ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

Phòng giáo dục & đào tạo

Trờng THCS Yên Hùng

Đề thi môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Họ và tên ngời ra đề: Nguyễn Xuân Hùng.
Các thành viên thẩm định đề:
1 Nguyễn Xuân Niên
2 Nguyễn Xuân Hùng
Câu 1. (4đ) Cho biểu thức A = (

x x 1 x x +1 x + 2
):
x2
x x x+ x

a, Nêu điều kiện phải có của x và rút gọn biểu thức A
b, Tìm những giá trị của x để A có giá trị nguyên.
Câu 2. (4đ) Giải phơng trình.
a,

x +1
x+2
x+3
x+4
+
=
+
2008
2007

2006
2005

b, x 1 + 4 x 5 + 11 + x + 8 x 5 = 4
Câu 3. (4đ) Cho đờng thẳng (m+2)x my = -1 (1) (m là tham số)
a, Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (1) luôn đi qua.
b, Tìm điểm cố định của m để khoảng cách từ O đến đờng thẳng (1) là
lớn nhất.
Câu 4. (6đ) Cho ABC (AB = AC ) Biết àA = 800 .
ã
ã
Lấy điểm I nằm trong tam giác sao cho ICB
= 200; IBC
= 100
a, Lấy K đối xứng với i qua AC . Chứng minh rằng tứ giác AKCB nội tiếp .
b, Tính ãAIB
Câu 5. (2đ) Cho 2 số dơng x,y có tổng bằng 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức .
A=

1
1
+y
x


Đáp án biểu điểm
Câu 1. (4đ)
Câu a, Lập luận giải kết hợp để tìm điều kiện của A.
( x > 0, x 1, x 2) cho (0,5đ)

2 x2 2 x
biến đổi biểu thức trong ngoặc: 2
x x

(0,75đ)

2 x2 2 x x 2 2 x 4
.
=
(0,75đ)
x+2
x2 x x + 2
2x 4
2( x + 2) 8
8
Câu b, A =
=
=2(0,5đ)
x+2
x+2
x+2
8
Để A nguyên
nguyên 8 M(x+2) hay x+2 là Ư8 (0,5đ)
x+2

A=

Vì x > 0 x+2 > 2 Do đó x+ 2 = 4; x+2 = 8
(0,5đ)

Tính x = 2 hoặc x = 6 vi x 2 nên x =6 . Thì A có giá trị nguyên. (0,5đ)
Câu 2. (4đ)

x +1
x+2
x+3
x+4
+
=
+
2008
2007
2006
2005
x +1
x+2
x+3
x+4
(
+1) + (
+ 1) = (
+ 1) + (
+ 1) (0,5đ)
2008
2007
2006
2005
x + 2009
x + 2009
x + 2009

x + 2009

+
=
+
(0,5đ)
2008
2007
2006
2005

a,

(x + 2009)(

1
1
1
1
+
)=0
2008 2007 2006 2005

x + 2009 = 0
x = -2009
b, x 1 + 4 x 5 + 11 + x + 8 x 5 = 4
x 5 + 4 x 5 + 4 + x 5 + 2.4 x 5 + 16 = 4

(0,5đ)
(0,5đ)

(0,5đ)

(2 + x 5) 2 + (4 + x 5) 2 =4
(0,5đ)
2 + x 5 + 4+ x 5 = 4 (x 5)
2 x 5 = -2 Vô lý
(0,5đ)
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm
(0,5đ)
Câu 3 . (4đ)
a, (2đ) (m+2)x my = -1 (1)
Điều kiện cần và đủ để đờng thẳng (1) đi qua điểm cố định M(x0;y0)
m là : (m+2)x0 my0 = -1 m


Biến đổi đợc:

{

x0 y0 =0
2 x0 +1=0

x0 = 21
y = 1
0 2

Vậy đờng thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định M(-1/2;-1/2)
b, (2đ) Gọi A là điểm của đờng thẳng (1) với trục tung
x = 0 y =

1
1
do đó OA = m
m

B là giao điểm của đờng thẳng (1) với trục hoành
1

1

Y = 0 x = m + 2 do đó OB = m + 2
H là khoảng cách từ ) đến đờng thẳng (1).
1
1
1
2
2
2 =
2 +
2 = m + (m + 2)
h
OA
OB
= 2(m + 1)2 + 2 2
1
2 2; max h = 2 m = -1
h
2

Câu 4. (6đ)
a, (4đ)
Chứng minh đợc ICK đều .
- Chỉ ra đợc BIK = BIC
(c.g.c).
(0,5đ)
ãABK = ãAKC = 300
(1,5đ)
do đó B,C cùng nhìn AK dới một góc 300
(1đ)
tứ giác AKCB nội tiếp đợc
(1đ)
b, (2đ)
ã
ã
Chỉ ra đợc KAC
= KBC
= 200
ã
ã
IAC
= 200 IAB
= 600 (1đ)
Trong ABI ãAIB = 800
(1đ)
Câu 5. (2đ)
1

1

x+ y

A
K

I
C

B

5

A = x + y = xy = xy
(0,5đ)
Để A nhỏ nhất xy lớn nhất với x > 0; y > 0 ; x + y = 5 ta luôn có ( x + y )
0
x + y 2 xy Vây xy sẽ lớn nhất khi x = y =2,5
(1đ)
Khi đó Min A =

4
5

(0,5đ)

2