ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

Phòng Giáo dục & Đào tạo Yên Định
Trờng THCS Thị trấn Quán Lào
Đề thi Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Họ tên ngời ra đề : Mạch Thị Hơng
Các thành viên thẩm định đề: Nguyễn Thị Lan Anh
Phạm Thị Thủy
Bài 1:(4đ) Cho biểu thức:
A= (1+

1
2 x
x

):(
)
x 1 x x + x x 1
x +1

a>Rút gọn biểu thức A
b>Tìm x để A> 1
Bài 2: ( 3đ) Giải hệ phơng trình:

3
3
x + y = 1
5
5
2
2
x + y = x + y

Bài 3:(4đ) Cho đờng thẳng(Dm) có phơng trình (m + 2)x + (m 1)y
1=0
a>
Chứng minh khi m thay đổi đờng thẳng (Dm) luôn đi qua
một điểm cố định .
b>
Tìm giá trị của m để khoảng cách từ O đến đờng thẳng
(Dm) lớn nhất.
Bài 4:(7đ) Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB. Điểm M thuộc nữa
đờng tròn, điểm C thuộc đoạn OA.Trên nửa mặt phẳng bờ AB có
chứa M vẽ tiếp tuyến Ax,By.Đờng thẳng qua M và vuông góc MC cắt
Ax;By tại P và Q. AM cắt CP tại E; BM cắt CQ tại F.
a.Chứng minh tứ giác ACMP nội tiếp.
b.Chứng minh: c.Chứng minh: EF // AB.
Bài 5:(2đ)
Cho a,b,c, là các số thực dơng có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
a2
b2
c2
d2
1
+
+
+

a+b b+c c+d d +a 2

Bài 1:a> ĐKXĐ:

đáp án toán 9

x 0; x 1

(0,25đ)


x + 1+ x 1
2 x
ữ
:

x 1
ữ
x +1
x
x
+
1

x
+
1
(
)
(
)

x + x +1 1
2 x
=
:

x 1 ( x +1)
x +1
x 1


A=

(

=

)

(0,5đ)

ữ(0, 5d )
ữ


x + x +1
x +1 2 x
:
(0, 5d )

x +1
( x +1) x 1

(
)
x + x +1 ( x +1) ( x 1)
=
ì
(0, 5d )
x +1
x

1
(
)
2

=

x + x +1
(0, 5d )
x 1

Vậy A=
b>

x + x +1
với x 0; x 1 (0,25đ)
x 1

x + x +1
x + x +1
>1
- 1 > 0
x 1
x 1
x + x +1 x +1
x+2
>0
> 0 (0,75đ)
x 1
x 1

A>1

Do x 0 x + 2 > 0 x 1 > 0 x > 1. (0,5đ).
Kết hợp với ĐKXĐ 0 x < 1 thì A> 1 (0,25đ)
Bài 2: Giải hệ phơng trình


( x 3 + y 3 ) ( x 2 + y 2 ) = x 5 + y 5
x 3 + y 3 =1



5
5
2
2
3

3
x
+
y
=
x
+
y



x + y =1

x 5 +x 3 y 2 +x 2 y 3 + y 5 = x 5 + y 5

3
3

x + y =1

(0,5đ)


x 2 y 2 (x +
y)=
0


(1)
3

3
x
+
y
=
1





x =
0


y =
0


(Vì x 3

(0,5đ)

(0,5đ)

(0,5đ)

2
2
+ y 3 = 1 ( x + y ) ( x xy + y ) =1 ( x + y ) 0 ) (0,25đ)

*Với x = 0 thay vào phơng trình (1) ta đợc y =1 (0,25đ)
*Với y= 0 thay vào phơng trình (1) ta đợc x =1 (0,25đ)
Vậy hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm (x;y) = (0;1); (1;0)
(0,25đ)
Bài 3:
a> (m+2)x + (m -1)y 1 = 0 mx + 2x + my y 1 = 0
(0,25đ)
m(x + y) + 2x y -1 = 0
( 0,25đ)
x + y = 0

2 x y 1 = 0
1

x = 3

y = 1

3


(0,5đ)
(0,75đ)
1 1

Vậy với mọi m thì (Dm) luôn đi qua một điểm cố định ; ữ
3 3
( 0,25đ)
b>Với m = -2 thì (Dm) có dạng: - 3y 1 = 0.Khoảng cách từ 0 đến

(Dm) là

1
3

(0,5đ)

Với m = 1 thì (Dm) có dạng: 3x -1 = 0.Khoảng cách từ 0 đến (Dm) là
(0,5đ)

1
3


Với m 2 ; m 1.Khoảng cách từ 0 đến (Dm) lớn nhất khi OI (Dm) mà
1
1


;0 ữvà cắt Oy tại B 0;
ữ
m+2
m 1

(Dm) cắt Ox tại A
y

(0,5đ)

AOB vuông tại O có OI là đờng cao nên

1
1
1
9
1
2
2
=
+
= ( m + 2 ) + ( m 1) m =
(0,5đ)
2
2
2
OI
OA OB
2
2

1
3

A
O

x

1
3

I
B

Bài 4:
a.Ta có : Tứ giác APMC nội tiếp trong đờng tròn đờng kính PC (2đ)
b. Tơng tự tứ giác QMCB nội tiếp đờng tròn đờng kính QC nên:
x
(0,5đ)
P
c>

Ta có: giác EMFC nội tiếp đờng tròn đờng kính EF
E
(0,5đ) A
Mà C
(0,5đ)
(0,25đ)

y

M

Tứ

Q
F
O

B

Bài 5: áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho các cặp số không âm :
a2 a + b
;
ta đợc
a+b 4

Tơng tự

a2
a+b
a2 a + b
+
2
=a
a+b
4
a+b 4
b2
b+c
+

b
b+c
4

(0,5đ)


c2
c+d
+
≥c
c+d
4
d2
d +a
≥d
+
d +a
4

Céng tõng vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®îc:
2( a + b + c + d )
a2
b2
c2
d2
+
+
+
+

≥ a + b + c + d (0,5d )
a+b b+c c+d d +a
4
a2
b2
c2
d2
1
+
+
+
+ ≥ 1(0, 25d )
a+b b+c c+d d +a 2
a2
b2
c2
d2
1
+
+
+
≥ W.(0, 25d )
a+b b+c c+d d +a 2

(0,5®)