ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

đề thi học sinh giỏi Toán 9
Bài 1 ( 4 điểm )
Cho biểu thức P =

1
x +1

-

3
x x +1

+

2
x- x + 1

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P
Bài2 (4 điểm)
a) Cho đờng thẳng y =

2x , y =

1
x , y = 2 cắt nhau tạo thành
2

một tam giác. Tính diện tích tam giác đó.
b) Tìm trên đờng thẳng y = 4x + 1 những điểm có toạ độ thoả
mãn:

y2 5y x + 4x = 0.
Bài 3.(3điểm)
a. Cho các số dơng a, b, c thay đổi và thoả mãn a + b + c = 4.
Chứng minh: a + b + b + c + c + a > 4 .
b. Cho 3 số dơng x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx =
2010.Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau đây không phụ
thuộc vào x, y, z:

( 2010 + y ) ( 2010 + z ) + y ( 2010 + z ) ( 2010 + x ) + z ( 2010 + x ) ( 2010 + y )
2

P=x

2010 + x2

2

2

2010 + y2

2

2

2

2010 + z2

BBài 4(5điểm)

Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đờng
tròn tâm O qua B và C. Qua A vẽ tiếp tuyến AE, AF với đờng tròn (O);
Gọi I là trung điểm BC ,N là trung điểm EF .
a. Chứng minh rằng các điểm E, F luôn nằm trên một đờng tròn
cố định khi đờng tròn (O) thay đổi .
b. Đờng thẳng FI cắt đờng tròn (O) tại K. Chứng minh rằng : EK //
AB .
c. Chứng minh rằng tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy
trên một đờng thẳng cố định khi đờng tròn(O) thay đổi.
Bài 5(4 điểm)
a.Giải phơng trình nghiệm nguyên:
(y+2)x 2+1=y2
b. Giải phơng trình:


1
1
1
2009 − x + 2009
+
+ ... +
=
1.2 2.3
x( x + 1)
2009 − x + 2010

Híng dÉn chÊm:

Bµi 1 . a) §iÒu kiÖn x ≥ 0
(0.25)

1
3
2
P=
+
x + 1 ( x + 1)(x- x + 1) x - x + 1
P =

(0.25)

x - x + 1- 3 + 2 x + 2
x x +1

(0.5)

x( x + 1)
x x +1

P =

(0.5)
P=

x
x- x + 1

(0.5)
2

1

3

> 0 ∀x ≥ 0
x - x + 1 =  x -  +
2
4



∀x ≥ 0
 x ≥ 0

b) Ta cã

(0.5)

x
≥ 0 ,∀ x ≥ 0
x- x + 1
P = 0 ⇔ x = 0 . VËy min P = 0
( 0.25)

nªn

• Ta cã

P=

(

)

(0.25)

2

x -1 ≥ 0 ,∀ x ≥ 0
⇔x - 2 x + 1 ≥ 0
⇔x - x + 1 ≥
x ,∀x≥ 0
x
⇔
≤ 1, ∀ x ≥ 0
x- x + 1
⇔ P ≤ 1 ∀ x ≥ 0 ; P = 1 ⇔ x = 1 . VËy MaxP = 1 khi x = 1
Tãm l¹i : minP = 0 khi x = 0 ; MaxP =y1 khi y=
x = 21x
Bµi 2.

y=
1
x
2
2

A

B

y=2

2

(0.5)
(0.25)
(0.25)


a.

(0.5)

Tính A( ( 2 ;2); B(4;2)
(0.5)
Tính S OAB = 4 2
(1.0)
b. Điều kiện: x 0.
(0.25)
Khi đó ta có: y2 5y x + 4x = 0
y = x
(y x)(y 4 x) = 0
.
(0.5)
y = 4 x
Do đó để điểm M(x0; y0) với với y0 = 4x0 + 1 là điểm thuộc đờng
thẳng y = 4x + 1 thoả mãn yêu cầu bài toán thì ta cần có x 0 0 và:
1 2 15

4x0 + 1= x0
(2
x

) +
=0
1
0
4
16


x0 = .
(0.5)

4
4x0 + 1= 4 x0
2
(2 x0 1) = 0
1
Vậy toạ độ điểm M cần tìm là: M = ;2ữ.
4
(0.25)
Bài 3. a. Do a , b, c > 0 và từ giả thiết ta có :
a + b < a + b + c = 4 => a + b < 2 a + b < 2 a + b
(1 )
0,5
Tơng tự ta có
b+c
< 2 b+ c
(2)
0.25
a + c < 2 c + a (3)

0,25
Cộng vế với vế của (1) , (2) , và (3) ta có
0.25
2( a + b + c) < 2 a + b + b + c + a + c

(

hay
b.

a+ b + b+ c + c+ a > 4

)

( ĐPCM)

2010+x2= xy+yz+zx+x2= (x+y)(z+x)
2010+y= xy+yz+zx+y2=(x+y)(y+z)
2010+z2 = xy+yz+zx+z2=(y+z)(z+x)
Suy ra: x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)=2(xy+yz+zx)
Do đó: P= 2.2010=4020

0,25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25

Bài 4.

1. ABF và AFC đồng dạng (g_g)
0.5
2
Ta có : AB/ AF=AF/AC AF =AB.AC
0.5
AF= AB. AC Mà AE=AF nên AE=AF= AB. AC
không đổi 0.5
Vậy E,F thuộc đờng tròn (A; AB. AC ) cố định.
2.
Tứ giác AOIF nội tiếp đờng tròn
Ta có : AIF = AOF (1)
0.5
1
1
EOF và EKF = EOF
2
2
EKF = AOF (2)
AIF = EKF
Từ(1) và(2)
AOF =

Do đó :EK

0.5

vàAB song song vơí nhau

0.5

3. Cm đợc A,N,O thẳng hàng và AO EF ;
Gọi H là giao điểm của BC và EF .
Ta có : ANH và AIO đồng dạng nên

AH AN
=
AO AI

Suy ra :AH.AI =AN.AO
Lại có :AN .AO=AE2 =AB.AC
AB. AC
Do đó : AI.AH =AB.AC AH =
AI

0.5
0.5

không đổi .

Vậy H cố định
0.5
Tứ giác OIHN là tứ giác nội tiếp đờng tròn nên đờng tròn ngoại tiếp
OIN luôn qua I và H ;Do đó tâm đơng f tròn này nằm trên đờng
trung trực của IH
0.5
Bài 5. a.
(y+2)x2+1 = y2
(y+2)x2(y2-4) = 3

0.5
2
(y+2)(x -y+2) = 3
0.25
Suy ra:


y+2
x2-y+2
y
x

1
3
-1
Lo¹i

3
1
1
0

-1
-3
-3
Lo¹i

-3
-1
-1

0
1

®
VËy nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh lµ: (0;1),(0;-1)
0.25
b.

1
1
1
1
+
+ ... +
= 1−
1.2 2.3
x( x + 1)
x +1
2009 − x + 2009
2009 − x + 2010

Suy ra:

0.5

= 1−

1

2009 − x + 2010

x+1 = 2009 − x + 2010
⇔ 2009-x+ 2009 − x = 0
⇔ 2009 − x ( 2009 − x + 1) = 0
⇔
2009 − x = 0
⇔
x = 2009 (tm)

0.5
( x ≤ 2009)

0.5

0.5