ĐỀ THI VÀO 10 THPT MÔN TOÁN TỈNH Thanh hoa 2011 2012

Kè THI TUYN SINH LP 10 THPT
NM HC 2011 2012
Mụn thi: TON
Thi gian lm bi: 120 phỳt( khụng k thi gian giao )
Ngy thi: 30 thỏng 06 nm 2011

S GIO DC V O TO
THANH HểA
CHNH THC

Bài 1: ( 1,5 điểm )
1. Cho hai số : b1 = 1 +

2 ; b2 = 1 m + 2 n = 1

2m n = 3

2. Giải hệ phơng trình
Bài 2: ( 1,5 điểm )
Cho biểu thức B = (

2 . Tính b1 + b2

b
b +2



b
b 2

+

4 b 1
1
):
với b 0 và b 4
b4
b +2

1. Rút gọn biểu thức B
2. Tính giá trị của B tại b = 6 + 4 2
Bài 3: ( 2,5 điểm )
Cho phơng trình : x2 - ( 2n -1 )x + n (n - 1) = 0 ( 1 ) với n là tham số
1. Giải phơng trình (1) với n = 2
2. CMR phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi n
3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1) ( vơí x1 < x2)
Chứng minh : x12 - 2x2 + 3 0 .
Bài 4: ( 3 điểm )
Cho tam giác BCD có 3 góc nhọn. Các đờng cao CE và DF cắt nhau tại H .
1. CM: Tứ giác BFHE nội tiếp đợc trong một đờng tròn
2. Chứng minh BFE và BDC đồng dạng
3. Kẻ tiếp tuyến Ey của đờng tròn tâm O đờng kính CD cắt BH tại N.
CMR: N là trung điểm của BH .
Bài 5: ( 1 điểm )
Cho các số dơng x, y , z . Chứng minh bất đẳng thức
x
+
y+z

y

+
x+z

z
>2
x+ y

====================

Hng dn gii


--------------------Bài 1: ( 1,5 điểm )
1. Cho hai số : b1 = 1 +

2 ; b2 = 1 m + 2 n = 1

2m n = 3

2. Giải hệ phơng trình
HD :
1. Theo bài ra ta có :
Vậy b1 + b2 = 2

b 1 + b2 = 1 -

2

m + 2 n = 1

2m n = 3

2. Giải hệ phơng trình



2 . Tính b1 + b2

+1-

2 =2

2m 4n = 2

2m n = 3



5n = 5

2m n = 3

n = 1
Vậy hệ đã cho có 1 cặp nghiệm ( n = 1 ; m = -1 )

m = 1

Bài 2: ( 1,5 điểm )

Cho biểu thức B = (

b
b +2



b
b 2

+

4 b 1
1
):
với b 0 và b 4
b4
b +2

3. Rút gọn biểu thức B
4. Tính giá trị của B tại b = 6 + 4 2
HD :
1. Với với b 0 và b 4 khi đó ta có :
b 2 b b 2 b + 4 b 1
1
):
b4
b +2
1
1

b +2
1
):
=
=
= (
b4
b +2
( b 2)( b + 2) 2 b

B= (

2. Với b = 6 + 4 2
Vì : 6 + 4 2 = 2 + 4 2 +

2
2 = ( 2 + 2)
1
1
1
1
2
=
=
=
=
=> B =
2
2 b 2 ( 2 + 2 ) 2 2 (2 + 2 )
2

Bài 3: ( 2,5 điểm )
Cho phơng trình : x2 - (2n -1 )x + n (n - 1) = 0 ( 1 ) với n là tham số
4. Giải phơng trình (1) với n = 2
5. CMR: Phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi n
6. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình (1) ( vơí x1 < x2 )
Chứng minh: x12 - 2x2 + 3 0 .
HD :
1. Với n = 2 thì phơng trình đã cho đợc viết lại : x2 - 3x + 2 = 0
Ta thấy : a = 1 ; b =-3 ; c = 2 mà a + b + c = 0 nên phơng trình trên luôn có
hai nghiệm phân biệt x1 = 1 và x2 = 2.
2. Từ phơng trình (1) ta có = 4n2 - 4n + 1 - 4 ( n ( n - 1))
= 1 => > 0 n vậy phơng trình đã cho
luôn cóhai nghiệm phân biệt x1 = n -1 và x2 = n .
3. Theo bài ra ta có : x12 - 2x2 + 3 = ( n - 1 ) 2 -2n + 3
= n2 - 4n + 4
= ( n - 2 )2
Vì ( n - 2)2 0n . dấu bằng xảy ra khi n = 2
Vậy : x12 - 2x2 + 3 = ( n - 2 )2 0 với mọi n ( Đpcm )
Bài 4: ( 3 điểm )


Cho tam giác BCD có 3 góc nhọn . Các đờng cao CE và DF cắt nhau tại H .
4. CM : Tứ giác BFHE nội tiếp đợc trong một đờng tròn
5. Chứng minh BFE và BDC đồng dạng
6. Kẻ tiếp tuyến Ey của đờng tròn tâm O đờng kính CD cắt BH tại N.
CMR: N là trung điểm của BH .
B

HD :

a. Ta có : BFH = BEC = 90 0 ( Theo giả thiết)



BFH + BEC = 1800
tứ giác BFHE nội tiếp đờng tròn đờng kính BH .

N
F



b. Xét tứ giác CFED ta có :
CED = DFC = 900
( cùng nhìn đoạn thẳng CD dới một góc C
vuông)
=> CFED nội tiếp đờng tròn đờng kính
CD .
=> EFD = ECD ( Cùng chắn cung ED )
Mặt khác ta lại có :

H
H
H

E

D
O

BFE = 900 - EFD
= 900 - ECD = EDC
=> BFE = EDC (1 )
Xét hai tam giác : BFE và BDC ta có :
B : Chung
=> BFE đồng dạng BDC ( g -g ) ( Đpcm )
BFE = EDC

c. Ta có : BNE cân tại N Thật vậy :
EBH = EFH ( Cùng chắn cung EH ) (1)
BEN = 1/2 sđ cung ED ( Góc tạo bởi tiếp tuyến và
Mặt khác ta lại có :
dây cung )
=> ECD = BEN = EFH (2)
Từ (1 ) và (2) ta có : EFH = BEN
=> BNE cân tại N => BN = EN ( 3)
Mà BEH vuông tại E
=> EN là đờng trung tuyến của tam giác BHE => N là trung điểm của BH
(Đpcm )
Bài 5 : ( 1 điểm )
Cho các số dơng x, y , z . Chứng minh bất đẳng thức :
x
+
y+z

y
+
x+z

z

>2
x+ y

p dụng BĐT Cosi ta có :

y+z
+1
y+z
x+ y+z
x
2x
.1 x
=
=>

x
2
2x
y+z x+ y+z
x+z
+1
x+z
x+ y+z
y
2y
y
.1
=
=>

y
2
2y
x+z x+ y+z


y+x
+1
y+x
x+ y+z
z
2z
z
.1 ≤
=
=>
≥
z
2
2z
y+x x+ y+z

Céng vÕ víi vÕ ta cã :

x
+
y+z

y
+

x+z

z
2( x + y + z )
≥
= 2 dÊu b»ng x¶y ra
y+x
x+ y+z

y+ z = x
x+ z = y
x+y+z= 0
y+ x = z
V× x, y ,z > 0 nªn x + y + z > 0 vËy dÊu b»ng kh«ng thÓ x¶y ra .
=>

x
+
y+z

y
+
x+z

z
> 2 víi mäi x, y , z > 0 ( §pcm )
y+x