Đề thi GVG môn Toán THCS Thạch Hà

ĐỀ THI CHỌN GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2013-2014
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao nhận đề)
Bài 1:
1. Cho các số: a = 11...11 (2n chữ số 1); b = 44...44 (n chữ số 4). Chứng
minh rằng: a+b+1 là số chính phương với mọi số tự nhiên n.
2. Cho các số tự nhiên a, b; thỏa mãn: a2+b2 chia hết cho 3. Chứng minh
rằng: tích ab chia hết cho 9.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
1. M = ( x − 2013) 2 + ( x − 2014) 2
2. N = x − 1 + x − 2 + x − 3
Bài 3:
1. Giải phương trình:

3

x −1 + 3 x − 2 = 3 2x − 3

2. Phân tích ra thừa số: x4 + 64
Bài 4: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ dây CD vuông góc với
AB tại H. Phân giác của góc ADC cắt AB tại I và cắt đường tròn (O) tại M.
1. Chứng minh: MA=MI=MC.
2. Gọi N là giao điểm của MO với (O). Chứng minh: tam giác MCN đồng
dạng với tam giác ICH.
3. Đặt OI=d; IH=r. Chứng minh: R2-d2=2Rr.
Bài 5: Tìm các số tự nhiên a, b. Biết: a+1 chia hết cho b và b+1 chia hết
cho a.

PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THẠCH HÀ

1


Sơ lược giải và hướng dẫn chấm môn Toán
Bài 1: 2 điểm (mỗi câu 1 điểm)
102 n − 1
10n − 1
1. Ta có: a = 11...11=
; b = 44...44 = 4
9
9
2n
n
n
10 + 4.10 + 4 10 + 2 2
nên a+b+1 =
=(
)
9
3
10n + 2
n
Mặt khác 10 +2 chia hết cho 3, nên
là số nguyên
3
Vậy a+b+1 là số chính phương (đpcm)
2. Đặt a=3k+r (r=0; 1; 2); a2 = 9k2+6k+r2 suy ra a2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1.
tương tự b2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1
Nếu a không chia hết cho 3, suy ra a2 chia cho 3 dư 1. Do a2+b2 chia hết
cho 3 suy ra b2 chia cho 3 dư 2 (loại)

Vậy a chia hết cho 3, từ a2+b2 chia hết cho 3 suy ra b chia hết cho 3; nên
ab chia hết cho 9 (đpcm)
Bài 2
1. M = ( x − 2013)2 + ( x − 2014) 2 = x − 2013 + x − 2014
Mặt khác: M = x − 2013 + x − 2014 ≥ x − 2013 − x + 2014 = 1
Dấu "=" xẩy ra ↔2013≤x≤2014
Vậy GTNN của M =1
2. x − 2 ≥0 dấu "=" ↔x=2 (1)

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2 điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

x − 3 + x − 1 ≥ 2 dấu "=" xẩy ra ↔1≤x≤3 (2)

Do đó: N≥2 dấu "=" xẩy ra ↔x=2
Trả lời: GTNN của N=2
Bài 3: 2 điểm (mỗi câu 1 điểm)
1. Lập phương 2 vế của phương trình:

2 điểm
0,25

0,25
0,25
3

x − 1 + 3 x − 2 = 3 2 x − 3 ta

0,25

được: 2x-3+ 3( 3 x − 1 + 3 x − 2) 3 ( x − 1)( x − 2) = 2 x − 3
Hay ( 3 x − 1 + 3 x − 2) 3 ( x − 1)( x − 2) = 0 . Xét 2 khả năng:

0,25

a) 3 ( x − 1)( x − 2) = 0 ↔x=1 hoặc x=2

0,25

b)

3

x − 1 + 3 x − 2 = 0 ↔x=

3
2

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x=1; 2;
2. x4+64=x4+2.x2.2.22 +(2.22)2 - 16x2
=(x2+8)2-(4x)2
=(x2-4x+8)(x2+4x+8)

3
2

0,25
0,25
0,25
0,25
2


Vậy: x4+64=(x2-4x+8)(x2+4x+8)
Bài 4:
)
)
1. DM là phân giác góc ADC, nên AM = MC → MA=MC (1).
sđ MABˆ =

C
M

A

I

)

)
1
( MC + CB ) ;
2
)
)
)
)
1
AIMˆ = ( AM + DB ) mà MC = MA ;
2
)
)
CB = BD ; nên MAIˆ = MIAˆ hay ∆MAI cân

0,25
3 điểm
1 điểm

O

B

tại M (2). Từ (1) và (2) suy ra đpcm
2. ∆IHC=∆IHD (t/c đối xứng của đường
D
tròn). Mặt khác MDCˆ = MNCˆ (cùng chắn
cung MC) suy ra các tam giác vuông IHD,
IHC và MCN đồng dạng (g.g)
N

3. ∆IHD : MCN nên

1 điểm
1 điểm

IH
ID
=
↔ID.MC=IH.MN=2Rr (3); do
MC MN

MC=MI nên MI.ID=AI.IB=(R-d)(R+d)=R2-d2 (4)
Từ (3), (4) suy ra: R2-d2=2Rr (đpcm)
Bài 5:
Do vai trò của a, b bình đẳng, không mất tính tổng quát giả sử: 1≤a≤b
*Nếu a=b→a=b=1
*Nếu a
1 điểm
0,25
0,25

Từ (1), (2) → a+1=b kết hợp b+1:a→a+2:a→a là ước số của 2 →a=1; 2.
Nếu a=1→b=2; nếu a=2→b=3

0,25

Vậy (a, b)=(1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 3); (3; 2).

0,25

Lưu ý:
-Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa;
-Điểm bài thi làm tròn đến 0,5.

3