Những bài toán hay và khó trong đề thi tuyển sinh vào 10 môn toán

NHỜ QUÝ THẦY CÔ BÀI BĐT SAU:
2a 2 + 3b 2 2b 2 + 3a 2
+
2a 3 + 3b3 2b3 + 3a 3
x4y
y4z
z4x
3
+ 2
+ 2
≥
2) Cho x, y, z > 0 thỏa xyz =1. Chứng minh rằng: 2
x +1 y +1 z +1 2
1) Cho a, b > 0 thỏa a + b =2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

EM XIN CẢM ƠN NHIỀU.
Hướng dẫn bài 2:
Áp dụng kỹ thuật Cô-si ngược dấu, ta có:
x 2 y ( x 2 + 1) − x 2 y
x4 y
x2 y
x2 y
xy
2
2
=
=
x
y
−
≥

x
y
−
= x2 y −
2
2
2
x +1
x +1
x +1
2x
2

y4 z
yz
z4x
zx
≥ y2 z −
Chứng minh tương tự : 2
; 2
≥ z2x −
y +1
2
z +1
2
x4 y
y4 z
z4x
xy + yz + zx
+ 2

+ 2
≥ x2 y + y 2 z + z 2 x −
Suy ra: 2
x +1 y +1 z +1
2
Áp dụng BDT Cô si:
x 2 y + x 2 y + y 2 z ≥ 3 3 x 4 y 4 z = 3 3 x 3 y 3 . ( xyz ) = 3xy
Tương tự: y 2 z + y 2 z + z 2 x ≥ 3 yz và z 2 x + z 2 x + x 2 y ≥ 3zx
2
2
2
2
2
2
Suy ra 3 ( x y + y z + z x ) ≥ 3 ( xy + yz + zx ) ⇔ x y + y z + z x ≥ xy + yz + zx

(1)

Lại có cũng theo BDT Cô-si thì: xy + yz + zx ≥ 3 3 xy. yz.zx = 3

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:
x2 y + y 2 z + z 2 x −

Vậy nên

xy + yz + zx xy + yz + zx 3
≥
≥

2
2
2

x4y
y4z
z4 x
3
+
+
≥
2
2
2
x +1 y +1 z +1 2

Dấu “=” xảy ra  x = y = z = 1.
-

Bài số 2 mình nghĩ có thể giải được bằng cách vận dụng bất đẳng thức Bunhiacoxky, bạn chờ
mình giải tiếp đã nhé.
Bài số 1: bạn nên xem lại điều kiện hoặc đề bài. Mình nghĩ với dk trên chỉ tìm được max(A)
thôi.