ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

Trờng THCS Định Thành
Đề thi môn: Toán
Thời gian làm bài: 150
Họ và tên ngời ra đề: Đỗ Thị Hơng
Các thành viên thẩm định: Phạm Văn Long
Đề thi:
Câu 1 (6 điểm): Cho biểu thức


a 1
2 a


1
:
1

A=
1 + a . a 1 (a + 1)( a 1)




a) Tìm điều kiện của a để A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) với giá trị nào của a thì A có giá trị nguyên.
Câu 2(4 điểm): Cho hàm số: y =

x
+ m có đồ thị là (Dm) và hàm
2

số: y = x 1 có đồ thị là (T).
a) Với m = 2 . Vẽ (T) và (D-2) trên cùng hệ trục toạ độ.
b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
x + 2m - 2 x 2 2 x + 1 = 0
x + y = 2

Câu 3(3 điểm): Giải hệ phơng trình: x 3 + y 3 = 26

Câu 4(2 điểm): Giải phơng trình:
x + 3 + 4 x 1 + x + 8 6 x 1 = 5

Câu 5: ( 6 điểm): Cho hai đờng tròn ( O;R) và (O; r) tiếp xúc
ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B (O), C (O).
a) Tính số đo góc BAC
b) Tính BC.
c) Gọi D là giao điểm của CA với đờng tròn tâm O, ( D A).
Chứng minh rằng ba điểm B,O,D thẳng hàng.
d) Tính BA,CA
****Hết***..


Trờng THCS Định Thành
Hớng dẫn chấm môn toán 9:
Câu 1:


a

1

2 a



.

Ta có: A = 1 : 1

1
+
a
a 1 (a + 1)( a 1)



A = 1 :


1+ a a a +1 2 a
.
1 + a (a + 1)( a 1)

(0,5

điểm)


1

( a 1) 2

.
A = 1 :
1 + a (a + 1)( a 1)
điểm)

(0,5

a 0
1 + a 0
a 0
a0
a) Biểu thức A có nghĩa khi: a + 1 0 a 1 a 1 (*)



a 1 0

(1

điểm)

b) Với điều kiện (*), ta có:

1 ( a 1) 2
.
A = 1 :

1 + a (a + 1)( a 1)

(1

điểm)
A=

(1 + a) ( a 1) 2
(a + 1)( a 1)

=

a 1
a +1

(1

điểm)
c) Ta có:
A=
điểm)

a 1
2
=1a +1
a +1

(0,5

Biểu thức A có giá trị nguyên khi:

2 (a + 1)
hay a+1 = {1;-1;2;-2} => a = {0;-2;1;-3}
Kết hợp với điều kiện (*) => a = 0
điểm)

(0,5 điểm)
(1

Câu 2:
Với m = - 2 ta có hàm số: y =
điểm)

x
2
2

(0,25


x 1 neu x 1
Ta lại có: y = x 1 = x + 1 neux < 1

điểm)
Từ đó ta có đồ thị sau:

(0,25

y

(T)

2

1

0

-5

(Dm)

1

5

x

-2

(D-2)

(1 điểm)

b) Từ phơng trình x + 2m - 2 x 2 2 x + 1 = 0 => x + 2m = 2 x 2 2 x + 1
(0,25 điểm)
x + 2m = 2 x 1


(02,5 điểm)

x
+ m = x 1
2

(0,5 điểm)

Nh vậy, số nghiệm của phơng trình là số giao điểm của (T) và
(Dm)
(0,5 điểm)
Khi m thay đổi thì (Dm) cũng thay đổi nhng luôn sông song với
đờng thẳng (D-2)
(Dm) đi qua điểm (1;0) khi m = -

1
2

Dựa vào đồ thị ta có:
1
phơng trình vô nghiệm
2
1
Nếu m = - phơng trình có một nghiệm duy nhất
2
1
Nếu m > - phơng trình có 2 nghiệm
2

Nếu m < -

(1

điểm)
Câu 3:
điểm)

x + y = 2
x + y = 2
x 3 + y 3 = 26 ( x + y ) 3 3 xy ( x + y ) = 26



(1

Đặt : S = x + y; P = x.y
S = 2

Ta có: S 3 3SP = 26


(1)
(2)

Thay S = 2 vào (2) ta đợc 8 - 6 P = 26 P = -3

(1 điểm)


Suy ra x ; y là nghiệm của phơng trình : t2-2t-3 = 0 hay: (t+1)(t3)= 0
Giải ra ta có t = -1 ; t = 3
Do đó nghiệm của hệ là (-1;3) ; (3; -1)

(1 điểm)
Câu 4: Giải phơng trình:
( Điều kiện x 1 )
(0,25
x + 3 + 4 x 1 + x + 8 6 x 1 = 5
điểm)
Khi đó ta có:
(0,25
x 1 + 2.2 x 1 + 4 + x 1 2.3 x 1 + 9 = 5
điểm)
( x 1 + 2) 2 + ( x 1 3) 2 = 5
Hay : x 1 + 2 + x 1 3 = 5
điểm)


x 1 3 = 3 x 1



x 1 3 0

( vì

A = A

(0,5

A0

(0,5

điểm)
Từ đó ta có: x 1 3
x - 1 9 hay x 10
Kết hợp với điều kiện thì nghiệm của phơng trình là: 1 x 10
(0,5 điểm)
Câu 5: Hình vẽ: (0,5 điểm)
a) Kẻ tiếp tuyến chung tại A , cắt BC ở I. Ta
b
i
có:
c
IB = IA= IC ( tính chất tiếp tuyến)
(0,5 điểm)
o
o'
a
0
=> góc BAC = 90
(0,5 điểm)
b) học sinh chứng minh đợc: IO IO (tia
d
phân giác của hai góc kề bù)
(0,5 điểm)
=> Góc OIO = 900
Tam giác IOOvuông tại I, đờng cao IA nên:
IA2 = OA.OA = R.r (0,5 điểm)
(0,5 điểm)
Nên BC = 2 IA = 2 R.r
(0,5 điểm)

0
c) Do góc BAC = 90 nên góc BAD = 900. Tam giác ABD vuông tại A
nội tiếp đờng tròn (O) nên BD là đờng kính.
(0,5
điểm)
Do đó ba điểm B,O,D thẳng hàng .
(0,5
điểm)
d) Do tam giác CBD vuông tại B nên:
1
1
1
1
1
R+r
=
+
=
+
=
2
2
2
2
4 R.r 4 R 2 .r
BA
BD
BC
4R

(0,5 điểm)


Suy ra: BA=

2R r

T¬ng tù: CA =

(0,5 ®iÓm)

R+r

2

R

R +r

(0,5 ®iÓm)