DE83 THPT chuyên nguyễn huệ HN(laisac de82) _ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA TOÁN NĂM 2015

TRƯỜNG THPT CHUYÊN 
NGUYỄN HUỆ 
ĐỀ THI
THỬ KỲ THI

KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ BA 
NĂM HỌC 2014 – 2015 
THPT QUỐC
GIA 2015 - ĐỀ SỐ 83
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài 180 phút
Thời gian làm bài: 180 phút 
--------oOo--------

Câu 1(2 điểm) 

Cho hàm số  y = x 4 - 2x 2  - 1 có đồ thị là (C). 

1.  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 
2.  Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm  M(0; - 1).

Câu 2(1 điểm) 
1.  Giải phương trình: 

sinx( 3 - sinx) - cosx(1 + cos x) = 0 . 

2.  Tìm số phức z thỏa mãn: 

(1 + 2i) 2 z + z = 4i - 20 . 

Câu 3(1 điểm) 

1.  Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên bi trắng và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ 
hộp đó. Tính xác suất để trong số bi được chọn không có đủ cả ba màu? 

1
1
log ( x + 3) + log4 ( x - 1)8 = 3log8 (4 x ) . 
2
2
4 
e 
2 ö
æ
Tính :  I = ò ç x + ÷ ln xdx . 
xø
1  è

2.  Giải phương trình sau:
Câu 4(1 điểm) 
Câu 5(1 điểm) 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):  x - y + 2 z - 6 = 0 

và điểm M(1, ­1, 2). 
a)Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) 
b)Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên trục Ox và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm M. 
Cho  hình  chóp  S.ABCD  có  đáy  ABCD  là  hình  vuông  cạnh  bằng  a,  đường 
uuur
uuuur 
cao SH với H thỏa mãn  HN = -3HM trong đó M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. Tính thể 
Câu 6(1 điểm) 

tích khối chóp S.ABCD và diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD biết góc giữa (SAB) và (ABCD) 
bằng 60 0 . 
Câu 7(1 điểm) 
Cho  đường  tròn  (C)  có  phương  trình  :  x 2 + y 2  - 2x - 4y + 1 = 0 và  P(2,1). 
Một đường thẳng d đi qua P cắt đường tròn tại A và B. Tiếp tuyến tại A và B của đường tròn cắt 
nhau tại M. Tìm tọa độ của M biết M thuộc đường tròn  x 2 + y 2  - 6x - 4y + 11 = 0 . 
Câu 8(1 điểm) 
Câu 9(1 điểm) 

ìï x + y + 2y - 1 + x - y = 5 

Giải hệ phương trình:  í

. 

2 
ïî y + 2 = xy + y
với a, b, c là các số thực thỏa mãn  a 2 + b 2 + c 2  = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của 

biểu thức  P = a 4 + b 4 + c 4  + 3(ab + bc + ca) . 
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển ( />www.laisac.page.tl

523


TRƯỜNG THPT CHUYÊN 
NGUYỄN HUỆ 

KỲ THI THỬ ĐẠI  HỌC LẦN THỨ BA 

NĂM HỌC 2014 – 2015 
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN 

Câu  Ý 
1 
1  y = x 4 - 2 x 2  - 1 TXĐ: R 
(2điểm) 
é x = 0 
y ' = 4 x 3  - 4 x .  y ' = 0 Û ê
ë x = ±1
Giới hạn:  limy = +¥;  lim y = -¥ 
x ®+¥

bảng biến thiên 
X 
­∞ 
y’ 
­ 
Y 

Nội dung 

Điểm 
0,25 

x ®-¥

­1 
0       + 

+∞ 

0 
0 

­ 

1 
+∞ 
0        + 

­1 

+∞ 

0, 5 
­2 
­2
Hàm số đồng biến trên (­1;0); (1; +∞). Hàm số nghịch biến trên  (­∞;­1);(0;1) 
Hàm số đạt cực đại tại  x = 0 Þ y = - 1 . 
ì x1 = -1 Þ y1  = -2 
Hàm số đạt cực tiểu tại  íî x2 = 1 Þ y2  = -2

Đồ thị 
đồ thị hàm số nhận Oy làm tâm đối xứng. 

0,25 

2 

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm N( a; a4 - 2 a2  - 1 ) là: 
y = (4a3 - 4a)( x - a) + a4 - 2a 2  - 1

0,25 

Tiếp tuyến đi qua M nên :  -1 = (4 a3 - 4a)(0 - a) + a4 - 2a2  - 1

0,25 

Û 3a4 - 2a 2  = 0 
é a = 0 
Ûê
ê a = ± 2 
êë 
3
Với  a = 0 phương trình tiếp tuyến là :  y = - 1

524

0,25 

0,25 


Vi a =

2
4
2 5
phngtrỡnhtiptuynl: y = - x

-
3
3
3 9

Vi a = -

2
(1im)

2
4
2
phngtrỡnhtiptuynl: y = x
-1
3
3
3

1
3 sin x - cos x = sin 2 x + cos 2 x 3 sin x - cos x =1

Phngtrỡnhtngng

p
ộ
x = + k2p
3
1
1

p
p
ờ

sin x - cos x = sin(x - ) = sin
(k ẻ Z)
3
2
2
2
6
6 ờ
ởx = p + k2p
2 t z = a + bi, (a, b ẻ R) ị z = a -bi .Suyra:

(1 + 2i) 2(a + bi ) + a - bi = 4i - 20 (-2a - 4b) + (4a - 4b)i = 4i -20

ỡa + b = 10
ỡa = 4
.Vy z = 4 +3i
ớ
ớ
ợa - b = 1
ợb = 3
4
3
1 Scỏchchn ngunhiờn 4bitsbitronghpl: C18
=3060
2 1 1
(1im)

Scỏchchn4bi3mutsbitronghpl: C5 C6 C7 + C51C62 C71 +C51C61C72
Scỏchchn 4viờnbikhụngcú3mul: C184 - (C52C61C71 + C51C62C71 + C51C61C72) =1485
Vyxỏcsuttrongsbicchnkhụngcú3mul:
C184 - (C52 C61C71 + C51C62C71 + C51C61C72) 33
=
ằ48,53%
4
C18
68

2 K: x > 0 x ạ1
Phngtrỡnhtngngvi: log2 ( x + 3) + log 2 x - 1 = log 2 (4 x )

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

log2 ộở( x + 3) x - 1 ựỷ = log2 (4 x ) ( x + 3) x - 1 = 4x (1)
ộ
TH1: 0 < x <1,suyra: ( x + 3)(1 - x ) = 4 x x 2 + 6 x - 3 = 0 ờ x = -3 + 2 3

ở x = -3 - 2 3(loai)

TH2: x >1 ,suyra: ( x + 3)( x - 1) = 4 x x 2 - 2 x - 3 = 0 ờ x = 3

ộ
ở x = -1(loai)

4
(1im)

e

ổ

2ử

e

e

0,25

lnx

Tacú: I = ũ ỗ x + ữ ln xdx = ũ x ln xdx + 2ũ dx.
xứ
x
1ố
1

1
e
ự 1
e e
e e
1
1ộ
e2 + 1
ln xd ( x 2 ) = ờ x 2 ln x - ũ x 2 d (ln x) ỳ = ( x 2 ln x - ũxdx)=
ũ
1 1
1 1
21
2ở
4
1
ỷ 2
e
e
e
lnx
I 2 = 2 ũ
dx = 2ũln xd (ln x ) = (ln x) 2 = 1
1
x
1
1

0,25

e

I1 = ũ x ln xdx =

0,25

0,25
0,25

1
Suyra: I = I1 + I 2 = (e 2 +5)
4

5
(1im)

r
ngthngdiquaMvvuụnggúcvimtphng(P)cúVTCP u(1, -1, 2)

ngthngdcúphngtrỡnh

x - 1 y + 1 z - 2
=
=
1
-1
2

525

0,25
0,25


Mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm M nên có tâm I thuộc d 
ì x - 1 y + 1 z - 2 
ï 1 = -1 = 2 
ï
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ  í y = 0 
Suy ra  (S) có tâm O(0,0,0) 
ïz = 0
ï
î 
Bán kính mặt cầu (S): R= OM =  6
Mặt cầu (S) có phương trình:  x 2 + y2 + z 2  = 6

0,25 

0,25 

6 
(1điểm) 
S 

Do 

Þ góc giữa (SAB) và (ABCD) là góc giữa SM và 
MH. Vậy  ÐSMH = 60° . 

I

0,25 

A 

D 
N 

MN ^ AB ü
ý Þ AB ^ ( SMH )
SH ^ AB þ

O 

M 

H 

C 

B 

Do đó:  SH = MH .tan 60° =

a 3
1
a3  3 
Þ VSABCD = MH . S ABCD = 
4
3

12

0,25 

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, suy ra  IO ^ ( ABCD ) . 
2

2

2

2

Đặt IO = x . Từ:  R = OI + OA = SI  , suy ra: 

a2
a 3
a 2 
a 3 
=(
+ x ) 2  +
Û x =
2
4
16
6
a 21
a 2 7 p
2
2 

Do đó:  R = x + OA =
Þ Smc = 
6
3
x2 +

7 
(1điểm) 

Đường tròn  (C ) có tâm I(1,2),R=2 
2

2 

Gọi M(a,b). Do  M Î (C1 ) Þ a + b - 6 a - 4 b + 11 = 0(1)
2

0,25 

2 

Phương trình đường tròn đường kính IM:  x + y - ( a + 1) x - ( b + 2) y + a + 2b = 0
Suy ra phương trình đường thẳng d:  ( a - 1) x + ( b - 2) y + 1 - a - 2b = 0
Do  P Î d Þ a - b - 3 = 0(2)

ì a = 4 
Þ M (4;1) 
î b = 1

8 

(1điểm) 

0,5 

0,25 
0,25 

Từ (1) và (2) suy ra:  í

0,25 

1 
2
Đặt  a = 2y - 1 ³ 0, b = x - y ³ 0

0,25 

Điều kiện  x ³ y ³ 

Phương trình thứ nhất trở thành  a 2 + b2  + a + b = 4(3)
Phương trình thứ hai trở thành  a 2 b2 + a 2 + b2  = 3(4)

526

0,25 


ỡù S 2 + S - 2 P = 4
ỡS = a + b
Giih(3),(4)t ớ

(S , P 0) tac: ớ 2
2
ùợP + S - 2 P = 3
ợP = a.b
2

(5)
(6)

2

Tr(5)cho(6)tac S - P = 1 ị S = P +1
Thayvo(6): P 2 + P 4 + 2P 2 + 1 - 2P =3 (P - 1)(P 3 + P 2 + 4 P + 2) =0
ộ P = 1
ờ 3
Kthpiukiờn P 0 tacP=1 S=2
2
ởP + P + 4 P + 2 = 0
Giih P=1 S=2 tathuca=b=1
Suyrahcúnghimduynht (x = 2 y =1)
9
(1im)

Do P = a 4 + b 4 + c 4 + 3 ( ab + bc + ca ) Ê a 4 + b 4 + c 4 + 3 ( a b + b c + c a )
nờntacúthcoi a, b, c 0 .gis a = m ax{a,b,c} ị 1 Ê aÊ 3

0,25

0,25
0,25

2

ổ 3 - a2 ử
ổ 3- a 2 ử
2
Doú P Ê a + 2 ỗ
+
3
a
2.
3
a
+
3
(
) ỗ 2 ữ
ữ
ố 2 ứ
ố
ứ
3
9
Hay P Ê a4 + a2 + 9 + 3a 2 3-a 2
2
2
4

(

0,25

)

Xộthms f ( a ) = a 4 - 3a + 6 + 2 a 2 ( 3 -a 2 ) trờn ộ0 3 ự
ở
ỷ
2
4
a
f ' ( a ) = 4a 3 - 6 a + 2 2 ( 3- a 2) 2 ( 3- a 2)
= 4a3 - 6a +

12 - 8a 2
2 ( 3- a 2)

ổ
ử
2
ỗ
ữ
= ( 4a - 6) a ỗỗ
2 ữ
2 ( 3 - a )ữ
ố
ứ
2

ộ
3

ờa =
ộ 4a 2 - 6 = 0
2
ờ
ờ
2
f ' ( a ) = 0 ờa = 0 ờờ a = 1 (do a 0 )
2
ờ
2 ( 3- a )
ờa = 2
ở
ờở
Tacúbngbinthiờn
a
3
1
2
2
f
0
ư
0
+0
ư
f

8

0,25

3

8
6

ộ a = 1
ị M ax f ( a )= 8 ờ
ộ0 3ự
ở
ỷ
ởa = 2
ộ a = b = c = 1
ờ
ỡa = 2
3
ị P Ê f ( a )Ê 12ị M axP=12 ờ ù
ờớ
2
1
ờ ùb = c =
ờợ
2
ở

CmnthyNguynThnhHin( />www.laisac.page.tl

527

0,25