Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng trong hình học 11

PHẦN I - MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Chúng ta đã biết Toán học nói chung là một nghành khoa học gắn liền với
những suy luận logic chặt chẽ, đòi hỏi tính chính xác và ngắn gọn. Có nhiều ý kiến
cho rằng toán học rất khô khan và nhàm chán bởi những rắc rối của kí hiệu và sự
trừu tượng của ngôn từ và hình ảnh. Nhìn nhận vấn đề gần hơn trong trường THPT
đa số các em thấy khó khăn, rắc rối, khó nhớ và lo sợ khi học môn toán đặc biệt là
môn hình học không gian . Vì vậy, để giúp các em tự tin hơn trong việc học toán,
tôi xây dựng “ Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng ” trong các
trường hợp củ thể từ các bài toán đơn giãn. Qua quá trình thực hiện tôi thấy từ
phương pháp này giúp các em giải quyết bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt
phẳng một cách dễ dàng hơn và từ đó tạo niềm đam mê tìm hiểu xây dựng phương
pháp giải các bài toán khác và đặc biệt giúp các em yêu thích hình học không gian
nhiều hơn.
Chính những lí do trên mà tôi quyết định chọn đề tài này.
PHẦN II - NỘI DUNG SÁNG KIẾN
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG.
1. Khái niệm: “ Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt
vuông góc với hai mặt phẳng đó ”.
2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng (SGK Hình học 11cơ bản).
- Giả sử hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c.
- Từ một điểm I bắt kỳ trên c ta dựng trong (P) đường thẳng a vuông góc với c
và dựng trong (Q) đường thẳng b vuông góc với c.
- Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b.
- Tuy nhiên khi sử dụng phương pháp trên học sinh sẽ gặp khó khăn với những
bài toán phức tạp đó là việc chọn vị trí điểm I trên giao tuyến c để xác định được
các đường thẳng a, b thoã mãn bài toán .
- Để khắc phục khó khăn trên, trong nội dung sáng kiến này tôi nêu ba trường
hợp thường gặp và hướng khắc phục cụ thể cho từng trường hợp.
1
B. CÁC TRƯỜNG HỢP THƯỜNG GẶP CỦA BÀI “ TOÁN TÌM GÓC GIỮA HAI MẶT

PHẲNG ” VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
I. TRƯỜNG HỢP 1.
Tìm góc giữa hai mặt phẳng khi giao tuyến của chúng là một cạnh đáy cuả hình
chóp.
I.1. Các bài toán.
Bài toán 1:(Bài 3.32-SBT Hình học 11 cơ bản).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông
ABCD vuông tại A và D, có AB = 2a, AD = DC =
a, có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
SA = a. Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABCD).
Giải:
Theo giả thiết:
SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CB. (1).
Mặt khác: Xét tam giác vuông ADC có AD = a, DC = a ⇒ AC = a
2
.
Gọi I là trung điểm của AB ⇒ IC ⊥ IB và IC = IB = AD = a.
Xét tam giác vuông ICB ta có: CB =
22
IBIC +
= a
2
.
Xét tam giác vuông ACB ta có: AC
2
+ CB
2
= 2a
2

+ 2a
2
= 4a
2

AB
2
= 4a
2
.
⇒ AC
2
+ CB
2
= AB
2
⇒ AC ⊥ CB (2).
Từ (1) và (2) ⇒ (SAC) ⊥ CB ⇒ SC ⊥ CB (3).
Từ (2) và (3) ⇒ góc SCA là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
Nhận xét.
Trong bài tập dựa vào hai điều kiện để xét góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABCD) là:
2
S
A
B
C
D
I
1. A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) hay SA

⊥
CB.
2. AC
⊥
CB.
Từ nhận xét trên hãy giải bài toán sau:
Bài toán 1.2.
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. SA ⊥
(ABCD). Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (ABCD).
Ta thấy bài toán 1.2 thiếu điều kiện 2, để giải
quyết bài toán này ta cần tạo nên điều kiện vuông
góc.
Giải:
Theo giả thiết:
SA ⊥ BC [vì SA ⊥ (ABCD)].
Từ A dựng AH ⊥ CB tại H (1). ⇒ (SAH) ⊥ CB ⇒ SH ⊥ CB (2).
Từ (1) và (2) ⇒ góc SHA là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
Bài toán 1.3.
Hình chóp S.ABCD có SA = SB = SC = SD. Đáy ABCD là hình bình hành.Xác
định góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
Ta thấy bài toán 1.3 chưa có cả hai điều kiện trong nhận xét trên, khi đó ta giải
bài toán này như sau.
Giải:
Gọi o = AC ∩ BD.
Theo giả thiết ta có: ΔSAC, ΔSBD cân tại S với SO
là đường trung tuyến.
3
S
A

B
C
D
H
C
S
A
B
D
O
H
⇒
)(ABCDSO
BDSO
ACSO
⊥⇒



⊥
⊥
.
[hay O là hình chiếu của S lên (ABCD)]
Từ O dựng OH ⊥ BC tại H (1).
⇒ (SOH) ⊥ BC
⇒ SH ⊥ BC (2).
Từ (1) và (2) ⇒ góc SHO là góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABCD).
I.2. Phương pháp giải.
Xác định góc giữa hai mặt phẳng (

α
) và (
β
) trong đó a = (
α
)
∩
(
β
) thuộc mặt
phẳng đáy.
Phương pháp giải:
- Xác định hình chiếu O của đỉnh S lên mặt phẳng đáy ( P ).
- Từ O dựng đường thẳng OH
⊥
a tại H.
⇒
góc SHO là góc giữa hai mặt phẳng (
α
) và (
β
).
I.3. Bài tập vận dụng.
Bài 1. (Đề thi TSĐH - CĐ -2004 khối B). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ϕ (0
0
< ϕ < 90
0
). Tính tan
của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo ϕ.

Bài 2. Cho hình chốp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, Â = 60
0
, SA = SB
= SD =
2
3a
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).
II- TRƯỜNG HỢP 2.
Tìm góc giữa hai mặt phẳng khi giao tuyến của chúng là một cạnh bên của
hình chóp.
II.1. Các bài toán.
Bài toán 2.1.
4
S
A
I
B
C
D
Hình chóp S.ABCD có ΔSAB, ΔSAD đều. Xác
định góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).
Giải:
Gọi I là trung điểm SA.
Theo giả thiết ΔSAB, ΔSAD đều.



⊥
⊥
⇒

SADI
SABI
⇒ góc BID là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(SAD).
Nhận xét:
Trong bài tập 2.1 dựa vào điều kiện ΔSAB, ΔSAD đều nên xác định được hai
đường thẳng IB
⊂
(SAB); ID
⊂
(SAD) cùng vuông góc với SA tại I (I
∈
SA).
Từ nhận xét đó giải bài toán sau.
Bài toán 2.2.
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cạnh a,
SB = a. Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(SAD).
Ta thấy, bài toán 2.2 không có điều kiện tam
giác đều giống như bài toán 2.1 do đó ta giải bài
toán 2.2 như sau.
Giải:
Gọi I là trung điểm của SA.
Theo giả thiết: SB = a = AB.
⇒ BI ⊥ SA.
Trong mặt phẳng (SAD), từ I dựng IK ⊥ SA tại I cắt AD tại K.
⇒ góc BIK là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(SAD).
Bài toán 2.3.
5

I
S
A
B
C
D
K
Hình chóp S.ABCD. Xác định góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (SDC).
Ta thấy, bài tập này không có điều kiện gì đặc
biệt để xác định hai đường thẳng thuộc hai mặt
phẳng vuông góc với SC tại một điểm. Vì vậy ta
giải như sau.
Giải:
Trong mặt phẳng (SBC) dựng BH ⊥ SC tại H.
Trong mặt phẳng (SDC) dựng KH ⊥ SC tại H cát
DC tại K.
⇒ góc BHK là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC).
II.2. Phương pháp giải.
Xác định góc giữa hai mặt phẳng (
α
) và (
β
) trong đó a = (
α
)
∩
(
β
) là một cạnh

bên của hình chóp.
- Trong mặt phẳng (
α
) dựng đường thẳng từ một đỉnh vuông góc với a tại H.
- Trong mặt phẳng (
β
) dựng HK
⊥
a tại H cắt một cạnh của (
α
) tại K.
⇒
góc AHK là góc giữa hai mặt phẳng (
α
) và (
β
).
II.3. Bài tập vận dụng.
Bài 1. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi C
1
là trung điểm của CC’. Tính góc giữa hai mặt phẳng (C
1
AB) và (ABC).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Đường cao SA =
h. Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) theo a, h. Chứng tỏ rằng ϕ >
90
0
.
III - TRƯỜNG HỢP 3.
III.1. Các bài toán.

Bài toán 3.
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang. Xác định
góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
6
S
K
H
A
B
C
D
S
x
A
H
B
C
K
D
Giải:
Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có điểm chung S và
AB // CD.
Qua S dựng Sx // AB (//CD).
⇒
Sx = (SAB) ∩ (SCD).
Dựng SH ⊥ AB
⇒
SH ⊥ Sx.
⇒ góc HSK là góc giữa hai mặt phẳng (SAB)
Dựng SK ⊥ CD

⇒
SK ⊥ Sx. và (SCD).
Nhận xét.
Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) song song với mặt phẳng đáy.
III.2. Phương pháp giải.
Xác định góc giữa hai mặt phẳng (
α
) và (
β
) trong đó (
α
) và (
β
) chứa hai
đường thẳng a, b song song.
- Gọi S là điểm chung của (
α
) và (
β
).
- Qua S dựng đường thẳng SH
⊥
a.
- Qua S dựng đường thẳng SK
⊥
b.
⇒
góc HSK là góc giữa hai mặt phẳng (
α
) và (

β
).
III.3. Bài tập vận dụng.
Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh a; đường cao hình chóp bằng
2
a
. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD. AB = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong không
gian sao cho SO ⊥ (ABCD), SO = h. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng
(SAB) và (SCD). Tính h theo a để (SAB) ⊥ (SCD).
7

8
PHẦN III – KẾT LUẬN.
Sau khi tổ chức dạy học theo phương đề xuất trên ở lớp 11A2 với n
1
= 46 học
sinh (HS) và khi dạy học phương pháp của sách giáo khoa hình học 11 - ban cơ
bản ở lớp 11A4 với n
2
= 36 HS, rồi tổ chức kiểm tra như nhau ở hai lớp ta thu
được kết quả sau:
Bảng 1
x
i
- Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Từ bảng 1 ta tính được các thông số thống kê.
* Tính trị trung bình số học: Công thứ tính
n
xf

X
ii
∑
=
với n
1
= 46; n
2
= 36.
* Lớp
*Lớp
Ta có: d =
44.1
21
=− XX
và
1
X
>
2
X
* Tính phương sai: Công thức tính
1
)(
2
2
−
−
=∂
∑

n
Xxf
ii
Ta có các bảng số liệu sau:
Bảng 2
Lớp
x
i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f
i
∑
i
f
=
x
i
f
i
∑
ii
fx
=
(x
i
-
1
X
)
(x

i
-
1
X
)
2
(x
i
-
1
X
)
2
f
i
∑
=
Bảng 3
Lớp x
i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f
i
∑
i
f
=
x
i
f

i
∑
ii
fx
=
(x
i
-
2
X
)
9
(x
i
-
2
X
)
2
(x
i
-
2
X
)
2
f
i
∑
=

*
* Tính độ lệch chuẩn: Công thức tính
1
)(
2
2
−
−
=∂=∂
∑
n
Xxf
ii
* Tính độ tin cậy: Công thức tính t =
2
2
2
1
2
1
21
2
2
2
1
21
nn
XX
mm
XX

m
d
d
∂
+
∂
−
=
+
−
=

Ta có: t =.
Kết luận :
• Từ kết quả thực nghiệm và những tính toán ở trên ta thấy có sự sai lệch giữa
1
X
và
2
X
(cụ thể
1
X
>
2
X
).
• Giả sử sự sai lệch giữa
1
X

và
2
X
(cụ thể
1
X
>
2
X
) là không đáng tin cậy, tức
là phương pháp mới không có tác dụng;
1
X
>
2
X
chỉ là một sự trùng lặp do ngẫu
nhiên mà có. Như vậy, để xem xét tác động tích cực của phương pháp mới chúng
ta hãy kiểm định tính khách quan của kết quả thực nghiệm trên.
• Gọi H
0
là giả thiết thống kê: Sự sai lệch giữa
1
X
và
2
X
(cụ thể
1
X

>
2
X
) là
không thực chất (tức là do ngẫu nhiên mà có) với mức ý nghĩa α = 0.05 = 5%.
• Gọi H
1
là đối giả thiết: Sự sai lệch giữa
1
X
và
2
X
(cụ thể
1
X
>
2
X
) là thực
chất (tức là do tác động của phương pháp mới mà có, chứ không phải do ngẫu
nhiên mà có).
• Theo các tính toán ở trên ta có:
+ Độ tin cậy t theo các số liệu thực nghiệm: t = 2.88
• Với N = 46 + 36 -2 = 80 và mức ý nghĩa α = 0.05 = 5% tra trên bảng Student
(dạng II), ở cột N = từ 63 đến 175, ta được t
α
= 2.0 , với xác suất tương ứng 95%.
• Với giá trị thực nghiệm t = 2.88, như vậy ta có kết quả so sánh: t > t
α

nghĩa
là ta bác bỏ giả thiết H
0
và chấp nhận giả thiết H
1
. Vậy:
10
Với độ tin cậy là 95% (hay với sai số 5%) sự sai lệch giữa
1
X
và
2
X
(cụ thể
1
X
>
2
X
) là do kết quả của tác động sư phạm mà có ( do đó có thể áp dụng phương
pháp mới một cách rộng rãi).
11