Bất đẳng thức cực trị

Khóa Luyện Giải Bài Tập Môn Toán

CHUYÊN ĐỀ
Đ T12- BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ

T12 001 - Cho x,y là hai số
ố thực thoả mãn
m điều kiện T12 002 - Cho a,b,c là các số
ố thực không nhỏ hhơn 1
chứng minh
xy  1 .
1
1
1
3
Chứng minh rằng
+
+

.
3
3
3
1
1
2
1 + a 1 + b 1 + c 1 + abc
+

.

2
2

1+ x

1+ y

1 + xy

T12 003 - Cho x, y, z   0;1 . Tìm giá trị
tr lớn nhất của

T12 004 – Chứng
ứng minh rằng với mọi số thực x,y ta có

(
(1+ x ) (1+ y ) 

biểu thức

2

æ 1
1
1 ö
P = (1 + xyz ) ç
+
+
.
3

3
3 ÷
è 1+ x 1+ y 1+ z ø

2

-

3
2
2
2
(b - c ) + (c - a ) + ( a - b)
4
 3 ( ab + bc + ca )

(

3 11+ ( x + y )

2

4

).

T12 006 - Cho x, y, z là các số
ố thực thỏa m
mãn điều kiện

T12 005 - Cho a,b,c là các số
ố thực chứng minh rằng

(a + b + c)

2

)

x2 + y2 + z 2 = 1 .
Chứng minh rằng:
a) -

1
£ xy + yz + zx £ 1 ;
2
2

b) ( xy + yz + 2xz ) -

8
 -3 .
( x + y + z ) - xy - yz + 2
2

T12 007 - Cho x,y,z là các số
ố thực không âm chứng minh
3
3
3

x + y + z  3xyz .

T12 008 - Cho x,y,z không âm ch
chứng minh:

T12 009 - Cho x,y,z không âm chứng
ứng minh

T12 010 - Cho x,y,z là các số
ố thực dương
d
chứng minh

x3 + y3 + z3
3
 xyz + ( x - y )(( y - z ) ( z - x )
3
4

æ y+z
ö
x + y + z - 3xyz  2 ç
- x÷ .
è 2
ø

3( x 2 + xy + y 2 )( y 2 + yz + z 2 )( z 2 + zx + x 2 )

T12 011 – Cho a,b,c là các số thực dương
ương thỏa

th mãn điều
kiện 0  a £ b £ c £ 1 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T12 012 - Cho x,y,z là các số
ố thực không âm thoả mãn
m
điều kiện x  y  z chứng
ứng minh rằng

3

3

3

3

P=

(

)

a + b c - (a + b) c .

T12 013 - Chứng
ứng minh với mọi số thực x,y cùng
c
dấu và số

thực k ta có

k2 + x + k2 + y  k + k2 + x + y .
T12 015 – Cho a,b,c là các số
ố thực không âm thoả mãn
m

a
b
c
điều kiện:
+
+
= 3.
1 + bc 1 + ca 1 + ab
Chứng minh rằng:

a
b
c
3
+
+

1 + a + bc 1 + b + ca 1 + c + ab 4

 ( x + y + z )2 ( xy + yz + zx) 2

xy + yz + zx x + z


.
y 2 + yz + z 2 y + z
xy + yz + zx
( x + z)( y + z)
b) 2

2
2
2
x + xy + y ( x + z ) + ( x + z ) ( y + z ) + ( y + z )
a)

T12 014 – Chứng
ứng minh rằng với x,y là hai số thực
không âm thỏa mãn x + y  1 ta luôn có

x2 + x + 4 + y2 + y + 4 £ 2 +

( x + y)

2

+ x+ y+4

T12 016 - Cho a,b,c là các số
ố thực không âm có tổng
bằng 1 chứng minh

1+ a 2 1+ b 2 1 + c2 7
+

+
£ .
1+ b 2 1+ c 2 1 + a 2 2


Khóa Luyện Giải Bài Tập Môn Toán
T12 017 - Chứng minh với mọi số thực a,b,c ta có
a + b + c + a+b+c  a+b + b+c + c+a .

T12 018 - Cho x,y,z là các số thực đôi một không đồng
thời bằng 0 chứng minh

-1 £
T12 019 - Cho a,b,c là các số thực không âm chứng minh
3

3 abc + a - b + b - c + c - a  a + b + c .

- y 2 )( y 2 - z 2 )( z 2 - x 2 )

2

+ y 2 )( y 2 + z 2 )( z 2 + x 2 )

£ 1.

T12 020 - Cho x,y,z là các số thực chứng minh

T12 022 - Chứng minh rằng với mọi số thực x,y thoả
mãn điều kiện x + y  -1, xy £ 2 ta có

a b ( a + b - 2 )  ( a + b ) ( ab - 1) .
2

2

x - y + y - z + z - x  2 x 2 + y 2 + z 2 - xy - yz - zx

T12 021 - Chứng minh rằng với mọi a,b dương ta có
2 2

(x
(x

2

x 3 + y 3  -7 .
T12 023 - Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn
điều kiện ab + bc + ca = 1.
Chứng minh rằng

a+b+c+

T12 024 - Cho x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện
x, y  -1; x + y + z = 3 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

5abc
 2.
3

P=

T12 025 - Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh
rằng

x2
y2 - 1
.
+
x 2 + y 2 + 4 ( xy + 1) z 2 - 4z + 5

T12 026 - Cho a,b,c là các số thực thuộc khoảng ( 0;1)
. Chứng minh rằng

x2 - z 2 y2 - x2 z 2 - y2
+
+
 0.
y+z
z+x
x+ y

( a - a )( b - b )( c - c )  ( a - bc )( b - ca )( c - ab )
2

2

2

T12 027 - Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều T12 028 - Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng:
điều kiện x £ y £ z . Chứng minh rằng
2 2 2
8a b c  ( a - bc )( b - ca )( c - ab ) .
æ1 1ö 1
æ1 1ö

y ç + ÷ + ( x + z) £ ç + ÷( x + z)
èx zø y
èx zø

T12 029 - Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều
kiện x  y  z chứng minh

x( x 2 + y 2 ) y ( z 2 + x 2 ) z ( y 2 + z 2 )
+
+
 x2 + y 2 + z 2 .
x+ y
z+x
y+z

T12 032 - Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn
điều kiện a + b + c = 1.
Chứng minh rằng

a + b + c = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P=

4

2

+

(c - a)
b+
4

2

+

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = 2 ( x3 + y 3 + z 3 ) - ( x 2 y + y 2 z + z 2 x ) .

T12 031 - Cho a, b, c  0 thỏa mãn điều kiện

(b - c )
a+

T12 030 - Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn  0;1 .

(a - b)
c+
4

2

2

.

T12 033 - Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều
kiện a + b + c = 3 . Chứng minh rằng

2 ( a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) + 3 £ 3 ( a 2 + b 2 + c 2 )

2

2

a + (b - c ) + b + ( c - a ) + c + ( a - b)  3 .
T12 034 - Cho các số thực a, b, c   0;1 thỏa mãn

a+b+c =

3
.
2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = cos ( a 2 + b 2 + c 2 ) .
T12 035 - Cho x, y là các số thực không âm.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T12 036 - Cho a, b, c  0 là các số đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng

æ

P=

( x - y )(1 - xy ) .
2
2
( x + 1) ( y + 1)

Hotline: 0964.946.876

( ab + bc + ca ) çç

1

è ( a - b)

2

+

1

(b - c )

2

+

1

(c - a )

2

ö
÷ 4.
÷
ø

Page2


Khóa Luyện Giải Bài Tập Môn Toán
1 1 2
+ = .
a c b
a+b
c+b
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
.
+
2a - b 2c - b
T12 039 - Cho a, b, c   0;1 . Chứng minh rằng
T12 037- Cho a, b, c > 0 và

a (1 - b ) + b (1 - c ) + c (1 - a ) £ 1 .

T12 038 - Cho a, b, c   0;1 . Chứng minh rằng

1
1
1
+
+
 3abc
2-a 2-b 2-c
T12 040 - Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3 .
Chứng minh rằng

4
3

(a + b)

+

4

(b + c )

3

+

4

(c + a)

3



a
b
c
+
+
b+c c+a a+b

P = a 2 + ab + b 2 + b2 + bc + c 2 + c 2 + ca + a 2 ..

T12 042 - Cho a,b,c là các số thực thoả mãn điều kiện
a2 + b2 + c2 = 3.
Chứng minh rằng
a3 (b + c) + b3 ( c + a ) + c3 ( a + b ) £ 6 .

T12 043 - Chứng minh với mọi số thực x ta có
cos(sin x) > sin(cos x) .

T12 044 - Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh
rằng

T12 041- Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện

a + b + c = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

a)

2

1æb+cö
æb+cö
1+ ç
÷ £ 1+ ç
÷ .
2è a ø
è a ø

b)

a3
a3 + ( b + c )

T12 045 - Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn
điều kiện ab + bc + ca > 0 . Chứng minh rằng

a
2a

a)
.
b+c a+b+c
a

b
c
b)
+
+
 2.
b+c
c+a
a+b
T12 047- Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều
kiện xyz = 1 .
Chứng minh rằng

1+ x 3 + y 3
1+ y 3 + z 3
1+ z 3 + x 3
+
+
 3 3.
xy
yz
zx
T12 049 - Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều
a > b;a + b + c = 4 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 4a + 3b +

c3
.

(a - b)b

3

b3

+

3

b3 + ( c + a )

+

c3
c3 + ( a + b )

3

1

T12 046 - Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh
rằng
4

a)

b)

a

a 2 + 8bc



a3
4
3

4
3

4
3

.

a +b +c
b
c
+
+
1.
a 2 + 8bc
b 2 + 8ca
c 2 + 8ab
a

T12 048 - Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng
3.
Chứng minh rằng

a ( b + c ) + b ( c + a ) + c ( a + b )  3 2abc .
T12 050 - Cho a2 ,a3 ,..., an là các số thực dương thoả
mãn điều kiện a2 a3 ...an = 1 .
Chứng minh rằng

(1+ a2 )2 (1+ a3 )3 ...(1+ an )n > nn .

T12 051 - Cho x,y,z là các số thực chứng minh

T12 052 - Chứng minh rằng

1 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) (1- xy ) (1- yz ) (1- zx ) 1
- £
£ .
2
2
2
8
8
(1+ x 2 ) (1+ y2 ) (1+ z2 )

x 12 - y + y (12 - x 2 ) £ 12 với x, y là các số thực

ì0 £ x £ 3
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
î0 £ y £ 4

T12 053 - Cho í

Hotline: 0964.946.876

để các căn thức có nghĩa.
T12 054 - Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn
điều kiện a + b + c = 1 .

Page3


Khóa Luyện Giải Bài Tập Môn Toán
thức P = ( 3 - x ) ( 4 - y ) ( 2x + 3y )

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T12 055 - Cho a,b,c là các số thực không âm có tổng bằng
3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T12 056 - Chứng minh rằng với mọi số thực dương a
và b ta có

P = ( a + 2b + 3c )( 6a + 3b + 2c ) .

.
T12 057 - Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh

81abc ( a + b + c ) £ ( a + b + c ) .
2

2

5

2

2a ( a + b ) + b 2 ( a 2 + b 2 ) £ 3( a 2 + b 2 ) .
3

T12 058 - Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh
rằng

a + 3 ab.
T12 059 - Chứng minh rằng với mọi x,y,z không âm ta có
3

yz 3

3

3

3

3

y +z
z +x
x +y
+ zx 3
+ xy 3

2
2
2
3

3

3

( x + y) + ( y + z ) + ( z + x)
£

T12 060 - Cho a,b,c là các số thực không âm chứng
minh rằng
2

3

.

a+b 3
a+b a+b+c
+ abc £ 3 3 a.
.
.
2
2
3
2

( a + b) (b + c ) (c + a )

2

 4 ( a 2 + bc )( b2 + ca )( c 2 + ab )

8

T12 061 - Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1

a + bc b + ca c + ab
chứng minh:
+
+
 2.
b+c
c+a
a+b
T13 063 - Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh

1
1
1
1
+ 3 3
+ 3
£
3
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc

T12 062 - Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh

1 + a2
1 + b2
1 + c2
+
+
 3.
b+c
c+a
a+b
T11 064 - Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn
2
2
2
điều kiện a + b + c = 1.

3

T12 065 - Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1.
Chứng minh rằng

ab
bc
ca
1
+
+
£ .

c + ab
a + bc
b + ca 2
T12 067 - Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 3
chứng minh

a2 + b2 + c
b2 + c2 + a
c2 + a2 + b
+
+
 3.
a + b + c2
b + c + a2
c + a + b2
T12 069 - Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn
điều kiện a + b + c = 3 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = a b 3 + 1 + b c3 + 1 + c a 3 + 1 .
T12 071 - Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều
kiện b  a > c > 0 .
Chứng minh rằng

ab +

c (a - b)
ab

+

Chứng minh rằng:

T12 066 - Cho a,b,c là các số thực dương.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

b öæ b
c öæ c
a ö
æ a
+
+
+
ç
֍
֍
÷  1.
è b + c c + a øè c + a a + b ø è a + b b + c ø
T12 075 - Cho các số thực a,b,c thay đổi thỏa mãn điều
kiện a 2 + b 2 + c 2 = 1

a + 3c
4b
8c
+
.
a + 2b + c a + b + 2c a + b + 3c

T12 068 - Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn
điều kiện ab + bc + ca > 0 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a (b + c)
b (c + a)
c(a + b)
.
+
+
2
2
a + bc
b + ca
c 2 + ab

P=

T12 070 - Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn
điều kiện a + b + c = 5 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = a 4b + b 4 c + c 4 a .
T12 072 - Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh
2

3

1
 3.
c (a - c)

T12 073 - Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương ta có:

a
b
c
3 3
+ 2
+ 2

2
2
2
b +c c +a
a +b
2
2

2

2

æ 2a ö
æ 2b ö
æ 2c ö
çè
÷ø + 3 çè
÷ø + 3 çè
÷  3.
b+c

c+a
a + bø

T12 074 - Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn
điều kiện a + b + c = 3 .
Chứng minh rằng

a + b + c  ab + bc + ca .
T12 076 - Cho x,y,a,b,c là các số thực thoả mãn điều
kiện

( x + a )2 + ( y + b )2 + ( x + y )2 = c 2 .


Khóa Luyện Giải Bài Tập Môn Toán
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = a 3 + b3 + c 3 - 3abc .

Chứng minh rằng: ( a + b ) £ 3c 2 .

T112 077 - Cho x,y,z,t là các số thực thoả mãn điều kiện

T12 078 - Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn
điều kiện 4xy + 2yz - zx = 25
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

2

ìx + y = 9
ï 2 2
í z + t = 16 .
ï xt + yz = 12
î

2

P=

x 2 + 4y 2 2 2
+
z + 4xy .
z 2 + 4xy 5

Chứng minh rằng x + z £ 5 .
T12 079 - Cho x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện
2

2

2

x + y + z = 6.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = ( x - y )( y - z )( z - x ) .
T12 081 - Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều
kiện

a b c
+ + =5.
b c a

T12 080 - Cho x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện
x 2 + y2 + z2 = 2 .
Chứng minh rằng
x + y + z £ 2 + xyz .
T12 082 - Cho các số thực x,y,z
thỏa mãn x + y + z = 0 và

x2 + y 2 + z 2 = 1 .

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b c a
P= + + .
a b c
T12 083 - Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn
điều kiện a + b + c = 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 3 ( a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) + 3 ( ab + bc + ca )

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = x5 + y 5 + z 5 .
T12 084 - Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức

P=

a b c
8abc
+ + -2 +
.
b c a
( a + b )( b + c )( c + a )

+ 2 a 2 + b2 + c 2
T12 085 - Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn
điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

16
x2 y2 + y2z2 + z2x2 + 1

+

T12 086 - Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn
điều kiện ab + bc + ca = 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + b + c + abc

xy + yz + zx + 1
.
x+ y+z

T12 087. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều
kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = 6 ( y + z - x ) + 27xyz .

T12 088. Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn điều kiện

x2 + y2 £

1 2
z .
2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

æ1 1 1ö
P = ( x4 + y 4 + z 4 ) ç 4 + 4 + 4 ÷ .
y
z ø
èx
T12 089. Cho a,b,c là các số thực phân biệt thỏa mãn
a + b + c = 1 và ab + bc + ca > 0 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

2
2
2
5
.
+

+
+
a -b b-c c -a
ab + bc + ca

T12 091. Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn điều kiện
a 2 + b2 + c2 = 5 .
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
P = ( a - b )( b - c )( c - a )( ab + bc + ca ) .
T12 093. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều
kiện x £ z .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Hotline: 0964.946.876

T12 090. Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn
điều kiện

2 ( a 2 + b2 + c 2 ) = ( ab + bc + ca + 1)( ab + bc + ca ) .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = 2 a2 + b2 + c2 - a - b - b - c - c - a .
T12 092. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều
kiện y 2  xz; z 2  xy .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

x
y

z
+
+ 2014.
.
x+ y y+z
z+x

T12 094. Cho các số thực a,b,c 

1
thoả mãn điều
9
Page5


Khóa Luyện Giải Bài Tập Môn Toán

P = 2+

2x 2

(

x+y

)

2

-

(

2z 2y + z

( y + z)

2

)+

3z
.
z+x

kiện abc = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

a
b
1
.
+
+
b + ab c + ab 1 + c

T12 095. Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn

T12 096. Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn

điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 2 .

điều kiện a + b + c = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P=

2

x2
y+z
1 + yz
.
+
2
x + yz + x + 1 x + y + z + 1
9

T12 097. Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn
điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1.
Chứng minh rằng

x
y
z

+
+
£ 2.
1+ yz 1+ zx 1+ xy
T12 099. Cho các số thực thoả mãn điều kiện
x > y > z > 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

y
z
+
+
x - y y - z 8x

Hotline: 0964.946.876

x2

(

xz - z

)

.

P=

2

2

2a + c 2b + c a + b + c
.
+
+
1 + bc 1 + ca 1 + 2abc

T12 098. Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn
điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 2 .
Chứng minh rằng

x2
y2
z2
+
+
£ 1.
x 2 + yz + 1 y 2 + zx + 1 z 2 + xy + 1
T12 100. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều
kiện
a 2 + b2 + c 2 + 2ab = 3 ( a + b + c ) .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 6 ( a + b ) + c2 +

2014
2014

.
+
a+c
b+2

Page6