CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ

NEWTON DT CLUB
CC DNG TON C BN V HM S
I.Tp xỏc nh ca hm s
-Tp xỏc nh ca hm s ký hiu l D=K vi K l min cỏc giỏ tr x tha món iu kin xỏc nh
ca hm s ú.
-Hm a thc cú tp xỏc nh l D=R,ta cú R l tp s thc v R= , .
Vớ d : y x 3 3x 2 2 x 1 có tập xác định là D=R.
-Cỏc hm s dng :

f ( x ) có điều kiện xác định là f ( x ) 0
g( x )
có điều kiện xác định là f ( x ) 0
f ( x)
g( x )
có điều kiện xác định là f ( x ) 0
f ( x)
Vớ d :
y f ( x ) x 1 có điều kiện xác định là x 1,tập xác định của hàm số f ( x ) là D= 1,
19 x 2
có điều kiện xác định là x 2,tập xác định của hàm số g( x ) là D=R\ 2
2x 4
x3 5x 2
y h( x )
có điều kiện xác định là x < 8,tập xác định của hàm số g( x ) là D= ,8
8 x
y g( x )

II.S giao im ca cỏc th hm s
-S giao im ca cỏc th hm s f ( x ) và g( x ) l s nghim ca phng trỡnh f ( x ) = g( x ) .
-Honh giao im l nghim ca phng trỡnh trờn,gi s t l mt nghim ca phng trỡnh
trờn thỡ ta giao im l t, f (t ) .

Vớ d :
Bit rng ng thng y 2 x 2 ct th hm s y x 3 x 2 ti im duy nht ; ký hiu
ta im ú l x0 , y0 .Tỡm y0 .( Trớch thi minh ha mụn Toỏn 2017 ln 1)
A.y0 4

B.y0 2

C.y0 0

D.y0 1

Nguyn Anh Tỳ 0169 721 7658
FB: Nguyn Anh Tỳ


NEWTON DT CLUB
Xét phương trình x 3  x  2  2 x  2  x 3  3x  0  x  x 2  3  0  x  0
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là (0,2).Chọn B.
III.Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
-Cho hàm số f ( x ) xác định và có đạo hàm trên K.Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) tại điểm

M  x0 , y0  thuộc đồ thị hàm số f ( x ) là đường thẳng có dạng :

y  f '( x0 ).  x  x0   y0
-Điều kiện để một đường thẳng có dạng ax  b là tiếp tuyến của một đường cong y  f ( x ) là
phương trình f ( x )  ax  b có nghiệm kép.
-Điều kiện để một đường thẳng có dạng ax  b là tiếp tuyến của một đường cong y  f ( x ) tại
điểm M  x0 , y0  thuộc đồ thị hàm số f ( x ) là :

 f ( x )  ax  b cã nghiÖm kÐp x  x0


f '( x0 )  a

-Hai đường thẳng y  kx  b vµ y  k ' x  b ' song song với nhau  k  k '
Hai đường thẳng y  kx  b vµ y  k ' x  b ' vuông góc với nhau  k . k '  1
Dạng phương trình đường thẳng ax  by  c  0  b  0  có hệ số góc là 

a
.
b

Chứng minh :

a
c

by  ax  c
y   x 
ax  by  c  0  b  0   

b
b
 b0

b0

-Không nên hiểu tiếp tuyến là đường thẳng cắt đường cong tại một điểm duy nhất vì các đường
thẳng dạng x = a không phải là tiếp tuyến của đường cong nào.
-Các dạng bài tập thường gặp :
Dạng 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của một đường cong khi biết tọa độ tiếp điểm

Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y  x 3  2 t¹i ®iÓm M(-1,1).
Ta có y '  3x 2 , y '(1)  3 nên áp dụng công thức ta có tiếp tuyến cần tìm là :

Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658
FB: Nguyễn Anh Tú


NEWTON DT CLUB
y  3 x  (1)  1  y  3( x  1)  1  3x  4
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y  3x  4 .
Mở rộng Dạng 1 ta có thể gặp dạng toán viết phương trình tiếp tuyến của một đường cong tại
một điểm biết hoành độ hoặc tung độ.
Ví dụ 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y  x 4  6 x  2 tại điểm có hoành độ bẳng
0.
Gọi điểm M(0,m) là tiếp điểm cần tìm,do M thuộc đường cong y  x 4  6 x  2 nên M(0,2).
Ta có y '  4 x 3  6, y '(0)  6 nên tiếp tuyến cần tìm là y  6( x  0)  2  6 x  2

Ví dụ 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y  x 2  3x tại điểm có tung độ bằng -2 và
hoành độ lớn hơn 1.
A.y  x  4

B.y   x  1

C.y  x  1

D.y   x  4

Gọi điểm M(m,-2) là tiếp điểm cần tìm,do M thuộc parabol y  x 2  3x nên :

m0

m0


  m  1  m  2
 2
m  3m  2
m  2

Vậy M(2,-2).
Ta có : y '  2 x  3, y '(2)  1  y  x  4 là tiếp tuyến cần tìm.Chọn A.

Dạng 2 : Viết phương trình tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước
Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y 

x 3 3x 2

 7 và song song với đường
3
2

thẳng d: 4 x  2 y  1  0 .
Trước hết ta đưa d về dạng phương trình hệ số góc y  2 x 

1
.Do tiếp tuyến cần tìm song song
2

với d nên hệ số góc của tiếp đó bằng -2.

t  1

Giả sử hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là t,ta có : y '(t )  2  t 2  3t  2  
t  2

Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658
FB: Nguyễn Anh Tú


NEWTON DT CLUB
 35 
 11 
Vậy ta tìm được hai tiếp điểm thỏa mãn là M  1,  vµ M  2,  .Từ đó ta lập được hai tiếp
 6 
 3
tuyến thỏa mãn.
Ví dụ 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y  x 3 và vuông góc với đường thẳng
1
d: y   x  8 .
9

1
Do d có hệ số góc là  nên tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc bằng 9.Giả sử tiếp điểm của tiếp
9

tuyến cần là M(t,t3),ta có : 3t2 = 9.Ta tìm t và dễ dàng lập được phương trình tiếp tuyến thỏa
mãn.
Dạng toán này cũng giống như việc giải dạng toán viết phương trình tiếp của một đường cong
khi đã biết được hệ số góc.
Mở rộng : Xét đường thẳng d:y = ax + b,gọi  là góc tạo bởi đường thẳng đó với trục Ox.
Lưu ý : 0    900
+ Nếu a > 0 thì a = tan 

+ Nếu a < 0 thì a = tan(1800-  )
Dạng 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong đi qua một điểm cho trước
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) tại điểm M  x0 , y0  thuộc đồ thị hàm số f ( x ) là đường thẳng
có dạng :

y  f '( x0 ).  x  x0   y0
Tiếp tuyến đi qua điểm A(a,b) cho trước nên :
b  f '( x0 )(a  x0 )  f ( x0 ) (1)

Chú ý rằng y0  f ( x0 ) .Ta giải phương trình (1) và tìm được x 0 và đưa bài toán trở về Dạng 1.

Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658
FB: Nguyễn Anh Tú