ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

Trờng THCS Định Long
Đề thi môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Họ và tên ngời ra đề: Trịnh Đình Thanh
Các thành viên thẩm định đề: Phạm Ngọc Toàn
Đề bài:
Bài 1 ( 3 điểm ): Cho biểu thức:
P=

x x 3
x2 x 3



2( x 3)
x +1

+

x +3
3 x

1) Rút gọn biểu thức P
2) Tính giá trị của P với x = 14-6 5
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 2 ( 3 điểm ): Giải phơng trình:
1)

1

1

+

1

+

x+3 + x+2
x + 2 + x +1
x +1 + x
36
4
2) x 2 + y 1 = 28 4 x 2 y 1

=1

Bài 3 ( 3 điểm ):
1) Cho biểu thức A = x 2 4 x + 20 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
A
2) Cho (x+ x 2 + 3 )(y+ y 2 + 3 ) = 3. Tìm giá trị của biểu
thức P = x + y
Bài 4 ( 3 điểm ):
1) Chứng minh rằng:
5 2 <1+

1
2

+

1
3

+

1
4

+ ... +

1
50

< 10 2

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2 + y2 + z2
Biết x + y + z = 2007
Bài 5 ( 3 điểm ): Cho a, b, c lần lợt là độ dài các cạnh BC, CA,
A

a

AB của tam giác ABC. Chứng minh rằng: Sin 2
2 bc
Bài 6 ( 5 điểm ): Cho tam giác đều ABC có cạnh 60 cm. Trên
cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = 20 cm. Đờng trung trực của
AD cắt các cacnhj AB, AC theo thứ tự ở E, F. Tính độ dài các
cạnh của tam giác DEF.

------------- HÕt----------


Đáp án chấm + thang điểm
Bài
Bài
1
3
điể
m

Nội dung

Điể
m
0,5

1) Điều kiện để giá trị biểu thức P xác định: x
0; x 9
Rút gọn:
P=

x x 3
( x + 1)( x 3)



2( x 3)
x +1

0,25

x +3
x 3

x x 3 2( x 3) ( x + 3)( x + 1)
2

=
=
=

( x 3)( x + 1)

0,5

x x 3 2 x + 12 x 18 x 3 x x 3
( x 3)( x + 1)
x x 3x + 8 x 24
( x 3)( x + 1)

x ( x + 8) x( x + 8)

=

( x 3)( x + 1)

=

x +1

2) x = 14 -6 5 = ... = ( 5 - 3)2 => x = 3 Khi đó P =
3) P =

x+8
x +1

14 6 5 + 8
3 5 +1
x 1+ 9

=

x +1

=

22 6 5
4 5

0,25

x+8

58 2 5
11
9

= x +1 +
x +1

0,25

5

=

= x 1+

0,5
9
x +1

-2

0,5

2 9 - 2 = 4

( áp dụng BĐT Côsi cho hai số dơng
Dấu " = " sảy ra <=>

x +1 =

thoả mãn đk
Vậy min P = 4 khi x = 4
1) Giải phơng trình:

9
x +1

x + 1;

9
x +1

)

<=> x = 4

Bài
1
1
1
2
+
+
= 1 đk: x 0
3
x+3 + x+2
x + 2 + x +1
x +1 + x
điể <=>
m
x+3 x+2
x + 2 x +1
( x + 3 + x + 2 )( x + 3 x + 2 )
+

x +1 x
( x + 1 + x )( x + 1 x )

+

( x + 2 + x + 1)( x + 2 x + 1)

0,25

+

=1

<=> ( x + 3 - x + 2 ) + ( x + 2 - x + 1 ) + ( x + 1 <=> x + 3 = x + 1

x) = 1

0,5


<=> x + 3 = x + 2 x + 1
<=> 2 x = 2
<=> x = 1
<=> x = 1 thoả mãn đk. Vậy pt có nghiệm x = 1

0,5
0,25

2) đk để phơng trình

36
x2

+

4
y 1

= 28 4 x 2 y 1 (1) có nghiệm là: x >

2; y > 1
(1) <=>
<=>

36 + 4( x 2) 2
x2

(6 2 x 2 ) 2
x2

+

+

4 + ( y 1) 2
y 1

(2 y 1) 2
y 1

=0

28 = 0

(2)

(6 2 x 2 ) 2 0

2
(2 y 1) 0
Với x > 2; y > 1 =>
(3)
x 2 0

y 1 0
(6 2 x 2 ) 2 = 0
(6 2 x 2 ) = 0
Từ (2) và (3) =>
<=>

(2 y 1) 2 = 0
(2 y 1) = 0
6 = 2 x 2
x = 11
<=>
<=>
y = 5
2 = y 1

Thử lại: x = 11; y = 5 là nghiệm của pt

Vậy pt có 1 nghiệm duy nhất (x,y) = (11,5)
Bài 1) A = x 2 4 x + 20
3
A = ( x 2 4 x + 4) + 16 = ( x 2) 2 + 16 16 = 4
3
điể A = 4 <=> x - 2 = 0 <=> x = 2
m Vậy Min A = 4
2) Xét biểu thức (x+ x 2 + 3 )(y+ y 2 + 3 ) = 3 (1)
Nhân 2 vế của (1) với (x- x 2 + 3 ) 0 ta đợc:
-3(y+ y 2 + 3 ) = 3(x- x 2 + 3 )
<=> -(y+ y 2 + 3 ) = (x- x 2 + 3 ) (2)
Nhân 2 vế của (1) với (y- y 2 + 3 ) 0 ta đợc:
-3(x+ x 2 + 3 ) = 3(y- y 2 + 3 )
<=> -(x+ x 2 + 3 ) = (y- y 2 + 3 ) (3)
Lấy (2) cộng với (3) ta đợc:
-(x+y) = x+y => x+y = 0

0,25
0,25

0,25

0,5

0,5
0,5
0,5

0,5

0,5


Vậy A = x+y = 0
0,5
1
1
1
Bài
+
+
+ ... +
1) 5 2 < 1 +
4
2
3
4
1
1
1
3
+
+
+ ... +
đặt S = 1 +
điể
2
3
4
1

1
1
m
+
+
+ ... +
ta có: S >
50

50

50

1

< 10 2

50
1

0,25

50
1
50

=

1
50

.50 = 5 2

0,5

(1)
Mặt khác ta có: 1 =
1

=

2

<

2
2 1

2

<

1+ 0

;

2

;...;
2 2

2+ 1
2
2
=
<
50 2 50
50 + 49

2
1

0,5

Cộng 2 vế ta đợc:
S<

2

+

2

+ ... +

2

1+ 0
2+ 1
50 + 49
= 2{( 1 - 0 )+( 2 - 1 )+...+( 50 - 49 )} = 2 50 = 10

2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 5 2 < S < 10 2 (đpcm)

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2 + y2 + z2
Biết x + y + z = 2007
áp dụng BĐT Bu nhiacôpxki ta có:
(x+y+z)2 (x2+y2+z2).(1+1+1)
<=> x2+y2+z2 (x+y+z)2 /3 = 2007/3 = 669
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là: 669

0,5
0,25

0,5

0,25
0,25

Bài
5
3
điể
m

Kẻ Ax là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM Ax và
CN Ax
Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có:
Sin MAB = Sin

A BM

A
=
=> BM = c.sin
2
AB
2

0,5


A
CN
A
=
=> CN = b.sin
2
AC
2
A
Do ®ã BM + CN = sin (b+c)
2
MÆt kh¸c ta cã BM + CN ≤ BD + CD = BC = a
A
A
=> sin (b+c) ≤ a, v× sin < 1
2
2
1
1
Do b+c ≥ 2 bc nªn b + c ≤

2 bc
a
A
Hay sin ≤
( ®pcm)
2 2 bc

SinNAC = sin

0,5
0,5
0,5
1

Bµi
6
5
®iÓ
m
0,5

GT: Tam gi¸c ABC: AB = BC = AC = 60 cm, BD = 20
cm
KL: DE = ?; DF = ?; EF = ?
§¹t DE = AE = x, DF = AF = y. KÎ DI ⊥ AB, DK ⊥ AC.
1
Ta cã BI = BD.cos60 = 20. = 10
2
2
2

DI = BD 2 − BI 2 = 20 − 10 = 300 = 10 3
0

Ta cã: EI = 50 - x, ¸p dông ®Þnh lý pitago trong
tam gi¸c vu«ng DEI ta cã: ED2 = EI2 + ID2 = (50 x)2 + (10 3 )2
=> x2 = 2500 - 100x + x2 +300 <=> 100x = 2800
=> x = 28
1
= 20; DK =
2
1200 = 20 3 .

0,25
0,5
0,25
0,25
0,5

Ta cã: CK = CD. cos600 = 40.
DC 2 − CK 2 =

40 2 − 20 2 =

Ta cã: FK = 40 - y; ¸p dông ®Þnh lÝ pitago trong
tam gi¸c vu«ng DFK ta cã: DF2 = DK2 + FK2 = (40y)2 + (20 3 )2
<=> y2 = 1600 - 80y + y2 + 1200 <=> 80y =
2800 => y = 35

0,5
0,25

0,25
0,25


KÎ EK ⊥ AF, ta cã: AH = EA. cos600 = 28.

1
= 14.
2

HF = y-14 = 35 - 14 = 21
EH = x.sin600 = 28.

3
= 14 3
2

Suy ra: EF = EH 2 + HF 2 = (14 3 ) 2 + 212 = 1029 = 7
21 .
VËy: DE = 28, DF = 35, EF = 7 21 .

0,25
0,25