ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN VIỆT YÊN 20152016 MÔN TOÁN 7

PHÒNG GD&ĐT VIỆT YÊN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

ĐỀ CHÍNH THỨC

NĂM HỌC: 2015-2016
MÔN THI: Toán 7
NGÀY THI: 28/ 3/ 2016
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1. (4 điểm):
1) Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý:
3 1
1
1 + 0, 6 −
+ 0, 25 − + 0,125
7−3
5
A=
8 8 8
7 7
7
+ −
+ − 0, 7 +
3 5 7
6 8
16
2) Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn: ( 5 x − y )

2016

+ x2 − 4

2017

≤0

Bài 2. (4 điểm):
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x − 2015 + 2016 − x + x − 2017
2) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: xy + x - y = 4.
Bài 3. (4 điểm):
1) Cho hàm số f ( x) xác định với mọi x ∈ ¡ . Biết rằng với mọi x, ta đều có:
1
f ( x) + 3 f ( ) = x 2 . Tính f (2) .
x
2) Cho x, y, z là các số nguyên dương và x + y + z là số lẻ, các số thực a, b, c
thỏa mãn:

a−b b−c a−c
=
=
. Chứng minh rằng:
x
y
z

a =b =c.

Bài 4. (6 điểm):
Cho tam giác ABC cân tại A, (Â <90 0). D là trung điểm của AC. Trên đoạn

·
thẳng BD lấy điểm E sao cho DAE
= ·ABD . Từ A kẻ AG ⊥BD (G ∈tia BD );
kẻ CK ⊥BD (K ∈BD).
1) Chứng minh rằng: AK = CG.

·
2) Từ C kẻ CH ⊥AE (H ∈tia AE). Chứng minh rằng: EC là phân giác của HCK
.
·
·
3) Chứng minh rằng: DAE
.
= ECB
Bài 5. (2 điểm):
Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp
không thể là một số chính phương.
--------------------Hết--------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ............................................ Số báo danh:.........................
Giám thị 1 (Họ tên và ký).......................................................
Giám thị 2 (Họ tên và ký).......................................................


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆT YÊN

HD CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN THI: TOÁN 7

Đáp án

Bài1

3 1
1
3 3 3
1 1 1 1
+ 0, 25 − + 0,125
+ −
+ − +
7
3
5
3
5
7
3
4 5 8
A=
−
=
−
8 8 8
7 7
7
8 8 8 7 7 7 7
+ −
+ − 0, 7 +
+ −

+ − +
3 5 7
6 8
16
3 5 7 6 8 10 16
1 1 1
1 1 1 1
3 + − ÷
+ − +
3 5 7

3
4 5 8
=
−
1 1 1 71 1 1 1
8 + − ÷
 + − + ÷
3 5 7 23 4 5 8

Điểm

1 + 0, 6 −

1
(2.0
điểm)

3 1
= −

8 7
2

2
(2.0
điểm)

0,5

0,5

3 2 5
= − =
8 7 56
5
Vậy A =
56
Ta có: (5x – y )2016 ≥ 0 với ∀x, y .
2
2017
≥ 0 với ∀x .
và x − 4
nên ( 5 x − y )

0,5

0,5

+ x −4

2017

≥ 0 ∀x, y .

Mà theo đề bài: ( 5 x − y )

2016

+ x2 − 4

nên ( 5 x − y )

2017

=0

2016

2016

2

+ x2 − 4

2017

0,5

≤0 .

Do đó: (5x – y )2016 = 0 và x2 - 4 = 0
Từ đó tìm được x = 2 và y = 10 hoặc x = -2 và y = -10.
Vậy các cặp (x;y) cần tìm là (2;10); (-2; -10)
Bài 2
1
P = x − 2015 + 2016 − x + x − 2017 = ( x − 2015 + 2017 − x ) + 2016 − x
(2.0
điểm) Ta có x − 2015 + 2017 − x ≥ x − 2015 + 2017 − x = 2 với mọi x. Dấu “=” xảy ra khi:
2015 ≤ x ≤ 2017 (1)
Lại có: 2016 − x ≥ 0 với mọi x. Dấu “=” xảy ra khi x = 2016 (2).

0,5

0,5
0,5
0,5
0,5

0,5


0,5

Từ (1) và (2) Ta có minP = 2, khi x = 2016. Kết luận.

xy + x - y = 4

2
(2.0
điểm)

1

⇒ x( y + 1) − ( y + 1) = 3
⇒ ( x − 1)( y + 1) = 3

Theo đề bài: x, y nguyên dương nên y > 0 ⇒ y + 1 > 1.
Mà: 3 = 3.1 = 1.3 = -1.(-3) = (-3).(-1)
Nên y + 1 = 3 và x - 1 = 1. Từ đó tìm được y = 2; x = 2 (thỏa mãn)

0,5
0,5

Kết luận: x, y nguyên dương thỏa mãn là: x = 2; y = 2.
Bài 3

(Trong chương trình lớp 7 HS chưa học TXĐ của hàm số nên nếu thiếu ĐK x ≠ 0 thì không trừ điểm)
0,5
1
1
2
2

Ta có: f ( x ) + 3 f ( ) = x nên f (2) + 3 f ( ) = 2 = 4 .
x
2
1
(2.0
điểm)

(1)

2

1
1
3
1 1
và f ( ) + 3 f (2) =  ÷ = ⇒ 9 f (2) + 3 f ( ) =
2
4
2
4
2
−13
−13
⇒ f (2) =
Từ (1) và (2) ta có: 8 f (2) =
4
32

(2)

Kết luận.

0,5
0,5
0,5

a −b b −c a −c

=
=
. áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
x
y
z
a − b b − c a − c a − b + b − c + a − c 2(a − c )
=
nhau ta có: x = y = z =
(1)
x+ y+z
x+ y+z

0,5

a −b b −c a −b +b −c a −c
=
=
=
(2)
x
y
x+ y
x+ y
2( a − c ) a − c
Từ (1), (2) ⇒ x + y + z = x + y (3)

0,5

Nếu a − c ≠ 0 : Từ (3) ⇒ 2 ( x + y ) = x + y + z . (Vô lý vì (x + y + z) lẻ (theo đề

bài); còn 2(x+y) luôn chẵn với mọi x, y).
Do đó a – c = 0. Thay vào dãy tỉ số đã cho tìm được a = b = c.

0,5

Theo đề bài :

Và
2 (2.0
điểm)

Kết luận.
Bài 4

(Chấm theo hình vẽ của học sinh vì 2 khả năng: Hình 1 và hình 2 đều có chung lời chứng
minh. HS không cần xét 2 trường hợp).

Vẽ hình, ghi GT, KL chính xác

0,5


1
(2.0
điểm)

(Hình 1)
(Hình 2)
+) Chứng minh ∆ADG = ∆CDK (cạnh huyền- góc nhọn)
⇒ DK = DG(2 cạnh tương ứng).

+) Chứng minh V ADK =VCDG (cgc)
⇒ AK = CG(2 cạnh tương ứng).
Kết luận. Vậy AK=CG
2 (3.0 +) Chứng minh ∆ABG = ∆CAH (cạnh huyền- góc nhọn)
điểm) ⇒ AG = CH(2 cạnh tương ứng).
(1)
+) Từ ∆ADG = ∆CDK (chứng minh trên) ⇒ AG = CK(2 cạnh tương ứng)
(2)
Từ (1) và (2) ⇒ CH = CK.
+) Chứng minh V HEC =V KEC (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
·
·
(2 góc tương ứng).
⇒ HCE
= KCE

1
0,75
0,25
1
0,5
1


·
Mà CE nằm giữa CH, CK nên CE là phân giác của HCK
.
Kết luận.
+) Từ V HEC =V KEC (chứng minh trên)
·

·
(2 góc tương ứng) (3)
⇒ CEH
= CEK
·
·
·
·
+ CEH
là góc ngoài ∆CEA tại đỉnh E nên: CEH
= CAE
(4)
+ ECA

0,5

0,25

·
·
·
·
là góc ngoài ∆CEB tại đỉnh E nên: CEK
= CBE
(5)
CEK
+ ECB
·
·
·

·
Từ (3), (4), (5) ⇒ CBE
= CAE
(6)
+ ECB
+ ECA
3 (1.0
điểm)

·
Mặt khác, do ∆ABC cân tại A (gt) nên ·ABC = ACB
(tính chất).
(7)
·
·
·
·
⇒ CBE
+ ABE
= ECB
+ ECA

·
·
·
·
Lấy (6) trừ (7) theo từng vế ta được: ECB
− ABE
= CAE
− ECB

·
·
·
⇒ 2. ECB
= ABE
+ CAE
·
·
·
·
·
·
⇒ ECB
Mà CAE
(gt) Nên 2.ECB
= ABE
= 2.CAE
= CAE
·
·
hay ECB
( đpcm). Kết luận.
= DAE

0,25

0,25
0,25

Bài 5

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: n - 2; n - 1; n; n + 1; n + 2, trong đó
n ∈ ¥;n ≥ 2 ;
Tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp đó là:
A = (n - 2)2 + (n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 +(n + 2)2
= 5(n2 + 2)
(2.0
Vì n2 không thể có chữ số tận cùng bằng 3 hoặc 8, nên (n 2 + 2) không thể
điểm)
chia hết cho 5
Do đó 5(n2 + 2) không là số chính phương, hay A không là số chính
phương
Vậy: Tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một
số chính phương.

=================Hết===============

0,5
0,5

0,5

0,5