ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

Trờng THCS: Yên Trờng
Đề thi môn:Toán
Thời gian làm bài: 150p
Họ và tên ngời ra đề: Trịnh Thị Giang
Các thành viên thẩm định đề(Đối với những môn có từ 2 GV trở
lên):
Đề thi
Câu1:
Cho biểu thức: A= (

x+2
x x 1

+

x

+

1

x + x +1 1 x

):

x 1
2

Với x>0 và x 1
a) Rút gọn biểu thức A
b) Chứng minh rằng: 0< A < 2

Câu2: Cho các đờng thẳng
(d1): y = mx -5
(d2): y = -3x +1
a) Xác định toạ độ giao điểm A của (d1) và (d2) khi m = 3
b) Xác định giá trị của m để M(3; -8) là giao điểm của (d 1) và
(d2)
Câu3: Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau:
a) 1+
b)

3

x 16 = 3 x + 3

xy x y = 5
yz - y- z = 5
zx z x =7

Câu4: Cho hai đờng tròn có chung tâm là điểm Ovà có bán
kính lần lợt là R và

R
. Từ một điểm A cách tâm O Một đoạn OA =
2

2R, ta kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đờng tròn (O ; R). Gọi D là


giao điểm của đờng thẳng AO với đờng tròn (O; R) và điểm O
thuộc đoạn thẳng AD.

a) Chứng minh đờng thẳng BC tiếp xúc với đờng tròn (O ;

R
)
2

b) Chứng minh tam giác BCD là tam giác đều
c) Chứng minh rằng đờng tròn (O ;

R
) nội tiếp trong tam giác
2

BDC.
Câu5: Cho x> 0; y>0 và x+y 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
12

16

P = 5x + 3y + x + y
Hớng dẫn chấm:
Câu1:
Điểm = 4
a.
x+2
x
A =
+

3
x 1 x + x +1

A =

A=

=

(

(

x+2

)(

)

x 1 x + x +1

x+2+ x

(

(

(

+

) (

x 1
:
2
x 1
1

x
x + x +1

).

x 1 x + x +1

)(

)

x 1 x + x +1

)

2 x 1

)(
2

2

)

x 1 x + x +1

=

(0,5 đ)



x 1
1



(0,5 đ)

2

(0,5 đ)

x 1

2

(0,5 đ)

x + x +1

b.
Vì x > 0 nên x + x + 1 > 1
Mà A =

2
x + x +1

A>0

Vì x > 0 x + x + 1 > 1

(1)
2
x + x +1

Từ (1) và (2) ta có: 0 < A < 2

< 2 tức A<2 (2)

(0,5 đ)
(0,5 đ)
(0,5 đ)

Câu2:
Điểm = 4
a. Với m = 3 , ta có (d1): y = 3x 5
(0,5 đ)
x,
y
Gọi A(

), hoành độ điểm A là nghiệm của phơng trình
3 x 5 = 3x + 1


6x = 6
x =1
Thay x = 1 vào (d2); y = 3.1 5 = 2

Vậy A(1;-2)
b. Vì M(3;-8) là giao điểm của (d1) và (d2) tức M(3;-8) thuộc đờng thẳng (d1): y = mx 5
(0,5
đ)
Thay x = 3; y = 8 ta có:
3m 5 = 8
(0,5 đ)
3m = 3
m = 1

(0,5 đ)
Vậy với m = 1 thì M(3;-8) là giao điểm của (d1) và (d2)
Câu 3:
Điểm =
3
a. Đặt x + 3 = a; 3 x 16 = b
(0,25 đ)
3
3
(1)
a b = x + 3 x + 16 = 19
Và 1 + b = a hay a b = 1

(2)
2
2
Từ (1) và (2): ( a b ) ( a + ab + b ) = 19 a 2 + ab + b 2 = 19
(0,5 đ)
a 2 a 6 = 0 (thay b = a 1 )
a = 3 hoặc a = 2
Với a = 3 ta có: 3 x + 3 = 3 x + 3 = 27 x = 24
(0,25 đ)
3
Với a = 2 ta có: x + 3 = 2 x + 3 = 8 x = 11
(0,25 đ)
xy x y = 5

b. yz y z = 11
zx z x = 7


Thêm 1 vào mỗi vế rồi phân tích thành nhân tử ta đợc hệ:
( x 1)( y 1) = 6

( y 1)( z 1) = 12
( z 1)( x 1) = 8


(0,5 đ)

Dễ thấy x 1; y 1; z 1 . Nhân từng vế các phơng trình trong hệ ta
(0,5 đ)
đợc

( x 1) 2 .( y 1) 2 .( z 1) 2 = 576
( x 1)( y 1) ( z 1) = 24

(0,5 đ)

B
Chia từng vế của phơng trình
này lần lợt với các phơng trình của
hệ trên, đợc nghiệm là: (3;4;5) và (-1;-2;-3)
F
(0,5)
Câu 4:
Điểm
O
D
A
E
I
C


a. áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông vào tam giác OBA,
vuông tại B và BE
OA, ta có;
2
OB =OE.OA
(0,5 đ)
=> OE=

OB 2 R 2 R
=
=
OA 2 R 2

(0,5 đ)
R
2

Vậy điểm E nằm trên đờng tròn (O; )

(0,5 đ)

R
Mặt khác ta có: OE BC=> BC tiếp xúc với đờng tròn (O; ) tại(0,5 đ)
2

điểm E
b. Trong tam giác vuông ABO, ta có

(0,5 đ)
(0,5 đ)

AB 2 = OA 2 OB 2 = 4 R 2 R 2 = 3R 2
AB = R 3

Trong tam giác vuông BEO, ta có:
2

3R 2

R
EB = OB OE = R =
4
2
R
EB =
3
2
2

2

2

(0,5 đ)

2

(0,5 đ)

Từ đây ta có: BC=AB=AC= R 3
Tam giác ABC là tam giác đều
Từ giác ABCD có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại trung điểm
nên nó là hình thoi
(0,25 đ)
=> AB=BD=CD=> BD=DC=CB=> Tam giác BCD đều
(0,25
đ)
1
3

c. Tam giác BCD là tam giác đều: OE= ED nên O là trọng tâm
của tam giác đều (0,5 đ)
=> OE=OF=OI=

R
2

(0,5 đ)


R
2

=> đờng tròn (O; ) nội tiếp trong tam giác BCD (0,5 đ)
Câu 5:

Điểm =

12
16
12
16

P = 2( x + y ) + 3x + + y + 12 + 2 3 x. + 2 y.
(áp dụng BĐT Cosi)
x
y
x
y

(0,5 đ)

(0,5 đ)

= 12 + 12 + 8 = 32

Dờu = xảy ra 3x =

16
12
và y = y
x

(0,5 đ)

x = 2 và y = 4

Vậy min P= 32 khi và chỉ khi x = 2; y = 4

(0,5 đ)