Những bài toán hay và khó trong đề thi tuyển sinh vào 10 môn toán

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I. Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của
đường tròn tâm I với các cạnh BC, CA và AB; K là giao điểm của hai đường thẳng EF và
BI
a) Chứng minh rằng C,D, E, I, K cùng thuộc 1 đường tròn
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CA. Chứng minh các đường thẳng EF,
BI, MN đồng qui
c) Giả sử B, C cố định, A là điểm thay đổi trên mặt phẳng sao cho góc BAC = α (00 <
α < 1800). Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng CI và EF. Chứng minh đường
tròn ngoại tiếp ΔHKD luôn đi qua 1 điểm cố định
A

K
E

H

F
N
I

B

D

M

C

Hướng dẫn
a)
∠CDI + ∠CEI = 900 + 900 = 1800 ⇒ tgCDIE nt (1)


1800 − ∠BAC ∠ABC + ∠ACB
=
= ∠FBK + ∠ECI
∠AFE =
⇒ ∠ECI = ∠EKI
2
2

∠AFE = ∠FBK + ∠EKI (t / c gocngoai )

⇒ tgCIEK nt (2); tu (1) & (2) ⇒ dpcm
b) ta chứng minh K; N ; M thẳng hàng
ta có MN//AB (3) ( t/c đường trung bình) . Mặt khác ∆BKC vuông tại K suy ra
MK=MB ( t/c trung tuyến tam giác vuông) suy ra
∠MKB = ∠MBK = ∠ABK ⇒ KM / / AB (4) từ (3) (4) suy ra K, N , M thẳng hàng
d) Tương tự ta chứng minh được 5 điểm B, I, F, H cùng nằm trên 1 đường tròn suy
BC 

0
ra ∠BHC = 90 = ∠BKC ⇒ tgBHCK nt  M ;
÷ ⇒ ∠HMK = 2∠HCK (5)
2 

Ta lại có ∠IDH = ∠HBK = ∠HCK = ∠KDI ⇒ ∠HDK = 2∠HCK (6)
Từ (5)&(6) suy ra ∠HCK = ∠HDK ⇒ tgHDKM nt
Hay đường tròn ngoại tiếp ΔHKD luôn đi qua 1 điểm M cố định
( Bạn kiểm tra lại nhé, lần sau nếu nhờ giải nên vẽ hình sẵn )