TS247 BG tinh the tich khoi lang tru xien _LUYỆN THI THPT QG 2018 TUYENSINH247.VN

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

BÀI 8 . TÍNH THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN
Ví dụ 1. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a. Hình chiếu của
A’ lên mp (ABC) trùng với trung điểm AC. Góc giữa A’B và (ABC) bằng 450. Tính thể tích lăng
trụ?
Giải

+) A’H ⊥ (ABC) (H là trung điểm AC)
+) Ta có :

𝐴′ 𝐵 ∩ (𝐴𝐵𝐶) = {𝐵}
𝐴′ 𝐻 ⊥ (ABC)

=> 𝐴′𝐵𝐻 = 450

+) Xét tam giác vuông: AB2 + BC2 = AC2
 2AB2 = 4a2
=> AB = a 2 = BC
1

=> S∆ABC = 2 AB. BC =
+) ∆ ABC có:
=> BH =

𝐴𝐶
2

1
2

. a 2 . 𝑎 2 = a2

𝐵 = 900
𝐻 𝑙à 𝑡𝑟𝑢𝑛𝑔 đ𝑖ể𝑚 𝐴𝐶
=a

+) Xét tam giác vuông A’HB có:
𝐵 = 450 => ∆ A’HB vuông tân tại H
=> A’H = BH = a
=> V = a2. a = a3
Ví dụ 2. (Trích ĐH khối B – 2009) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại C
với 𝐴 = 600 , BB’ = a. Góc tạo bới BB’ và mp(ABC) bằng 600. Hình chiếu của B’ lên (ABC)
trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích VA’ABC ?
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa

1


Giải

+) B’G ⊥ (ABC)
+) Xét tam giác vuông B’GB có: sin 600 =

𝐵′ 𝐺
𝐵𝐵 ′

𝑎 3

=> B’G =

2

2

+) BG = BB’2 – B’G2
𝑎2

BG2 =

4
3

=> BM =

2

 BG =

BG =

𝑎
2

3𝑎
4

+) Xét tam giác vuông ABC có: cos 600 =

𝐴𝐶
𝐴𝐵

𝐴𝐵

=> AC =

2

=> AB = 2AC
+) BM2 =



4𝐴𝐶 2

𝐵𝐴 2 + 𝐵𝐶 2
2

+

3𝐴𝐶 2

2
13𝐴𝐶 2
4

=> AC =
=> AB =

=

−

9𝑎 2
16

−

𝐴𝐶 2
4

𝐴𝐶 2
4

=

=

9𝑎 2
16

9𝑎 2
16

=> AC2 =

9𝑎 2
52

3𝑎
52

6𝑎
52

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa

2


=> BC =

3𝑎 3
52

=> S∆ABC =

1
2

1

3𝑎

AC. BC = .
2

1

52

.

3𝑎 3
52

𝑎 3 9𝑎2 3

1

=

9𝑎 2 3
104

9𝑎3

. 2 . 104 = 208 (đvtt)
3
Ví dụ 3. Cho lăng trụ ABCDA’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, 𝐵 = 600 , AC ∩ BD = {O} ,
A’O ⊥ đáy. Góc tạo bởi (AA’C’C) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích lăng trụ.
=> V = 3 . B’G. S∆ABC =

Giải

1

+) S∆ ABC = 2 AB. AC. sin 600 =
=> SABCD = 2. S∆ ABC =

𝑎2

𝑎2 3
4

3

2

+) AC = a (∆ ABC đều)
=> AO =

𝑎
2

+) Xét tam giác đều ABC có: OB =
+) Xét tam giác vuông AOD có:
=> OH =

1
𝑂𝐻 2

=> OD =

2

=

1
𝑂𝐴 2

+

1
𝑂𝐷 2

𝑎 3
2

=

4
𝑎2

+

4
3𝑎 2

=

16
32𝑎 2

𝑎 3
4

=> A’O = OH. tan 600 =
=> V =

𝑎 3

𝑎2 3
2

.

3𝑎
4

=

3𝑎
4

3𝑎 3 3
8

(đvtt)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa

3