TS247 BG phuong phap xac dinh goc giua 2 mat phang_LUYỆN THI THPT QG 2018 TUYENSINH247.VN

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
1. Định nghĩa
+) Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) có giao tuyến ∆ có:
a ⊂ (P)
b ⊂ (Q)
và a, b ⊥ ∆
=> Góc giữa (P) và (Q) = góc giữa a và b

Các bước xác định góc
+) B1: Tìm giao tuyến
+) B2: Từ điểm còn lại (thường là điểm trên cao) hạ đường vuông góc xuống mp kia.
+) B3: Tiếp tục hạ vuông góc xuống giao tuyến
+) B4: Nối lại với đỉnh ở B2 (trên cao)
Ví dụ 1. Cho SABCD có SA vuông góc với đáy. Đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = a√3 .
Góc giữa SD và đáy bằng 600.
a) Tính góc (SBC) và (ABCD)
b) Tính góc (SBD) và (ABCD)
Giải

>> Truy cập trang để học Toán Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh - Sử - Địa

1


a) Góc (SBC) và (ABCD)
* Cách dựng:
- Giao tuyến: (SBC) ∩ (ABCD) = BC
- SA ⊥ (ABCD)
- AB ⊥ BC

=> SBA là góc cần tìm.
* Chứng minh:
𝐵𝐶 ⊥ 𝐴𝐵 (1)
Ta thấy: {
𝐵𝐶 ⊥ 𝑆𝐴
=> BC ⊥ SB (2)

=> BC ⊥ (SAB)

Từ (1), (2) => SBA là góc giữa (SBC) và đáy.
* Tính:
̂ = 450
Xét tam giác vuông SAD có 𝐷
=> ∆ SAD vuông cân
=> SA = AD = a√3
Xét tam giác vuông SBA có: tan B =

𝑆𝐴
𝐴𝐵

=

𝑎 √3
𝑎

= √3

̂ = 600
=> 𝑆𝐵𝐴
b) Góc (SBD) và (ABCD)

* Cách dựng:
- Giao tuyến: (SBD) ∩ (ABCD) = BD
- SA ⊥ (ABCD)
- AH ⊥ BD
>> Truy cập trang để học Toán Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh - Sử - Địa

2


̂ là góc cần tìm.
=> 𝑆𝐻𝐴
* Chứng minh:
𝐵𝐷 ⊥ AH (1)
Ta có: {
𝐵𝐷 ⊥ SA
=> BD ⊥ SH (2)

=> BD ⊥ (SAH)

̂ là góc giữa (SBD) và (ABCD)
=> 𝑆𝐻𝐴
* Tính
Xét tam giác vuông SBD có:
=> AH2 =

3𝑎2
4

=> AH =

1
𝐴𝐻 2

=

1
𝐴𝐵2

+

1

=

𝐴𝐷2

3
3𝑎2

+

1
3𝑎2

=

4
3𝑎2

𝑎 √3

2

Xét tam giác vuông SAH: tan H =

𝑆𝐴
𝐴𝐻

= 𝑎 √3 ∶

𝑎√3
2

=2

̂ = arctan 2
=> 𝑆𝐻𝐴
Ví dụ 2. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có AA’ ⊥ (ABC). Đáy là tam giác vuông cân tại A với cạnh
BC = a√2 . Cho BB’ =

𝑎 √2
2

. Tính góc giữa mp(A’BC) và mp(ABC).

Giải

Góc giữa (A’BC) và (ABC)
* Dựng:
- (A’BC) ∩ (ABC) = BC
- A’A ⊥ BC

- AH ⊥ BC
̂ là góc cần tìm.
=> 𝐴′𝐻𝐴
>> Truy cập trang để học Toán Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh - Sử - Địa

3


* Chứng minh:
𝐵𝐶 ⊥ 𝐴𝐻 (1)
Ta có: {
𝐵𝐶 ⊥ 𝐴′𝐴
=> BC ⊥ A’H
(2)

=> BC ⊥ (A’HA)

̂ là góc giữa (A’BC) và (ABC)
=> 𝐴′𝐻𝐴
̂
* Tính 𝐴′𝐻𝐴
- Xét tam giác vuông ABC có: {
1

𝑎 √2

2

2

=> AH = BC =
- AA’ = BB’ =

𝐴𝐻 ⊥ BC
=> AH là trung tuyến
∆ 𝐴𝐵𝐶 𝑐â𝑛 𝑡ạ𝑖 𝐴

𝑎 √2
2

Xét tam giác vuông A’HA: tan H =

𝐴𝐴′
𝐴𝐻

=1

̂ = 450
=> 𝐴′𝐻𝐴
Ví dụ 3. Cho chóp đều SABCD có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên và đáy là 450. Tính góc
giữa (SCD) và (SAD).
Giải

̂ = 450
Góc giữa (SAB) và (ABCD) là 𝑆𝐻𝑂
Góc giữa (SCD) và (SAD)
* Dựng
- Giao tuyến : (SCD) ∩ (SAD) = SD
Từ O dựng OI ⊥ SD
̂ là góc cần tìm.

=> 𝐴𝐼𝐶
>> Truy cập trang để học Toán Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh - Sử - Địa

4


* Chứng minh:
𝐴𝐶 ⊥ 𝑂𝐷
Ta có: {
𝐴𝐶 ⊥ 𝑆𝑂
=> AC ⊥ SD

=> AC ⊥ (SOD)

Mà SD ⊥ OI (theo cách dựng)
=> SD ⊥ (AIC)

=> {

𝑆𝐷 ⊥ 𝐴𝐼
𝑆𝐷 ⊥ 𝐶𝐼

̂ là góc giữa (SCD) và (SAD)
=> 𝐴𝐼𝐶
̂
* Tính 𝐴𝐼𝐶
- Xét tam giác vuông SOD có:
=> OI =

1

𝑂𝐼 2

=

1
𝑆𝑂2

+

1
𝑂𝐷2

=

4
𝑎2

+

2
𝑎2

=

6
𝑎2

𝑎
√6

- Xét tam giác vuông AOI (vuông tại O) có:
tan I =

𝑂𝐴
𝑂𝐼

=

𝑎 √2
2

∶

𝑎
√6

= √3

̂ = 600
=> 𝐴𝐼𝑂
̂ = 1200
=> 𝐴𝐼𝐶
Vì góc giữa 2 mặt phẳng phải là góc nhọn
=> Góc giữa (SCD) và (SAD) là 600

>> Truy cập trang để học Toán Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh - Sử - Địa

5