TIM THEM LOI GIAI CHO CAU BAT DANG THUC THI HSG LOP 9 TP VT2014

TÌM THÊM LỜI GIẢI CÂU BẤT ĐẲNG THỨC HSG LỚP 9 TP VIỆT TRÌ
NĂM HỌC 2014-2015

Đề thi HSG môn Toán lớp 9 Thành Phố Việt Trì năm học 2014-2015 là một đề
thi hay, có nhiều ý tưởng mới. Trong đó Bài 5 là một câu BĐT, đây là bài toán khó
nhất của đề thi. Bài toán này gây rất nhiều khó khăn cho các em học sinh. Đáp án của
đề thi là một lời giải khá đặc sắc.
Dưới đây xin trình bày thêm một số lời giải khác so với đáp án của đề thi. Rất
mong nhận được sự trao đổi của các thầy cô, cũng như các em học sinh yêu Toán.
Bài 5. Cho a, b là các số thực không âm thỏa mãn a + b = 1 . Chứng minh rằng
3 1 + 2a 2 + 2 40 + 9b 2 ≥ 5 11

(Đề thi HSG lớp 9 TP Việt Trì năm học 2014-2015)
Lời giải:
Trước hết ta chứng minh BĐT phụ: ( a12 + a22 ) ( b12 + b22 ) ≥ ( a1b1 + a2b2 ) ( ∗)
2

2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
Thật vậy: ( ∗) ⇔ a1 b1 + a2 b2 + a1 b2 + a2 b1 ≥ a1 b1 + a2 b2 + 2a1b1a2b2
2
⇔ ( a1b2 − a2b1 ) ≥ 0 BĐT này luôn đúng với ∀a, b ⇒ đpcm.
Dấu đẳng thức xảy ra khi a1b2 = a2b1
Áp dụng BĐT ( ∗) ta có:

( 1 + 2a ) ( 9 + 2 ) ≥ ( 3 + 2a )

3 ( 3 + 2a )

( 1)
11
2 20 + 3b
( 40 + 9b2 ) ( 10 + 1) ≥ ( 20 + 3b ) 2 ⇒ 2 40 + 9b2 ≥ ( 11 ) ( 2 )
3 ( 3 + 2a ) 2 ( 20 + 3b )
+
= 5 11 vì a + b = 1
Từ ( 1) , ( 2 ) ⇒ 3 1 + 2a 2 + 2 40 + 9b2 ≥
11
11
2

2

⇒ 3 1 + 2a 2 ≥

Suy ra BĐT đã cho được chứng minh.
1
1. 2 = a 2.3

a
=


3
Dấu đẳng thức xảy ra khi  40.1 = 3b. 10 ⇔ 
a + b = 1
b = 2



3

-------------------------Hết----------------------Việt Trì, ngày 6/11/2014
Bùi Hải Quang