Những bài toán hay và khó trong đề thi tuyển sinh vào 10 môn toán

Cho tam giác ABC nhọn (AB tại D,E.BE cắt CD tại H,AH cắt BC ở F
a)Chứng minh BDHF nt và DC là pg góc EDF
b)Chứng minh DEOF nt
c) Qua A kẻ đt song song với BE và CD ,chúng cắt đth DC và BE lần lượt tại M và N,MN cắt
AH,AO tại I,K. Chứng minh NM vuông với AO
d)tia MN cắt tia DE ở Q.Chứng minh AQ là tt của đtròn (ADHE)
A

Q
M
K

I
E

N

D

B

H

C

O

F

C, Gọi I là trung điểm của AH,

·
Ta cminh ·AMH = BAC
cùng bù với góc NHM

·
Ta cminh ·AHM = BCA
cùng bù với góc EHF
Nên tam giác ABC và tam giác MAH đồng dạng
Suy ra tam giác AMI và tam giác BAO (c-g-c)
·
Suy ra ·AIM = BOA
Nên tứ giác FOKI nội tiếp suy ra góc OKI = 900
hay AK vuông góc với MN,
º = IE
º
d) ta chứng minh 6 điểm D, F, O, E, I, K cùng thuộc 1 đường tròn, mà ID = IE=> ID
º

»

»

sd ID − sd KE sd IK ·
·
Suy ra IQD
=
=
= IEK

2

2
·
Mà EIK chung nên tam giác IEK và tam giác IQE đồng dạng

Nên
IE2 = IK.IQ = IA2
nên tam giác IAK và tam giác IQA đồng dạng
·
·
= IKA
=> IAQ
= 900
Ta có AI ⊥ AQ
DO đó AQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE