x x  1 x
1 2
1 2
x
x
Suy ra đường thẳng y  0 là đường tiệm cận ngang.
Câu 2. Cho hàm số y f ( x) xác định trên
và có đạo hàm f '( x)
nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số y f ( x) đồng biến trên ( 2;
).
B. Hàm số y f ( x) đạt cực đại tại x
2.
C. Hàm số y f ( x) đạt cực đại tiểu x 1 .
D. Hàm số y f ( x) nghịch biến trên ( 2;1) .
Hướng dẫn giải.
Chọn A.
TXĐ D
.
x
2
Ta có f '( x) ( x 2)( x 1) 2 0

.
x 1
Lập bảng biến thiên. Ta suy ra hàm số đồng biến trên ( 2;
Câu 3. Giải bất phương trình log 0,7 log 6
A. ( 4; 3) (8;
Chọn A.
Tập xác định D
Ta có: log 0,7 log 6

).

x2 x
x 4

x2 x
x 4

0;

0

).

0

B. ( 4; 3) .
C. ( 4;
Hướng dẫn giải.

( 4;1)

2)( x 1)2 . Khẳng định

(x

).

D. (8;

).

.
log 6

x2 x
x 4

1

x2 x
x 4

6

x2

5 x 24
x 4

0.

4 x
3 x 8.
Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD trong đó A(2;3;1), B (4;1; 2), C (6;3; 7),
D ( 5; 4;8) . Tính độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện.

A.

86
.
19

B.

19
.
86

C.
Trang 1

19
.
2

D. 11 .


HƯỚNG DẪN GIẢI: Tập thể giáo viên toán học Bắc Trung Nam
Hướng dẫn giải.

Chọn D
Ta có.
hD

d ( D;( ABC ))

AB

(2; 2 3); AC

AB, AC

hD

AB, AC . AD

3VABCD
S ABC

.
AB, AC

(4;0;6); AD

( 7; 7;7)

( 12; 24;8); AB, AC . AD

308

11

Câu 5. Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3 x  10  x 2
A. 10 .

C. 3 10 .
Hướng dẫn giải

B. 2 10 .

D. 3 10 .

Chọn C
TXD: D    10; 10 
x
y  3 
10  x 2

x  0
1  3241
y  0  3 10  x 2  x   2
x
18
9 x  x  90  0
 1  3241 
y  10   3 10, y   10   3 10, y 
 9,91
18



Câu 6. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên 1;   ?
x 1
.
A. y  2
x 2

x

1
B. y    .
C. y  log 3 x.
2
Hướng dẫn giải

D. y 

x3
.
x2

Chọn C.
Ta có hàm số y  a x , y  log a x đồng biến trên tập xác định nếu a  1 .
Do đó hàm số y  log3 x đồng biến trên  0;   .
1

Câu 7. Giả sử tích phân

 x.ln  2 x  1
0

A. b  c  6057.

2017

b
b
dx  a  ln 3 . Với phân số tối giản. Lúc đó
c
c

B. b  c  6059.
C. b  c  6058.
Hướng dẫn giải

D. b  c  6056.

Chọn B.
1

Ta có I   x.ln  2 x  1
0

1

2017

dx  2017  x.ln  2 x  1 dx .
0

2


du 
dx
u  ln  2 x  1 
2x 1

Đặt 
2
dv  xdx
v  x  1

2 8
1

1
  x2 1  2 
 x2 1 
Do đó  x.ln  2 x  1 dx   ln  2 x  1          
 dx
 2 8  0 0   2 8  2x 1 
0
1

Trang 2


HƯỚNG DẪN GIẢI: Tập thể giáo viên toán học Bắc Trung Nam
1

 x2  x 

3
3
 ln 3  
  ln 3
8
 4 0 8
1

 I   x.ln  2 x  1

2017

0

3
 6051
dx  2017  ln 3  
ln 3.
8
8


Khi đó b  c  6059.
5
Câu 8. Giải bất phương trình log 3 ( x  2)  log 9 ( x  2) 2  .
4

B. x  8 35  2.

A. x  1.

C. x  4 35  2.
Hướng dẫn giải

D. x  4 3  2.

Chọn B.
Điều kiện: x  2 .
5
5
5
 log3 ( x  2)   x  38  2  8 35  2. (thỏa mãn điều kiện)
4
8
x 1 y  1 z  3


Câu 9. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :
. Trong các vectơ sau
2
1
2
vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng d .
A. u 1; 1; 3 .
B. u  2; 1; 2  .
C. u  2;1; 2  .
D. u  2;1; 2  .

log3 ( x  2)  log9 ( x  2) 2 

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Đường thẳng d đi qua M  x0 ; y0 ; z0  đường thẳng và có vetơ chỉ phương u  a; b; c  có
x  x0 y  y0 z  z0


phương trình chính tắc là d :
.
a
b
c
x 1 y  1 z  3


Suy ra đường thẳng d :
có 1 vectơ chỉ phương là v  2; 1; 2  .
2
1
2
Các vetơ chỉ phương u của đường thẳng d đều cùng phương với v.
Câu 10. Tìm m để phương trình m ln 1  x   ln x  m có nghiệm x   0;1 .
A. m   0;   .

B. m  1; e  .

C. m   ;0  .

D. m  ; 1 .

Hướng dẫn giải

Chọn A.
Điều kiện xác định x   0;1 .
Ta có m ln 1  x   ln x  m  m 
Xét hàm số y 

ln x
ln 1  x   1

ln x
trên  0;1 .
ln 1  x   1

1
1
ln 1  x   1 
ln x

1 x
Có y  x
 0, x   0;1  y  0 .
2
ln
1

x

1
   

Do đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m   0;   .

Câu 11. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Đồ thị hàm số y  x 4  3x 2  1 có trục đối xứng là trục Ox .
x
B. Đồ thị hàm số y 
có tiệm cận đứng là y  1 .
x 1
Trang 3


HƯỚNG DẪN GIẢI: Tập thể giáo viên toán học Bắc Trung Nam
C. Đồ thị hàm số y  x 3 có tâm đối xứng là gốc tọa độ.
D. Hàm số y  log 2 x đồng biến trên trên  0;   .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Đáp án A sai, vì: Hàm số y  x 4  3x 2  1 là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là
trục Oy .
x
Đáp án B sai, vì: Hàm số y 
có tiệm cận đứng là x  1 .
x 1
Đáp án C đúng, vì: Hàm số y  x 3 cólà hàm lẻ nên có tâm đối xứng là gốc tọa độ.
Đáp án D sai, vì: Hàm số y  log 2 x có tập xác định là D   0;   và đồng biến trên

 0;   .
Câu 12. Tìm m để đồ thị hàm số y  x 4  8m 2 x 2  1 có ba điểm cực trị n m trên các trục tọa độ
1
1
1
A. m  1 .

B. m   .
C. m  .
D. m   .
2
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn B.
y
4x 3 16m2x 4x(x 2 4m2 )
Điều kiện để hàm số có 3 cực trị
y
0 có 3 nghiệm phân biệt m 0 .
Với m

0 y

0 có 3 nghiệm là x

trị là:
A(0;1), B( 2m;1

0,2m,

16m 2 ), C (2m;1

2m do đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực

16m 2 ).

1
.
2
Câu 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường: y  x2  4 x  3 , y  x  3 .

Yêu cầu bài toán tương đương với m

A.

107
.
6

B.

109
.
6

109
.
7
Hướng dẫn giải

C.

D.

109
.

8

Chọn B.
Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có
x  3  0

x  0
.
x2  4 x  3  x  3   x2  4 x  3  x  3

x  5
 x2  4 x  3   x  3


 
Sau khi vẽ hình ta thấy x2  4 x  3  x  3, x  0;5 .
Vậy diện tích phần hình phẳng cần tính là
5





S   x  3  x 2  4 x  3 dx
0
1

3

5

   x  3  x  4 x  3 dx    x  3  x  4 x  3 dx    x  3  x 2  4 x  3 dx
2

2

0
1

3

1
5

3

0

1

3

    x 2  5 x  dx    x 2  3x  6  dx     x 2  5 x  dx
Trang 4


HƯỚNG DẪN GIẢI: Tập thể giáo viên toán học Bắc Trung Nam
1

3

5

 x3 5 x 2   x 3 3x 2
  x3 5x 2 
109
  
 6x     
  
 
2 0  3
2
2 3
6
 3
1  3
5
1
dx  a  b.ln 3  c.ln 5 . Lúc đó:
Câu 14. Giả sử tích phân I  
1 1  3x  1
4
5
7
A. a  b  c  .
B. a  b  c  .
C. a  b  c  .
3
3
3

Hướng dẫn giải
Chọn A.
2
2
Đặt 1  3x  1  t  3x  1   t  1  dx   t  1 dt .
3
Đổi cận x  1  t  3; x  5  t  5 .

8
D. a  b  c  .
3

2 t 1
2  1
2
4 2
2
dt    1   dt   t  ln t    ln 3  ln 5 .
Khi đó I  
3 t
3 3 t 
3
3 3
3
3
3
4
2
2
4

Do đó a  ; b  ; c   . Vậy a  b  c  .
3
3
3
3
Câu 15. Cho 0  a  b  1 , mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. log b a  log a b.
B. log a b  0.
C. log b a  log a b.
D. log a b  1.
5

5

5

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Do 0  a  1 nên hàm số y  log a x nghịch biến trên  0;   .
Đáp án B sai, vì: Với b  1  log a b  log a 1  log a b  0 .
Đáp án D sai, vì: Với a  b  log a a  log a b  log a b  1 .
Với 0  a  b  1 ta có 0  log a b  1 .
1
2
 log a b   log a b   1 (vô lí).
log a b
1
2
 log a b   log a b   1 (luôn đúng).
Đáp án A sai, vì: Nếu log b a  log a b 

log a b

Đáp án C sai, vì: Nếu log b a  log a b 

Câu 16. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y
A. 0.

B. 16.

x và trục hoành là

4

C. 4.
Hướng dẫn giải.

D. 8.

Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm.

x

4

0

x

4

x

4

.

Diện tích hình phẳng là.
S

4
4

4

0

x dx

4

4

4

x dx

0

x dx

4

0
4

4

4

x dx

0

1

Câu 17. Tính tích phân I   x 2017 x 2  2017dx
1

A. 0 .

B. 2 .

C. 2 .
Hướng dẫn giải
Trang 5

D.

1

.
3

4

x dx

16 .


HƯỚNG DẪN GIẢI: Tập thể giáo viên toán học Bắc Trung Nam
Chọn A
1

Ta có y  x

x  2017 là hàm lẻ. I   x 2017 x 2  2017dx  0

2017

2

1

2x 1
C . Tìm giá trị m để đường thẳng d : y
x 1
điểm phân biệt sao cho tam giác OAB vuông tại A hoặc B

Câu 18. Cho hàm số y

A. m

1

B. m

5.

3.
C. m 1
Hướng dẫn giải.

1

x

m cắt C tại hai

D. m

2.

1

6.

Chọn A.
2x 1
x 1

Phương trình hoành độ giao điểm

x

x2

m

m

m2

Ta có d cắt C tại hai điểm phân biệt khi chỉ khi

1

2

3 x

2m

5

m

3 .1

x2

3

m

1

0 * .

0
m

1

0

(luôn

đúng với mọi m ).

x1

Gọi x 1, x 2 là hai nghiệm phương trình * , ta có
A x 1; x 1

m , B x 2 ;x 2

Vectơ AB

x2

x 1; x 2

x 1 cùng phương với vectơ u

x1

x2

Ta có hệ phương trình x 1x 2
2x 1

3

m

2x 1

m

1

B. z

6

m 6

C. z

3.

m

0.

m

2x 2

m

1;1 .

2x 1

0

Câu 19. Cho số phức z có phần thực dương và thỏa z

2.

cắt d tại

và C

m

1

m .

Tam giác OAB vuông tại A khi chỉ khi OA.u

A. z

x 1x 2

m

m
m

4

3i

5

1

z

4m

m

1

5

m

1

5

0 . Khi đó
D. z

4.

7.

Hướng dẫn giải.
Chọn D.

5

Ta có z
Đặt z
a

2

b

a
2

5

3i

1

z
bi, a, b

3i

0

,a

a

bi

z

2

3i

5

z.

0 . Ta có.
a2

b2
3

5
b

a

a2
b

a

2
3

0

a
a

1
2

b

z 2
3i .
Câu 20. Cho tứ diện ABCD . Có bao nhiêu mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện

A. 1 .
B. 4 .
C. 5 .
D. Vô số.
Hướng dẫn giải.
Chọn A.
Trang 6

.
3

.


HƯỚNG DẪN GIẢI: Tập thể giáo viên toán học Bắc Trung Nam
Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện.
Khi đó I cách đều các mặt ABC , ACD nên I n m trên mặt phẳng P1 là phân
giác của hai mặt phẳng ABC , ACD ..
Tương tự.

I n m trên mặt phẳng P2 là phân giác của hai mặt phẳng ABC , ABD .


I n m trên mặt phẳng P3 là phân giác của hai mặt phẳng ABC , BCD .

Gọi d là giao tuyến của P1 và P2 và I là giao điểm của d và P3 .
Điểm I tồn tại và duy nhất.




Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình log 3  log 1 x   1 :
 2 
1 
A.  0;1 .
B.  ;1  .
C. 1;8 .
8 
Hướng dẫn giải
Chọn B.

1 
D.  ;3  .
8 

1

log 1 x  3
log 1 x  log 1





1
 2

2 8 
 2
 x 1
Ta có log 3  log 1 x   1  log 3  log 1 x   log 3 3  

8
 2 
 2 
log 1 x  0
log 1 x  log 1 1
 2
 2
2

Câu 22. Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy b ng 3 , chiều cao b ng 6 3 . Tính diện tích
toàn phần của hình trụ
A. 9  36 3.
B. 18  36 3.
C. 18  18 3.
D. 6  36 3.
Hướng dẫn giải.
Chọn B

Stp  Sxq  2.Sday  2 r.h  2 r 2  2 .3.6 3  2  3  18  36 3. .
2

Câu 23. Cho hàm số f  x  xác định, liên tục trên

\ 1 và có bảng biến thiên như sau. Khẳng

định
nào sau đây là sai ?

A. Hàm số không có đạo hàm tại x  1.
B. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x  1.

C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang
D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Hướng dẫn giải.
Chọn D
Vì lim  y   nên hàm số có tiệm cận đứng x  1. .
x  1

Câu 24. Tìm m để đồ thị hàm số y   x  m   2 x 2  x  3m  cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Trang 7


HƯỚNG DẪN GIẢI: Tập thể giáo viên toán học Bắc Trung Nam
m  0, m  1
m  0, m  1
m  0
1


.
A. 
B. 
C. 
D. m   .
.
1
1 .
24
m  1
m  24
m   24

Hướng dẫn giải.
Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành  x  m   2 x 2  x  3m   0 .
x  m
.

2
g
x

2
x

x

3
m

0
1





Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình 1 có 2 nghiệm

phân biệt khác m .
m  0, m  1


2m2  m  3m  0
g  m  0




1 ..
m

1  24m  0
  0


24

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xác định tọa độ tâm I của đường tròn giao
tuyến

với

mặt

cầu

S  :

 x 1   y 1   z 1
2

2

2

 64

với

mặt

phẳng

  : 2 x  2 y  z  10  0
 7 7 2
A.   ;  ;   .
 3 3 3

 2 7 7
C.   ;  ;   .
 3 3 3
Hướng dẫn giải.

B.  2; 2; 2  .

 7 2 7
D.   ;  ;   .
 3 3 3

Chọn A.
Mặt cầu  S  có tâm I 1;1;1 , bán kính R  8 ..
Phương trình đường thẳng d

đi qua

I 1;1;1 vuông góc với mặt phẳng

  : 2 x  2 y  z  10  0 .
 x  1  2t

Phương trình tham số của d :  y  1  2t .
z  1 t


Gọi J là tâm của mặt cầu  S  . Suy ra : J  d    .
Vậy J 1  2t;1  2t;1  t  .
Mà J    : 2 1  2t   2 1  2t   1  t  10  0 .
5
 7 7 2
 t   . Suy ra J   ;  ;   .
3
 3 3 3
Câu 26. Trong các hàm số sau, hàm số nào không có tiệm cận (tiệm cận đứng hoặc tiệm cận
ngang)?
x  22017
.
A. y 
B. y  2 x  2017.
x  log 2 2017

C. y  log 2  x  2017  .

D. y  sin  x  2017  .

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Trang 8


HƯỚNG DẪN GIẢI: Tập thể giáo viên toán học Bắc Trung Nam
x  22017
. có đường tiệm cận ngang là đường thẳng y  1 , đường
Đồ thị hàm số y 
x  log 2 2017
tiệm cận đứng là đường thẳng x  log 2 2017 .
Đồ thị hàm số y  2 x  2017 nhận trục Ox làm tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số y  log 2  x  2017  nhận đường thẳng x  2017 làm tiệm cận đứng.
Đồ thị hàm số y  sin  x  2017  không có tiệm cận.
Câu 27. Cho hàm số y  f  x  xác định trên nửa khoảng

 2;1

và có

lim f  x    . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

lim f  x   2,

x2

x1

A. Đồ thị hàm số y  f  x  có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x  1 .
B. Đồ thị hàm số y  f  x  không có tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số y  f  x  có một tiệm cận đứng là đường thẳng x  1 và một tiệm cận
ngang là đường thẳng y  2 .

D. Đồ thị hàm số y  f  x  có một tiệm cận ngang là đường thẳng y  2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Vì đồ thị hàm số

y  f  x  có tiệm cận ngang là đường thẳng

y  2 nếu

lim f  x    hoặc lim  f  x    .

x2

x2

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng nào dưới đây đi qua A  3;5;7  và
song song với d :
 x  3  2t

A.  y  5  3t .
 z  7  4t


x 1 y  2 z  3



.
2
3
4
 x  2  3t

B.  y  3  5t .
 z  4  7t


 x  1  3t

C.  y  2  5t .
 z  3  7t


D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi  là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán.
 x  3  2t

Ta có:  có vectơ chỉ phương là u   2;3; 4  và qua A  3;5;7      :  y  5  3t .
 z  7  4t


Câu 29. Trong không gian (Oxyz ) cho điểm M (1; 2;3) ; A(1; 0; 0) ; B(0;0;3) . Đường thẳng

đi
qua M và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm A ; B đến
lớn nhất có phương
trình là:
x 1 y 2 z 3
x 1 y 2 z 3
A. :
.
B. :
.
6
2
3
6
3
2
x 1 y 2 z 3
x 1 y 2 z 3
C. :
.
D. :
.
3
6
2
2
3
6
Hướng dẫn giải.
Chọn B

Ta có d ( A; ) d ( B; ) MA MB .
Để tổng khoảng cách từ các điểm A ; B đến
lớn nhất thì.
Trang 9


HƯỚNG DẪN GIẢI: Tập thể giáo viên toán học Bắc Trung Nam
MA
d ( A; ) d ( B; ) MA MB
.
MB
Suy ra d qua M, vtcp u

MA; MB

6;3; 2

6; 3; 2 .

x 1 y 2 z 3
.
6
3
2
Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho A  4;0;0  , B  0; 2;0  , C  0;0;6  . Tìm tâm đường tròn ngoại

Vậy phương trình đường thẳng

cần tìm là:

:

tiếp K của tam giác ABC.
A. K  2;1;3 .

B. K  5;7;5 .

 80 13 135 
C. K  ; ;
 . D. K  1; 5;1 .
 49 49 49 
Hướng dẫn giải

Chọn C.
Cách 1. PP trắc nghiệm
x y z
   1  3 x  6 y  2 z  12.
4 2 6
 80 13 135 
Thay các đáp án có mỗi đáp án C điểm K  ; ;
 thuộc mặt phẳng  ABC  .
 49 49 49 
Cách 2. Tự luận.
x y z
Ta có phương trình mặt phẳng  ABC  là    1  3 x  6 y  2 z  12.
4 2 6
K
K
x
,

y
,
z
Giả sử 
 , do là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC nên

Ta có phương trình mặt phẳng  ABC  là

 K   ABC 
 K   ABC 

 2
2
 KA  KB   KA  KB
 KA  KC
 2
2

 KA  KC
3x  6 y  2 z  12

2
2
  x  4   y 2  z 2  x 2   y  2   z 2

2
2
2
2
2

2
 x  4   y  z  x  y   z  6 
3x  6 y  2 z  12

2
2
  x  4   y 2  z 2  x 2   y  2   z 2

2
2
2
2
2
2
 x  4   y  z  x  y   z  6 
80

 x  49
3x  6 y  2 z  12

13


 2 x  y  3
 y 
49
2 x  3 z  5


 135

 z  49


Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AC  7 a, SA  a 7 và SA   ABCD  .
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
A. R  a 56 .

B. R  a 14 .

C. a 7 .

Hướng dẫn giải
Trang 10

D. R 

7a
.
2


HƯỚNG DẪN GIẢI: Tập thể giáo viên toán học Bắc Trung Nam
S
Chọn A.
Ta có các tam giác SAC , SBC , SDC là các tam giác
vuông tại A .
Gọi I là trung điểm của SC suy ra
SC
IA  IB  IC  ID  IS 
A

2
2
1
a 56
2

 7a   a 7 
B
2
2
a 56
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là R 
2



I



D

C

0

Câu 32. Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  0;1 , f  0   1 , f 1  1 , tính I   f   x  dx .
1

A. I  1 .

B. I  2 .

D. I  0 .

C. I  2 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
0

I   f   x  dx  f  0   f 1  2
1

Câu 33. Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3  1 . Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. z12  z22  z32  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .

B. z12  z22  z32  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .

C. z12  z22  z32  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .

D. z12  z22  z32  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .
Hướng dẫn giải

Chọn A.
Do z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3  1 nên các điểm biểu diễn của z1 , z2 , z3 trên mặt
phẳng tọa độ Oxy là A,B,C đều thuộc đường tròn đơn vị và ABC tạo thành tam giác
đều.
Do các phép toán cộng và nhân số phức phụ thuộc vào vị trí tương đối của các điểm

1
3
1
3
i , z3
i.
biểu diễn nên ta có thể cho: z1 1 , z 2
2 2
2 2
Thay vào ta được z12  z22  z32  0 và z1 z2  z2 z3  z3 z1  0 .
Câu 34. Trong các hàm số sau, hàm số nào có cực trị?
A. y  e x .

B. y  log x .

x2
.
x3
Hướng dẫn giải

D. y  3x  1 .

C. y 

Chọn D.
y  e x , y  log x là hàm đồng biến trên tập xác định nên không có cực trị.
x2
5
y
là hàm nghịch biến trên từng khoảng xác định ( y 

)nên không có
2
x3
 x  3
cực trị.

y  3x  1 có giá trị nhỏ nhất là 0 nên có cực tiểu tại x 

Trang 11

1
.
3


HƯỚNG DẪN GIẢI: Tập thể giáo viên toán học Bắc Trung Nam
Câu 35. Giả sử số phức z  1  i  i 2  i 3  i 4  i 5  ...  i 99  i100  i101 . Lúc đó tổng phần thực và
phần ảo của z là:
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Nhận xét: tổng 4 số hạng liên tiếp i 4 m  2  i 4 m 3  i 4 m  4  i 4 m 5  1  i  1  i  0 nên z  1  i
x

Câu 36. Cho đồ thị của ba hàm số y  f ( x), y  f ( x), y   f  t  dt ở hình dưới. Xác định xem
0

 C1  , C2  ,  C3  tương ứng là đồ thị hàm số nào?

x

x

A. y  f ( x), y  f ( x), y   f  t  dt .

B. y  f ( x), y   f  t  dt , y  f ( x) .

0

0

x

x

C. y  f ( x), y   f  t  dt , y  f ( x) .

D. y   f  t  dt , y  f ( x), y  f ( x) .

0

0

Hướng dẫn giải
Chọn C
Dựa vào đồ thị ta có:  C3  là đạo hàm của  C1 
Câu 37. Trong các số phức z thỏa z

3

4i

2 , gọi z0 là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó

A. Không tồn tại số phức z0 .

B. z0

2.

C. z0

D. z0

3.

7.

Hướng dẫn giải.
Chọn D
Cách 1:
Đặt z a
z 3 4i

) . Khi đó

bi (a, b

2

(a

3)

2

(b

4)2

4.

Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường
tròn  C  tâm I  3; 4  và bán kính R  5 .
Gọi M  z  là điểm biểu diễn số phức z . Ta có:

M  z   C  .

z  OM  OI  R  3 .
Vậy z bé nhất b ng 3 khi M  z    C   IM .
Cách 2:

Trang 12


HƯỚNG DẪN GIẢI: Tập thể giáo viên toán học Bắc Trung Nam
a 3 2 cos

a
3 2 cos
Đặt
.
b 4 2sin
b
4 2sin
a2

z

29 20
z0

b2

(2cos

3
cos
5

4
sin
5

3)2

4) 2

(2sin

29 20 cos(

29 12cos

)

.

16sin

9

.

3

Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2 điểm M  2; 2;1 , A 1; 2; 3 và đường
x 1 y  5 z


. Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng  đi qua M ,
2
2
1
vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng lớn nhất.

thẳng d :

A. u   4; 5; 2  .

B. u  1;0; 2  .

C. u  1;1; 4  .

D. u   8; 7; 2  .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

AM   3; 4; 4  . Gọi u d là vectơ chỉ phương của d  ud   2;2; 1 .

Do M    d  A;   AM

Dấu đẳng thức xảy ra  AM  
Khi đó chọn u  ud ; AM    4; 5; 2  .


Câu 39. Phương
trình
sau
đây
có
2
2
 x  4   log 2 x  log3 x  log 4 x  ...log19 x  log 20 x 
A. 1 .

B. 2 .

bao

C. 3 .
Hướng dẫn giải

nhiêu

nghiệm

D. 4 .

Chọn D

 x 2  4   log 2 x  log3 x  log 4 x  ...log19 x  log 202 x 
 x  2

2
log 2 x  log 3 x  log 4 x  ...log19 x  log 20 x  0
Ta có
2
log2 x  log3 x  log4 x  ...log19 x  log20
x0

2
 log 2 x 1  log 3 2  log 4 2  ...log19 2  log 20
2.log 2 x   0

Câu 40. Cho tứ diện ABCD có AB
Biết VABCD

CD

a3 3
và d AB,CD
12

A. MN

a 2 hoặc MN

C. MN

a
hoặc MN
2

a 6.
a 3
.
2

a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC .

a . Khi đó độ dài MN là
B. MN

a 2 hoặc MN

D. MN

a hoặc MN

Hướng dẫn giải.
Chọn C.

Trang 13

a 3.
a 2.


HƯỚNG DẪN GIẢI: Tập thể giáo viên toán học Bắc Trung Nam

.
Gọi P , Q , E lần lượt là trung điểm của AC , BD , CD . Ta có tứ giác MQNP là hình
thoi cạnh

a
. Ta chứng minh được VCDMQNP
2

Mặt khác: VC .PNE

1
V
8 ABCD

VD .QME

a3 3
96

Vì AB , CD chéo nhau và d AB,CD

VE .MQNP

a3 3
48

S MQNP

VE .MQNP

a3 3
24

2.

MQNP vì

1
d CD, MQNP .S MQNP
3

a3 3
.
48

là

1 a
. .S
.
3 2 MQNP

a2 3
8

a2 3
8

MQ.NQ.sin NQP

Câu 41. Cho hàm số f  x  

a



3
2

sin NQP

NQP

600

NQP

1200

MN
MN

a
2
.
a 3
2

 cos 2 x . Tìm tất cả các giá trị của a để f  x  có một nguyên hàm

1   
F  x  thỏa mãn F  0   , F    .
4 4 4

A.   2 .

a3 3
96

a
(thật vậy, gọi
2
NP,
NQ ).

a nên d CD, MQNP

đường vuông góc chung của AB , CD thì
Suy ra

a3 3
24

1
V
2 ABCD

B.  1 .


1 .
2
Hướng dẫn giải
C.

D.


2.
2

Chọn D.
Ta có
1
a


a 1

 a 1
F  x    f  x dx     cos 2 x  dx     1  cos 2 x   dx     x  sin 2 x  C
4


 2

 2
1
1


1

C
C
 F  0   4


4



4


 a  2
Theo giả thiết 

2
 F     
 a  1    1 sin   C  
a    2
  4  4
  2  4 4
2
4

2

Trang 14


HƯỚNG DẪN GIẢI: Tập thể giáo viên toán học Bắc Trung Nam
Câu 42. Cho tứ diện S.ABC có tam giác ABC vuông tại B , AB  a , BC  a 3 và
SA  a 2 , SB  a 2 , SC  a 5 .Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC .
A. R 

a 259
.
7

B. R 

a 259
.
14

a 259

.
2
Hướng dẫn giải.

D. R 

C. R 

a 37
.
14

Chọn B
Tam giác SBC có BC 2  SB 2  SC 2 . Nên tam
giác SBC vuông tại B. Hay CB  SB .
Lại có : CB  AB . Suy ra CB   SAB  .
Có SA  SB  a 2 nên tam giác SAB cân tại
S.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
SAB , khi đó O  SN , với N là trung điểm
của AB .
Dựng Ox là trục đường tròn ngoại tiếp tam
giác SAB .
Gọi M là trung điểm của BC . Trong  SB;Ox  dựng đường trung trực của BC cắt Ox
tại I . Khi đó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC ..

a 2 

Có SN 

Có : S SAB

2

2

a 7
a
.
  
2
2





2

a 2
SB.SA. AB 1
SB.SA
2a 7

 SN . AB  R 
.


4R
2

2SN
7
a 7
2.
2
2

2

 a 3   2a 7 
a 259
.
Vậy bán kính mặt cầu : CI  CM  MI  
  
 
2
7
14

 

Câu 43. Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ:
y
2

2

1

z

Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức  
A.

y
1

B.



O

1

y

x

O

i
?
z
C.

1

x

1



Trang 15

x

1

O

y

y



D.

1

O

1

1

O

x



1

x


HƯỚNG DẪN GIẢI: Tập thể giáo viên toán học Bắc Trung Nam
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Gọi z  a  bi ; a , b  .
Từ giả thiết điểm biểu diễn số phức z n m ở góc phần tư thứ nhất nên a, b  0 .
i  a  bi 
i
i
b
a
 2
 2
 2
i
Ta có   
2
2
a b
a  b a  b2
z a  bi
b


 a 2  b 2  0
Do a, b  0 nên 
 điểm biểu diễn số phức  n m ở góc phần tư thứ hai.
 a 0
 a 2  b 2
Vậy chọn C.
Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A  0;0; 4  , điểm M n m trên mặt
phẳng  Oxy  và M  O . Gọi D là hình chiếu vuông góc của O lên AM và E là trung
điểm của OM . Biết đường thẳng DE luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Tính bán
kính mặt cầu đó.
A. R  2 .
B. R  1 .
C. R  4 .
D. R  2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
A
Ta có tam giác OAM luôn vuông tại O .
Gọi I là trung điểm của OA (Điểm I cố định)
Ta có tam giác ADO vuông tại D có ID là
1
I
đường trung tuyến nên ID  OA  2 1
2
D
Ta có IE là đường trung bình của tam giác OAM
nên IE song song với AM mà OD  AM  OD  IE
Mặt khác tam giác EOD cân tại E . Từ đó suy ra
M

O
E
IE là đường trung trực của OD
Nên DOE  ODE; IOD  IDO  IDE  IOE  90  ID  DE  2
OA
2
2
2
2
2
Câu 45. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu  S  :  x  1   y  2    z  3  9 và mặt phẳng

Vậy DE luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm I bán kính R 

 P  : 2 x  2 y  z  3  0 . Gọi M  a; b; c 
M đến  P  là lớn nhất. Khi đó
A. a  b  c  5.

là điểm trên mặt cầu  S  sao cho khoảng cách từ

B. a  b  c  6.
C. a  b  c  7.
Hướng dẫn giải

D. a  b  c  8.

Chọn C.
Mặt cầu  S  :  x  1   y  2    z  3  9 có tâm I 1; 2;3 và bán kính R  3.
2

2

2

Gọi d là đường thẳng đi qua I 1; 2;3 và vuông góc  P 
 x  1  2t

Suy ra phương trình tham số của đường thẳng d là  y  2  2t .
z  3  t


Trang 16


HƯỚNG DẪN GIẢI: Tập thể giáo viên toán học Bắc Trung Nam
Gọi A, B lần lượt là giao của d và  S  , khi đó tọa độ A, B ứng với t là nghiệm của
t  1
2
2
2
phương trình 1  2t  1   2  2t  2    3  t  3  9  
t  1
13
Với t  1  A  3;0; 4   d  A;( P)   .
3
5
Với t  1  B  1; 4; 2   d  B;( P)   .
3
Với mọi điểm M  a; b; c  trên  S  ta luôn có d  B;( P)   d  M ;( P)   d  A;( P)  .

Vậy khoảng cách từ M đến  P  là lớn nhất b ng

13
khi M  3;0; 4 
3

Do đó a  b  c  7.
Câu 46. Cho điểm A(0;8; 2) và mặt cầu ( S ) có phương trình ( S ) : ( x  5) 2  ( y  3) 2  ( z  7) 2  72 và
điểm B (9; 7; 23) . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A tiếp xúc với ( S ) sao cho
khoảng cách từ B đến ( P ) là lớn nhất. Giả sử n  (1; m; n) là một vectơ pháp tuyến của
( P ) . Lúc đó
A. m.n  2.
B. m.n  2.
C. m.n  4.
D. m.n  4.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Mặt phẳng (P ) qua A có dạng
a(x 0) b(y 8) c(z 2) 0
ax by cz 8b 2c 0 .
Điều kiện tiếp xúc:

d(I ;(P ))

9a

Mà d(B;(P ))

5a

11b

3b

7c

8b

a2

b2

c2

7b
a2

5c
a2

5a

5a

6 2

11b

5c

b2

c2

4(a
b2

23c

8b

b2

c2

b

2c
2c

5a

6 2
9a

a2

15b

a2

11b

5c

b2

c2

6 2 . (*)

21c

b2

c2

4c)

c2
b

4c

12

( 1)2

42 . a 2

b2

c2

6 2 4
18 2 .
a 2 b2 c2
a 2 b2 c2
a
b
c
1; c 4 thỏa mãn (*).
Dấu b ng xảy ra khi
. Chọn a 1;b
1
1 4
1; n 4 . Suy ra: m.n
4.
Khi đó (P ) : x y 4z 0 . Suy ra m
Câu 47. Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB 3a , AC 4a . Hình
chiếu H của S trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Biết SA 2a , bán kính
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
a2

A. R  a.

118
.
4

4

a

B. R  a.

118
.
2

C. R  a.
Hướng dẫn giải

Chọn A.

Trang 17

118
.
8

D. R  a. 118 .


HƯỚNG
DẪN GIẢI: Tập thể giáo viên toán học Bắc Trung Nam
S

S

K
A

C

C

A

H

H

M

M

M

H
B

B

O

Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Tính được
AB.AC
r
a.

AB AC BC
Tính được AH

a 2 và MH

a 5
.
2

Tam giác SAH vuông tại H suy ra SH
SA2 AH 2 a 2.
Gọi M là trung điểm của BC và
là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S .ABC . Suy ra O
.
Ta có:
OC 2 OS 2
OM 2 MC 2 SK 2 OK 2 .
OM 2

Suy ra R
Câu 48. Trong

25a 2
4
OC

không

5a 2

4

(OM

a 2)2

OM

3 2
a
4

118
a.
4

gian

cho

đường

thẳng

:

x  3 y z 1
 
1
2

3

và

đường

thẳng

x  3 y 1 z  2


. Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua  và tạo với đường
3
1
2
thẳng d một góc lớn nhất.
A. 19 x  17 y  20 z  77  0.
B. 19 x  17 y  20 z  34  0.
C. 31x  8 y  5 z  91  0.
D. 31x  8 y  5 z  98  0.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Đường thẳng d có VTCP là u1   3;1; 2  .
d:

Đường thẳng  đi qua điểm M  3;0; 1 và có VTCP là u  1; 2;3 .

Do    P  nên M   P  . Giả sử VTPT của  P  là n   A; B; C  ,  A2  B2  C 2  0  .
Phương trình  P  có dạng A  x  3  By  C  z  1  0 .
Do    P  nên u.n  0  A  2B  3C  0  A  2B  3C .

Gọi  là góc giữa d và  P  . Ta có

Trang 18


HƯỚNG DẪN GIẢI: Tập thể giáo viên toán học Bắc Trung Nam

u1.n

sin 

3 A  B  2C



14. A2  B 2  C 2

u1 . n

3  2 B  3C   B  2C



14.

 2B  3C 

2

 B2  C 2

 5B  7C 
1


.
2
2
2
2
14 5B  12 BC  10C
14. 5 B 12 BC  10C
5
70
TH1: Với C  0 thì sin 
.

14
14
5B  7C

2

B
1
TH2: Với C  0 đặt t 
ta có sin 
C
14

 5t  7 

Xét hàm số f  t  

 5t  7 

2

5t 2  12t  10

.

2

5t 2  12t  10
50t 2  10t  112
Ta có f   t  
.
2
2
5t  12t  10

trên

.

 8
 8  75
t  5  f  5   14
 

.
f   t   0  50t 2  10t  112  0  

7
 7
t    f     0
5
 5

Và lim f  t   lim
x 

x 

 5t  7 

2

5t 2  12t  10

 5.

Bảng biến thiên

t



f  t 

7
5
0









8
5
0



75
14

5
f t 
0

Từ đó ta có Maxf  t  

5

75

8
B 8
1
75
8
. f 
khi t    . Khi đó sin 
.
14
5
C 5
14
 5  14

So sánh TH1 và Th2 ta có sin lớn nhất là sin 

75
B 8
khi  .
14
C 5

Chọn B  8  C  5  A  31.
Phương trình  P  là 31 x  3  8 y  5  z  1  0  31x  8 y  5z  98  0 .
Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho  E  có phương trình

x2

y2

 1,  a, b  0  và đường
a 2 b2
tròn  C  : x 2  y 2  7. Để diện tích elip  E  gấp 7 lần diện tích hình tròn  C  khi đó
A. ab  7 .

B. ab  7 7 .

C. ab  7 .
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Trang 19



D. ab  49 .