Những bài toán hay và khó trong đề thi tuyển sinh vào 10 môn toán

Em nhờ Thầy giải dùm em các bài sau. Em cảm ơn thầy nhiều.
 xy = 5 x + 6

Bài 1: Giải hệ phương trình: 

(1)

 4 y + 10 y + 10 = 5 xy − x (2)
2

2

Bài 2: Cho a, b, c ≥ 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 3 Chứng minh:

1
1
1
3
+
+
≤
3 − ab 3 − bc 3 − ca 2

-----------------------------------------------Hướng dẫn :
2
Bài 1: Từ (2) ⇒ 4 y 2 + 10 y + 10 = 5 xy − x 2 ⇔ ( 2 y − x ) + 10 y + 10 = xy

2 y − x + 1 = 0
2 y − x + 4 = 0

Thay (1) vào ta được: ( 2 y − x ) + 5 ( 2 y − x ) + 4 = 0 ⇔ ( 2 y − x + 1) ( 2 y − x + 4 ) = 0 ⇔ 

2

Sau đó giải 2 hệ PT sau:
 xy = 5 x + 6
 xy = 5 x + 6
 x = 2 y + 1
⇔
... và 
....

2 y − x + 1 = 0
2 y − x + 4 = 0
 y ( 2 y + 1) = 5 ( 2 y + 1) + 6

Được 4 nghiệm là: ( −1; −1) ; 12;


11  
3 − 63  
3 + 63 
;
4
+
63;
÷

÷
÷;  4 − 63;

2 

2 ÷
2 ÷
 

Bài 2: Ta có:
1  1
1  1
1 1
ab
bc
ca
 1

P=
− ÷+ 
− ÷+ 
− ÷=  2
+ 2
+ 2
2
2
2
2
2
2
 3 − ab 3   3 − bc 3   3 − ca 3  3  a + b + c − ab a + b + c − bc a + b + c − ca 
a 2 + b2
a + b)
Lại có theo BDT Cô si: ab ≤
và ab ≤ (

2
4

2

với a,b>0. Suy ra:

2
2
2
2
2
2

 1
b + c)
c + a)
a + b)
b + c)
c + a)
(
(
(
(
(
1  ( a + b)


P≤  2
+

+
=
+
+

6  a + b 2 + 2c 2 2a 2 + b2 + c 2 a 2 + 2b 2 + c 2  6  ( c 2 + a 2 ) + ( c 2 + b 2 ) ( a 2 + b 2 ) + ( a 2 + c 2 ) ( b 2 + c 2 ) + ( b 2 + a 2 ) 



Áp dụng BDT Bunhinacopxky dạng cộng mẫu số ta có
2
2
2
a + b)
b + c)
c + a)
(
(
(
1




6  ( c2 + a 2 ) + ( c 2 + b2 ) ( a2 + b 2 ) + ( a 2 + c2 ) ( b2 + c2 ) + ( b2 + a 2 ) 


2
2
2

2
2
2
 3 1
1 a
b
b
c
c
a
≤  2
+ 2
+ 2
+ 2 2+ 2 2+ 2
= =
2
2
2
2 ÷
6 c +a c +b a +b a +c b +c b +a  6 2

P≤

+

+

1
1
1

1 3
+
+
≤ 1+ =
3 − ab 3 − bc 3 − ca
2 2
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c = 1

Suy ra

-----------------------------------------Bạn kiểm tra kỹ lại, mình làm vội có thể đánh máy nhầm !