Tích Phân Ứng dụng tích phân Tính diện tích hình phẳng Tính thể tích

Tích Phân - Ứng dụng tích phân - Tính diện tích hình phẳng Tính thể tích
Tích Phân - Ứng dụng tích phân - Tính diện tích hình phẳng - Tính thể tích

Bài toán tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong chương
trình Giải Tích 12 là một trong những dạng toán cơ bản, thực tế và quen thuộc. Tuy
nhiên các em học sinh thường chưa có sự phân tích và tư duy thực tế dẫn tới mắc
sai lầm và đưa ra những lời giải sai, chưa chính xác. Việc hệ thống hoá các phương
pháp giải, chỉ ra một số sai lầm khi giải toán sẽ cho phép nhìn nhận các bài toán
theo một hệ thống nhất quán từ đó giúp các em học sinh có thể thấy được thuật
toán chung cũng như tránh được những sai lầm khi giải các bài toán có liên quan.
Khắc phục được khó khăn và sửa chữa được các sai lầm đó là rất cần thiết, giúp
cho quá trình giải toán được dễ dàng, thuận lợi và đạt hiệu quả cao. Đồng thời phát
triển tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh khi học tập môn toán cũng như các
môn học khác. Xuất phát từ thực tế trên, tôi mạnh dạn đề xuất một ý kiến nhỏ
“Phân loại các bài tập ứng dụng tích phân – Chương III- Giải tích 12 nâng cao”

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong:
Nếu hàm số
bởi đồ thị hàm số

liên tục trên đoạn

thì diện tích S của hình phẳng giới hạn

, trục hoành và hai đường thẳng

là

(1)
Để khử dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức f(x) ta thường thực hiện:

Cách 1: Sử dụng “định lí về dấu của nhị thức bật nhất”và “định lí về dấu của tam
thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức f (x).

( Chú ý: Nếu f (x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có:
Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn

)
để suy ra dấu của f

(x)
trên đoạn đó .
Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía dưới trục hoành thì

Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hoành
thì
Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , …, xk thuộc (a ; b)
thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , …, (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu không đổi .

Khi đó để tính tích phân

ta có thể tính như sau :

Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
thẳng x=3, trục tung và trục hoành.

, đường

Giải: Đặt
. Ta thấy
trên
thức (1), diện tích S của hình đang xét là:

và

trên

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
hoành, đường thẳng x =-3 và đường thẳng x= 4.
Giải: Đồ thị hàm số

và

trên

Khi đó diện tích S của hình đang xét là:

Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số:
Vẽ đồ thị hàm số:

, trục

cắt trục hoành tại 3 điểm x = -2, x = 0, x= 2.

Cách 1: Lập bảng xét dấu ta có:
trên

. Theo công

.


Dựa vào đồ thị ta có:

Cách 3: Đồ thị hàm số

cắt trục hoành tại 3 điểm x = -2, x = 0, x= 2.

Khi đó diện tích cần tìm:

Ví dụ 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , trục
hoành , trục tung và đường thẳng x = e . Hình 16


Hình 16
Giải
Trục tung có phương trình x = 0

Diện tích S cần tìm là

Đặt

Do đó

(đvdt)

Nhận xét: Trong ví dụ 1, 2 là hai bài toán vận dụng ở dạng đơn giản, nhớ công
thức nhưng ở bài toán ví dụ 3 nhiều học sinh rất dễ nhầm lẫn ở việc xác định cận

lấy tích phân. Do đó cách vẽ đồ thị của hàm số để xác định hình cần tính là rất
quan trọng.
Ví dụ 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 3

,


2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và hai đường thẳng
.
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
trên đoạn

và hai đường thẳng

, ta có công thức sau:

Trong công thức trên:
Trường hợp hình 1. ta có công thức khai triển của S:

liên tục


nếu
Trường hợp hình 2. ta có công thức khai triển của S:

nếu
Trường hợp hình 3. ta có công thức khai triển của S:

( trong đó c là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số

)

Một cách thức chung người ta thường thực hiện các bước sau:
Bước1: Nếu hai đường
giải phương trình

đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì

để tìm.

Bước 2: Áp dụng công thức (2).
Bước 3: Rút gọn biểu thức

, sau đó xét dấu của hiệu này.

Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa giá trị
tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàn
số
và hai đường thẳng x =-1, x= 3.


Giải: Trước hết ta tìm hoành độ giao điểm các đồ thị của hai hàm số đã cho. Ta có
phương trình hoành độ giao điểm:

.

Khi đó ta có :

Ví dụ 2: Tính diện
tích hình phẳng giới hạn bởi

.

Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm

Bảng xét dấu

x

0

1
–

0

3
+


.

Vậy

(đvdt).

Ví dụ 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

.

Giải
Ta có, phương trình hoành độ giao điểm:

.
Vậy diện tích cần tìm

(đvdt).

Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đồ thị các hàm
số:
Giải: Trước hết ta vẽ các đồ thị hai hàm số trên một hệ trục:


Từ hình vẽ ta suy ra hoành độ giao điểm A, B là nghiệm của phương
trình:
Khi
đó
:
(đvdt)

Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Giải: Ta có:
Elip

. Do đó đồ thị là nửa phía trên của
. Từ đó ta có đồ thị hai hàm số trên hệ trục:

Hoành độ của hai giao điểm A, B là nghiệm phương
trình:
Khi đó, diện tích cần tính:

Chú ý: ở các bài tập này học sinh có thể gặp lúng túng khi xác định các cận
lấy tích phân. Lưu ý học sinh khi các bài toán có thể vẽ được đồ thị, không quá rắc
rối và khó khăn (có thể vẽ phác họa) thì việc vẽ hình sẽ giúp nhận diện được hình
cần tính một cách dễ dàng.
Trong trường hợp việc vẽ hình khó thực hiện, chưa xác định được dấu của biểu
thức
thì nên sử dụng công thức tính bằng cách khử dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
và
Giải:


Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số:

Khi đó diện tích cần tìm:

Khi 0
Vậy diện tích cần tìm: S =

nên:

(đvdt)

II. Thể tích vật thể tròn xoay:
Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai
đường thẳng x = a , x = b , trong đó ( a < b) .
Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta được một vật thể tròn xoay .
Thể tích của vật thể này được tính theo công thức :


Ví dụ 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn
bởi các đường y = x2 – 2x, y = 0, x = 0, x = 1 quanh trục hoành Ox.
Giải: Theo công thức (2), ta có:

(đvtt)
Ví dụ 2: Tính thể tích hình cầu do hình tròn

quay quanh Ox.

Giải:
Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là
Phương trình
Theo công thức tính thể tích, ta có

.

.


Vậy thể tích cần tim

(đvtt).

Ví dụ 3: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn
bởi các đường
Giải:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
( do x>0)
Khi đó thể tích vật thể cầm tìm:

Đặt

Ta có :

Vậy thể tích cần tìm

(đvtt)

Ví dụ 4: Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn
bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox.
, y = 0 , x = 1 , x = e.
Giải: Theo công thức tính thể tích, ta có:


(đvtt)

Đặt

Do đó

Đặt

Vậy Thể tich cần tìm

= p(e – 2)

(đvtt)

Chú ý: Trong trường hợp hình phẳng được giới hạn hai đường
cong
khi đó thể tích vật thể tròn xoay được tính theo công thức
sau:
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
,
Ox là

và

quay quanh trục
.


Ví dụ 1: Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các
đường

quay quanh Ox.

Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hai hàm số:

Thể tích cần tìm:

Vậy V=

( đvtt)

Ví dụ 2: Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường
,
quay quanh Ox.
Giải:

Hoành độ giao điểm

.

.

Vậy thể tích cần tìm

(đvtt).