Những bài toán hay và khó trong đề thi tuyển sinh vào 10 môn toán

Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên k đa thức sau không thể có 2 nghiệm
4
3
2
nguyên phân biệt: T ( x ) = x − 21x + ( 2016 + k ) x − 2017x + 3k
Hướng dẫn
Giả sử đa thức T(x) có nghiệm nguyên x=a ta có
a 4 − 21a 3 + ( 2016 + k ) a 2 − 2017a + 3k = 0

a 4 − 21a 3 + 2016a 2 − 2017a
1954a + 6039
⇒k=
= −a 2 − 2013 + 21a +
2
−(a + 3)
a2 + 3
1954a + 6039
vì k nguyên suy ra
nguyên
a2 + 3
(1954a + 6039)M
( a 2 + 3) ⇒ (1954a 2 + 6039a)M
(a 2 + 3)
mà
1954a 2 + 6039a = (1954(a 2 + 3.1954) + 6039a − 3.1954)M
(a 2 + 3) ⇒ (6039a − 3.1954)M(a 2 + 3)
Vậy
(a 2 + 3) (6039.1954a − 3.1954 2 )M
( a 2 + 3)
(6039a − 3.1954)M
⇒


2
2
(a 2 + 3)
(1954a + 6039)M( a + 3)
(1954a.6039 + 6039 )M
⇒ (60392 + 3.19542 )M
(a 2 + 3)
ma 60392 + 3.19542 = 3.7.2282089
⇒ (a 2 + 3) ∈ { 3;7;21;2282089;6846267;15974623;47923869}
Từ đó tìm được a=0; a=2; a=-2 với a=0 ta có k=0
Với a=2 ta có k=-554; với a=-2 ta có k không nguyên
+Với k=0 thay vaò PT
a 4 − 21a 3 + ( 2016 + k ) a 2 − 2017a + 3k = 0
⇒ a(a 3 − 21a 2 + 2016a − 2017) = 0 ⇒ a = 0
Phương trình a 3 − 21a 2 + 2016a − 2017 =0 không có nghiệm nguyên
+ Với k=-554 thay vaò PT
a 4 − 21a 3 + ( 2016 + k ) a 2 − 2017a + 3k = 0
⇒ (a − 2)(a 3 − 19a 2 + 1424a + 831) = 0 ⇒ a = 2
Phương trình a 3 − 19a 2 + 1424a + 831 =0 không có nghiệm nguyên
Vậy với mọi số nguyên k đa thức sau không thể có 2 nghiệm nguyên phân biệt:
T ( x ) = x 4 − 21x 3 + ( 2016 + k ) x 2 − 2017x + 3k
Em kiểm tra lại có thể thầy đánh máy nhầm. Dạo này các thầy bận dạy học sinh ôn
thi nên có thể chưa làm ngay bài các em hỏi.