ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN VIỆT YÊN 20152016 MÔN TOÁN 9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2015 - 2016
MÔN THI: TOÁN 9
Ngày thi: 28/3/2016
Thời gian làm bài: 120 phút

 3x + 3 x − 3
+
Câu 1. (4,0 điểm). Cho biểu thức A = 
 x+ x −2

1
x −1

+

 1
− 2  :
x +2
 x −1
1

1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm các số tự nhiên x sao cho

1
là số tự nhiên.

A

3) Tính giá trị của A với x = 3 2 + 10

1 3
1
.
+ 2 − 10
27
27

Câu 2. (4,0 điểm).
1) Tìm các cặp ( x; y ) nguyên thỏa mãn phương trình 5 x 2 + y 2 = 17 + 2 xy.
2) Cho phương trình: x 2 + 2mx + 1 = 0 (1). Tìm các giá trị của m để biểu thức:
2
2
2
2
M = x1 ( x1 − 2016) + x2 ( x2 − 2016) đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của
phương trình (1).
Câu 3. (4,0 điểm).
1) Giải phương trình:

3

24 +x + 12 - x = 6.
2
 x − 2xy − 2x − 2y − 3 = 0
.
 x − y = 1

2) Giải hệ phương trình: 

Câu 4. (6,0 điểm).
Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Gọi Ax và Ay là hai tia thay đổi luôn tạo với
nhau góc 600, nằm về hai phía của đường thẳng AB và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N.
Đường thẳng BN cắt Ax tại E, đường thẳng BM cắt Ay tại F. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng
EF.
1) Chứng minh rằng B là trực tâm của tam giác AEF.
2) Chứng minh rằng EF = 3 AB.
3) Chứng minh rằng OMKN là tứ giác nội tiếp.
4) Khi tam giác AMN đều, gọi C là điểm di động trên cung nhỏ AN (C ≠ A, C ≠ N ). Đường
thẳng qua M và vuông góc với AC cắt NC tại D. Xác định vị trí của điểm C để diện tích tam giác
MCD là đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5. (2,0 điểm).
Cho a, b là hai số thực dương. Chứng minh rằng:
1 
1

21 a + ÷+ 3  b + ÷ > 31.
b 
a


------------------ HẾT -----------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ......................................................Số báo danh:..................................
Giám thị 1 (Họ tên và ký)....................................................................................................
Giám thị 2 (Họ tên và ký)...................................................................................................