ĐỀ THI VÀO 10 THPT MÔN TOÁN TỈNH Thanh hoa 2012 2013

đề kiểm tra môn toán
Lớp 9B Thời gian 120 phút
Bi 1: (2 im)

1) Gii cỏc phng trỡnh sau: a) x - 1 = 0
2x y = 7
2) Gii h phng trỡnh
x+ y = 2
1
1
a2 + 1
Bi 2: (2 im) Cho biu thc A =
+
2+ 2 a 2 2 a 1 a2

b) x2 - 3x + 2 = 0

1
3
Bi 3: (2 im) 1) Cho ng thng (d) : y = ax + b. Tỡm a; b ng thng (d) i qua im A( -1; 3) v
song song vi ng thng (d) : y = 5x + 3
2) Cho phng trỡnh ax2 + 3(a + 1)x + 2a + 4 = 0 (x l n s). Tỡm a phng trỡnh ó cho cú hai
2
2
nghim phõn bit x1; x2 tho món x1 + x2 = 4
Bi 4: (3 im) Cho tam tam giỏc u ABC cú ng cao AH. Trờn cnh BC ly im M bt k (M khụng
trựng B; C; H ). T M k MP; MQ ln lt vuụng gúc vi cỏc cnh AB; AC (P thuc AB; Q thuc AC)
1) Chng minh t giỏc APMQ ni tip ng trũn
2) Gi O l tõm ng trũn ngoi tip t giỏc APMQ. Chng minh OH PQ
3) Chng minh rng MP + MQ = AH
Bi 5: (1 im) Cho hai s thc a; b thay i tho món iu kin a + b 1 v a > 0

8a2 + b 2
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P =
+b
4a

a) Tỡm iu kin xỏc nh v rỳt gn biu thc A

b) Tỡm giỏ tr ca a A <

đề kiểm tra môn toán
Lớp 9B Thời gian 120 phút
Bài 1: (2 điểm)

1) Giải các phơng trình sau: a) x - 1 = 0
b) x2 - 3x + 2 = 0
2x y = 7
2) Giải hệ phơng trình
x+ y = 2
1
1
a2 + 1
Bài 2: (2 điểm) Cho biẻu thức A =
+
2+ 2 a
2 2 a 1 a2
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá
1
trị của a để A <
3

Bài 3: (2 điểm) 1) Cho đờng thẳng (d) : y = ax + b. Tìm a; b để đờng thẳng
(d) đi qua điểm A( -1; 3) và song song với đờng thẳng (d) : y = 5x + 3
2) Cho phơng trình ax2 + 3(a + 1)x + 2a + 4 = 0 (x là ẩn số). Tìm a để ph2
2
ơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn x1 + x2 = 4
Bài 4: (3 điểm) Cho tam tam giác đều ABC có đờng cao AH. Trên cạnh BC lấy
điểm M bất kỳ (M không trùng B; C; H ). Từ M kẻ MP; MQ lần lợt vuông góc với các cạnh
AB; AC (P thuộc AB; Q thuộc AC)
1) Chứng minh tứ giác APMQ nội tiếp đờng tròn
2) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ. Chứng minh OH PQ
3) Chứng minh rằng MP + MQ = AH


Bài 5: (1 điểm) Cho hai số thực a; b thay đổi thoả mãn điều kiện a + b 1 và a
>0
8a2 + b 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
+b
4a

Đáp án
Nội dung

Bài

1/ Giải các phơng trình sau
a/ x 1 = 0
x = 0 + 1
x = 1. Vậy x = 1
b/ x2 3x + 2 = 0, Ta có a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0

Theo viét phơng trình có hai nghiệm
c 2
x1 = 1 và x2 = = = 2
a 1
2 x y = 7
2/ Giải hệ phơng trình
x + y = 2
2 x y = 7
3 x = 9
x = 3
x = 3
<=>
<=>
<=>

x + y = 2
x + y = 2
3 + y = 2
y = 1
x = 3
Vậy hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất :
y = 1

1
1
a2 +1 1
+

2
2 + 2 a 2 2 a 1 a 2

1/ +) Biểu thức A xác định khi
Cho biểu thức : A =

Điểm
0.25

0.75

0.75

0.25
0.25


a 0
a 0
a 0



2
1
+
a

0

2 + 2 a 0

a 0

=>
=>
=> a 0; a 1



a

1
2

2
a

0
2
1

a

0



1 a 2 0

a 1; a 1

( 1 a ) ( 1 + a ) 0

(
(

)
)

+) Rút gọn biểu thức A
1
1
a2 + 1
A=
+

2
2 + 2 a 2 2 a 1 a
2a ( 1 a )
2 a 2a 2
a
A=
=
=
2 1+ a 1 a ( 1+ a ) 2 ( 1 a) ( 1+ a) 1+ a

(

2/ A <

)(

1.0

)

1
a
1
a
1
2a 1
2a 1
=>
< =>
< 0 =>
< 0 =>
<0
3
1+ a 3
1+ a 3
3( 1+ a)
(1+ a)


1

2a 1 > 0 => a > 2 => Khong ton tai a

a + 1 < 0


a < 1

1

2a 1 < 0
1
a <
=>

2 => 1 < a <
2
a + 1 > 0
a > 1

1
1
Kết hợp điều kiện : Với 0 a < thì A <
2
3
1/ Cho đờngthẳng (d) : y = ax + b. Tìm a, b để đờngthẳng (d)
đi qua điểm A( -1 ; 3) và song song với đờngthẳng (d) : y = 5x
+3
- Đờng thẳng (d) : y = ax + b đi qua điểm A (- 1 ; 3), nên ta có
3 = a.(-1) + b => -a + b = 3 (1)
- Đờng thẳng (d) : y = ax + b song song với đờngthẳng (d) :
a = 5
y = 5x + 3, nên ta có
(2)
b 3
Thay a = 5 vào (1) => -5 + b = 3 => b = 8 ( thoả mãn b 3)
Vậy a = 5 , b = 8. Hay đờngthẳng (d) là : y = 5x + 8

2/ Cho phơng trình : ax2 + 3(a + 1)x + 2a + 4 = 0 (x là ẩn số)
(1).Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả
mãn : x12 + x22 = 4
4
- Với a = 0, ta có phơng trình 3x + 4 = 0 => x =
. Phơng trình
3
4
có một nghiệm x =
( Loại)
3
- Với a 0 Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai
Ta có : = 9(a + 1)2 4a(2a + 4) = 9a2 + 18a + 9 8a2 16a
= a2 + 2a + 9 = (a + 1)2 + 8 > 0 với mọi a
Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi a
Theo hệ thức Viét ta có

3 ( a + 1)
x1 + x2 =
a

x x = 2a + 4
1 2
a

0.5

0.25
0.75

0.25
0.25

0.25


Theo đầu bài
2
x12 + x2 2 = 4 => ( x1 + x2 ) 2 x1 x2 = 4 , Thay vào ta có
9 ( a + 1)

2



2 ( 2a + 4 )

=4
a
a
2
=> 9 ( a + 1) 2a ( 2a + 4 ) = 4a 2
2

2
2
2
=> 9a + 18a + 9 4a 8a 4a = 0
=> a 2 + 10a + 9 = 0 Có hệ số a b + c = 1 10 + 9 = 0
Theo viét Phơng trình có hai nghiệm

c 9
=
= 9 ( Thoả mãn)
a1 = -1 (Thoả mãn) và a2 =
a
1
a = 1
Kết luận : Với
a = 9
Hình vẽ

1/ Chứng minh tứ giác APMQ nội tiếp đờngtròn
Xét tứ giác APMQ có
ã
MP AB(gt) => MPA
= 900
ã
MQ AC(gt) => MQA
= 900
o
o
o
ã
ã
=> MPA + MQA = 90 + 90 = 180
=> Tứ giác APMQ nội tiếp (đ/l)
2/ Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ, Chứng minh
OHPQ
Dễ thấy O là trung điểm của AM.
=> Đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ là đờng tròn tâm O, đờngkính AM

OP = OQ => O thuộc đờngtrung trực của PQ (1)
AH BC => ãAHM = 90o => OH = OA = OM => A thuộc đờngtròn
ngoài tiếp tứ giác APMQ
Xét đờngtròn ngoài tiếp tứ giác APMQ, ta có
ABC đều, có AH BC => àA1 = ảA2 (t/c)
ẳ
ẳ (hệ quả về góc nội tiếp)
=> PMH
= HQ

=> HP = HQ (tính chất)
=> H thuộc đờngtrung trực của PQ (2)
Từ (1) và (2) => OH là đờngtrung trực của PQ => OH PQ (ĐPCM)
3/ Chứng minh rằng MP + MQ = AH
AH .BC
Ta có : S ABC =
(1)
2
MP. AB MQ. AC
+
Mặt khác S ABC = S MAB + S MAC =
(2)
2
2
Do ABC là tam giác đều (gt) => AB = AC = BC (3)
Từ (1) , (2) và (3) => MP + MQ = AH (ĐPCM)
Bài 5

Cho hai số thực a, b thay đổi, thoả mãn điều kiện a + b 1 và a
> 0.

8a 2 + b 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
+b
4a
Bài làm

0.5

1.0

1.0

1.0

1.0


Ta cã
8a 2 + b
b
1 b 1 2
A=
+ b 2 = 2a +
+ b 2 = 2a − +
+ +b
4a
4a
4 4a 4
1 a+b
+ b 2 Do a + b  1

=> A = 2a − +
4 4a
1 1
1
1
+ b2 = a +
+ b 2 + a − . Do a + b  1 => a  1 - b
=> A ≥ 2a − +
4 4a
4a
4
2
2
2b − 1) + 2
=> A ≥ a + 1 + b 2 + 1 − b − 1 = a + 1 + 4b − 4b + 3 = a + 1 + (
4a
4
4a
4
4a
4
1
1
Do a > 0, theo cosi ta cã a +
≥ 2 a.
= 1 (1)
4a
4a
Do ( 2b − 1) ≥ 0 => ( 2b − 1)
2

2

( 2b − 1)
+ 2 ≥ 2 =>
4

2

+2

≥

3
Tõ (1) vµ (2) => A ≥
2

=> Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ : Amin =
a + b = 1

1
1

=> a = b =
a =
4a
2

2
b

−
1
=
0



3
. Khi
2

1 (2)
2