Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 năm học 2015 2016 huyện văn giang

Phòng Giáo dục - đào tạo
huyện Văn Giang

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toỏn 9
Thời gian lm bi: 120 phút
Ngy thi: 21/10/2015

Đề chính thức

---------------------------------------------------Bài 1 (3 điểm):
Cho biu thc P =

x + 2 x 1 + x 2 x 1
x + 2x 1 + x 2x 1

. 2x 1

a) Rỳt gn biu thc P.
b) Chng minh rng nu 1 x 2 thỡ P l s vụ t.
Bài 2 (2 điểm):
a)Tỡm cỏc s t nhiờn n sao cho n ( n + 1)( n + 2 )( n + 3) + 2 l s chớnh phng
b) ỡm cỏc s t nhiờn x, y ln hn 1 tha món c hai ủiu kin x+1 chia ht cho y
v y+1 chia ht cho x.

Bài 3 (2 điểm):
a) Cho 0O < < 90O . Chng minh: 2020sin 2 + 2016cos 2 4sin 2015
b) Gii phng trỡnh

x 1 + 4029 x = 8056

Bài 4 (2 điểm):
a) o Trng Sa ln cú dng hỡnh mt tam giỏc vuụng, cnh huyn nm theo
hng ụng Bc- Tõy Nam. ng cao ng vi cnh huyn chia tam giỏc ny thnh hai
phn cú din tớch bng 54000 m2 v 96000 m2 . Tớnh ủ di cnh huyn ca tam giỏc
vuụng ny.
b) Cho tam giỏc ABC, A v B c ủnh, C l ủim chuyn ủng trờn na mt phng
b AB. Dng cỏc hỡnh vuụng AMNC v BPQC phớa ngoi tam giỏc ABC, gi O l trung

ủim ca PM. Chng minh tam giỏc OAB c ủnh khi C thay ủi.
Bài 5 (1 điểm): Cho cỏc s thc dng a, b, c tha món a 2 + 2b 2 + 3c 2 = 3abc .
8 6 4
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = 3a + 2b + c + + + .
a b c
-------------------------Hết---------------------------Họ và tên thí sinh:.........................................................
Chữ ký của giám thị số 1 :...........................................

Số báo danh:.....................Phòng thi số:.......................


Phòng Giáo dục - đào tạo
huyện Văn Giang

Hớng dẫn chấm
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toỏn 9
Ngy thi: 21/10/2015

Đề chính thức

---------------------------------------------------I. Hớng dẫn chung
1) Hớng dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bớc chính của lời giải hoặc nêu kết quả. Trong
bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.
2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng
phần nh hớng dẫn quy định.
3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn phải đảm bảo
không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi.
4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không đợc làm tròn.
II. Đáp án và thang điểm

Bi

Ni dung
a, KX x 1

0,25

Vỡ P>0 ta cú

0,75

P2 =

1
3ủ

im

x + x2 4 x + 4
x + x2 2x + 1

. ( 2 x 1) =

x+ x2
x + x 1

. ( 2 x 1)

- Vi x>2 thỡ P = 2 x 2

0,5

- Vi 1 x 2 P = 2

0,5

b, Vi 1 x 2 thỡ P = 2

0,25

Do 2 l s t nhiờn khụng chớnh phng

2

Vy nu 1 x 2 thỡ P l s vụ t
a, t A= n ( n + 1)( n + 2 )( n + 3) + 2

2ủ

- Bin ủi A ta ủc A = ( n + 3n + 1) + 1
2

2

Ta cú ( n 2 + 3n + 1) < A < ( n 2 + 3n + 2 )

2 l s vụ t

0,75
0,25

2

2

- Do ủú A khụng phi l s chớnh phng.
Vy khụng tỡm ủc giỏ tr no ca n ủ n ( n + 1)( n + 2 )( n + 3) + 2 l s

0,25
0,25
0,25

chớnh phng.
b, Gi s 1 < x y . t x + 1 = ky ( k N * )

0,25

Ta cú ky = x + 1 y + 1 < y + y = 2 y k < 2 k = 1

0,25

Vi k=1, thay vo x+1=ky ta cú x+1=y


Mà y + 1⋮ x ⇒ x + 1 + 1⋮ x ⇔ x + 2⋮ x ⇒ 2⋮ x ⇒ x ∈ {1; 2}

0,25

Với x=1 thì y=2; với x=2 thì y=3
Vậy ( x; y ) = (1; 2 ) , ( 2;3)

0,25

a)

0,5
2

2

2020sin α + 2016 cos α − 4sin α
= (4sin 2 α − 4sin α + 1) − 1 + 2016(sin 2 α + cos 2 α )
2

2

= ( 2sin α − 1) − 1 + 2016 = ( 2sin α − 1) + 2015 ≥ 2015

0,5

3

b) ĐKXĐ 1 ≤ x ≤ 4029

0,25

2ñ

Áp dụng BĐT Bu-nhia-cốp-xki ta có:
1. x − 1 + 1. 4029 − x ≤

(1

2

2

+1

0,25

) ( x − 1 + 4029 − x ) =

8056

Dấu = xảy ra khi x − 1 = 4029 − x ⇔ x = 2015 ( thỏa mãn)

0,25

Vậy nghiệm của phương trình là x=2015.

0,25

a, Giả sử ta có tam giác ABC vuông tại A, ñường cao AH và
S AHB = 54000 m 2 ; S AHC = 96000 m 2

0,25

A

4
2ñ
B

C

H

-Ta có AH.BH=2. S AHB = 2.54000 ; AH.HC= 2.S AHC = 2.96000
2

4

4

6

- Mà AH = HB.HC ⇒ AH = 12 .10 ⇒ AH = 120 10 m

- Từ ñó tính ñược BC =

2. ( S AHC + S AHB ) 2. ( 54000 + 96000 )
=
= 250 10 m.
AH
120 10

0,25
0,25
0,25

b,
Q

N

J

P

C
I

O

M
A

B

- Gọi I và J là tâm các hình vuông AMNC và BCQP

0,25


Ta có IO//CP và IO=CJ=JB, JO//CM và JO=CI=IA
- Ta lại có AIO = AIC − OIC = 900 − CJO = BJO
⇒ ∆AIO = ∆OJB ( c.g.c ) ⇒ OA = OB và AOI = OBJ

0,25

- Từ ñó AOB = 3600 − AOI − IOJ − JOB = 3600 − OBJ − IOJ − JOB

0,25

0

0

= 180 − IOJ + OJB = MOI + POJ + OJB = 180 − OJP + OJB
= OJC + OJB = 900

- Suy ra tam giác AOB vuông cân tại O. Mà A, B cố ñịnh suy ra tam

0,25

giác OAB cố ñịnh khi C thay ñổi.
Áp dụng bất ñẳng thức AM-GM ta có

0,25

b
4 3
4 
4
b
3

+ 2  a +  +  b +  +  c +  ≥ a + + 2.4 + .4 + 4
2
a 2
b 
c
2
2

2a + b
=
+ 18
2
Mặt khác 3abc = ( a 2 + c 2 ) + 2 ( b 2 + c 2 ) ≥ 2ac + 4bc ⇔ 3ab ≥ 2 ( a + 2b )

0,25

P =a+

5
1ñ

⇔

3 2 1
≥ +
2 a b

Theo BĐT Cauchy- Schwarz, ta có

0,25

2

2 1 4 1 ( 2 + 1)
9
+ =
+ ≥
=
⇒ 2a + b ≥ 6
a b 2a b 2a + b 2 a + b

- Do ñó P ≥ 3 + 18 = 21 . Dấu = xảy ra khi a=b=c=2
Vậy GTNN của P=21 khi và chỉ khi a=b=c=2.

---------------------HÕt------------------------

0,25