ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9(2009 2010)

Trờng THCS Yên Thái
Đề thi học sinh giỏi toán 9 (năm học 2009- 2010)
Thời gian làm bài 150 phút
Họ và tên ngời ra đề: Nguyễn Thị Thuý Hằng
Đề bài:
Câu1. ( 4 điểm)
Cho biếu thức
2x x + x x

M =


x x 1



x+ x
x 1
x

+

x 1 2x + x 1 2 x 1

a, Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó
rút gọn M.
b, Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và
tìm giá trị nhỏ nhất đó của M?
Câu 2. ( 4 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của hệ
2 y 2 x 2 xy + 2 y 2 x = 7

3
x + y 3 + x y = 8

Câu 3. (4 điểm)
Cho A (6,0); B (0,3)
a, Viết phơng trình đờng thẳng AB.
b, Một điểm M (x;y) di chuyển trên đoạn thẳng AB. Gọi C; D
theo thứ tự là hình chiếu của M trên OA; OB. Gọi N là điểm chia
đoạn thẳng CD theo tỷ số 1:2. Tính toạ độ (x; y) của N theo ( x; y) .
c, Lập một hệ thức giữa x; y từ đó suy ra quĩ tích của N.
Câu 4. (5 điểm )
Cho ( 0; R )đờng thẳng d cắt ( O ) tại 2 điểm A; B. trên d lấy 1
điểm M và từ đó kẻ 2 tiếp tuyến MN; MP ( N; P là tiếp điểm)
a, C/M: PMO = PNO
b, Tìm 2 điểm cố định mà đờng tròn ( MNP ) luôn đi qua khi
M di động trên d.
c, xác định vị trí của M để MNP là đều.
Câu 5.( 3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q=

1 x10 y 10

+ 2
2 y 2
x

1 16
+ x + y 16 1 + x 2 y 2
4

Đáp án:
Câu 1. (4đ)

(

) (

)

2


a, Điều kiện để biểu thức có nghĩa là: x 0, x

1
và x#1.
4

(0,5đ)
2x x + x x

M =



x+ x
x 1
x
.

+
x 1 2 x + x 1 2 x 1

x x 1

x 2x + x 1 x + x
x 1
x
=

+

x 1 2x + x 1 2 x 1
x x 1


(

=
=

)

x ( x 1)

x x 1
x

(

)

(2

x

(

)(

x 1

)

x +1

)

x +1

+

x
2 x 1

=

x

(

(x +

)
x + 1) 2

x +1

(0,5đ)
x
x 1

+

x
2 x 1

(1đ)

x +1

x + x +1

(0,5đ)
b, Do x 0 nên M 0 . Đẳng thức xảy ra khi x = 0
(0,5đ)
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 0 khi x = 0
(1đ)

Câu 2. Viết lại hệ đã cho dới dạng
(x+2y+2) ( x-y) =-7
(1)
3
3
x +y +x-y = 8
(2)
(1,5đ)
Từ (1) do x, y nguyên ta có các trờng hợp sau:
a, x- y=-1 và x+2y+2 = 7 =>x=1 và y = 2 thoả mãn ( 2)
(0,5đ)
b, x-y = 1 và x+ 2y +2 = -7 => x+2y = -9 => y không nguyên
(o,5đ)
c, x- y= -7 và x+ 2y +2 = 1
Giải hệ nàyđợc nghiệm ( x, y) = ( -5,2) không thoả mãn phơng
trình (2) (0,5đ)
d, x-y = 7 và x+2y+2 = -1 => x+2y =-3 => y không nguyên
(0,5đ)
Tóm lại hệ đã cho có duy hất một nghiệm nguyên (x, y) =(1, 2)
(0,5đ)
Câu 3. (4đ)
a, Gọi phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b ( a # 0)
(0,5đ)
Đờng thẳng đi qua điểm A ( 6; 0) nên ta có 6a+ b = 0 (1) và đi
qua điểm B ( 0;3) nên ta có b = 3. Thay b = 3 vào (1) => a = (0,5đ)
Vậy đờng thẳng AB là y = (0,5đ)

1
x +3
2

1
2


b, Gọi H là hình chiếu của N trên OA, K là hình chiếu của N
trên OB
Tam giác DOC có KN// OC nên =>

KN DN 2
2
2
=
= KN = OC x ' = x
OC DC 3
3
3

(1) (0,5đ)
NH CN 1
1
1
=
= NH = OD y ' = y
DO CD 3
3
3

Tơng tự NH // OD =>

(2)

(0,5đ)
=>N có toạ độ ( x =

2
1
x ; y = y)
3
3

(0,5đ)
c, Từ (1) => x=
1

3
1
1
x; y= 3y thế vào y= - x+ 3 => y = - x +
2
2
4

(0,5đ)

Vậy quĩ tích điểm N là phần đờng thẳng y= -

1
x + 1 nằm
4

trong góc phần t thứ nhất.
(0,5đ)
Câu 4. (5đ)

a, MN, MP là hai tiếp tuyến của ( O) => ON NM ; OP PM ONM
= 90 , OPM = 900
(0,5đ)
=> tứ giác ONMP có góc ONM + OPM = 1800. Do đó tứ giác
ONMP nội tiếp đờng tròn đờng kính OM
(1đ)
b, Kẻ OQ vuông góc với AB => QA = QB ( đờng kính vuông góc
với dây) (0,5)
Vì AB cố định => Q cố định .
(0,5đ)
Gọi I là trung điểm của OM tam giác OQM vuông tại Q => QI =
IO = IM. Vậy Q thuộc đờng tròn đờng kính OM.
(0,5đ)
0


Kết hợp với câu a => 5 điểm M, N, O, Q, P thuộc đờng tròn đờng kính OM => đờng tròn ( MNP) luôn đi qua hai điểm O, Q cố
định khi M di chuyển trên d . (0,5đ)
c, Để tam giác MNP đều => góc NMP = 600 mà MO là phân giác
của góc NMP
=> NMO = 300 => ON =

1
OM => OM = 2NO = 2R.
2

(0,5đ)
Dựng cung tròn tâm O bán kính 2R cắt d tại M => M là điểm
cần dựng để tam giác MNP đều
(0,5đ)
Thật vậy OM = 2R= 2ON => sin NMO =

ON 1
= NMO =300 =>
OM 2

NMP = 600
Vậy tam giác MNP là tam giác đều.
(0,5đ)
Câu 5. (3đ)
áp dụng bất đẳng thức cô si cho bốn số không âm ta có:

1 x 10 y 10
x 10 y 10 .1.1
2 + 2 + 1 + 1 24
= 2x 2 y 2
2 2
2 y
x
x
y

1 16
x + y 16 + 1 + 1 4 x16 y 16 1.1 = x 4 y 4
4

1 x 10 y 10 1
3
2 + 2 + x 15 + y 16 + + 1 x 4 y 4 + 2 x 2 y 2 + 1
2 y
2
x 4

(

)

(

)

2
1 x 10 y 10 1 16
5
2 + 2 + x + y 16 x 2 y 2 + 1
2 y
2
x 4
5
Q
2
5
Do đó giá trị nhỏ nhất của Q là - khi x2 = y2 = 1
2

(

(1đ)

(1đ)

) (

)

( 1đ)