ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

Phòng giáo dục yên định
Trờng thcs yên thịnh

Ngời ra đề: Hoàng Duy Thế
Ngời thẩm định: Đào Quang
Đại.

Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9
Môn toán - thời gian 150 phút
Năm học: 2009 - 2010

Bài 1: (3 đ). Tính giá trị của biểu thức:
a)

A= 13 100 53 + 4 90

b)

a2
b2
c2
B= 2 2 2+ 2 2 2+ 2 2 2
a b c
b c a
c a b

Với a + b + c = 0

Bài 2: (4 đ). Cho biểu thức:
x x 3
2( x 3)

x+3
P=

+
x2 x 3
x +1
3 x
a)
Rút gọn biểu thức P.
b)
Tính giá trị của P với x = 14 - 6 5
c)
Tìm GTNN của P.
Bài 3 (4 đ). Giải các phơng trình.
a)
b)

1
2

x + 4x + 3

+

1
2

x + 8 x + 15

x+64 x+2 +

+

1
2

x + 12 x + 35

+

1
2

x + 16 x + 63

=

1
5

x + 11 6 x + 2 = 1

Bài 4: (3 đ). Cho 2 số dơng x, y thỏa mãn x + y =1
a) Tìm GTNN của biểu thức M = ( x2 +
b) Chứng minh rằng:

N=(x+

1
y

2

)( y2 +

1
x

2

)

1
1 2
25
) + ( y + )2
y
2
x

Bài 5 (2 đ). Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M BC. Các đờng
tròn đờng kính AM, BC cắt nhau tại N ( khác B). BN cắt CD tại L.
Chứng minh rằng: ML vuông góc với AC.
Bài 6 (4 đ)
Cho (O;R) và một điểm A nằm ngoài đờng tròn. Từ một điểm
M di động trên đờng thẳng d vuông góc với OA tại A, vẽ các tiếp
tuyến MB, MC với đờng tròn (B, C là các tiếp điểm) dây BC cắt
OM và OA lần lợt tại H và K.
a, Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn
đi qua một điểm cố định.

b, Chứng minh rằng H di động trên một đờng tròn cố định.
c, Cho biết OA = 2R. Hãy xác định vị trí điểm M để diện
tích tứ giác MBOC nhỏ nhất.

1


Đáp án và biểu điểm
Câu 1: (3đ)
a) A= 13 100 53 + 4 90
=

13 4 10 53 + 2.6 10

(0,5đ)

=

(2 2 5 ) 2 (2 2 + 3 5 ) 2

(0,25đ)

=2 2 -

5 - 2 2 - 3 5 = -4 5

Vậy A= 13 100 53 + 4 90 = -4 5

(0,5đ)
(0,25đ)

b, Vì a + b + c = 0 a = - b - c a2 = b2 + 2bc + c2
a2 - b2 - c2 = 2bc
Tơng tự có:

(0,5đ)

b2 - c2 - a2 = 2ac
c2 - a2 - b2 = 2 ab
B=

(0,25đ)

a2
b2
c2
a 3 + b 3 + c 3 3abc 3
+
+
=
=
=
2bc 2ac 2ab
2abc
2abc 2

Vậy B =

(0,5đ)

3
2

Bài 2( 4 điểm).
Điều kiện để giá trị của biểu thức P xác định : x 0; x 9
a) Rút gọn:
x x 3
2( x 3)
x+3


P=
( x + 1)( x 3)
x +1
x 3

(0,5 đ).

2

=

x x 3 2( x 3) ( x + 3)( x + 1)
( x 3)( x + 1)

(0,25

đ).
=

x x 3 2 x + 12 x 18 x 3 x x 3
( x 3)( x + 1)

đ).
x( x + 8) 3( x + 8)
x x 3 x + 8 x 24
x+8
=
=
=
( x 3)( x + 1)
( x 3)( x + 1)
x +1
2
b) x = 14 - 6 5 = ( 5 ) - 2.3. 5 + 9 = ( 5 - 3)2 x = 3 - 5 (0,75
14 6 5 + 8
22 6 5
58 2 5
Khi đó P =
=
=
11
3 5 +1
4 5
58 2 5
Vậy với x = 14 - 6 5 thì P =
11
đ).
c)
x+8

x 1+ 9
9
9
=
= x 1+
= x +1+
22 92=4
P=
x +1
x +1
x +1
x +1

2

(0,25

(0,5 đ)
đ).
(0,5 đ).
(0,25

(1 đ).


( áp dụng BĐT CôSi cho 2 số dơng
Dấu"=" xảy ra

x +1 =

đ).

9
x +1

x + 1;

9
x +1

)

x = 4 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy minP = 4, đạt đợc khi x = 4.

(0,25
(0,25

đ).
Bài 3: 4 điểm (mỗi câu 2 điểm).
a)
x2 + 4x + 3 = ( x + 1)( x+ 3)
x2 + 8x + 15 = ( x +3)(x+5)
x2 + 12x + 35 = ( x +5)( x + 7)
x2 + 16x + 63 = ( x + 7)( x + 9)
ĐKXĐ: x -1; x -3; x -5; x -7; x -9
(0,5 đ)
1
1

1
1
1
+
+
+
=
=>pt
( x + 1)( x + 3) ( x + 3)( x + 5) ( x + 5)( x + 7) ( x + 7)( x + 9) 5
1 1
1
1
1
1
1
1
1 1

+

+

+


(0,5 đ)
ữ=
2 x +1 x + 3 x + 3 x + 5 x + 5 x + 7 x + 7 x + 9 5
1 1
1

1

)=
(
2 x +1 x + 9
5
5( x + 9 - x -1) = 2( x+1)( x+9)
(0,25
đ)
2x2 + 20x + 18 - 40 = 0
x2 + 10x - 11 = 0
Phơng trình có dạng a + b + c = 0 x1 = 1; x2 = -11.
(0,5 đ)
x1; x2 thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy tập nghiệm của phơng trình là : S =

{ 11;1}

b) ĐKXĐ: x -2.
Pt



(0,5 đ)
( 0,5 đ)

2

(0,25

2

( x + 2 2) + ( x + 2 3) = 1

đ)
x+2 2 +

x+2-3 = 1

(0,25

đ)
áp dụng BĐT |A|+ |B| | A + B| ta có :

x+2 2 +

x+2-3 1

Dấu "=" xảy ra khi : ( x + 2 2 )( 3 - x + 2 ) 0
2 x + 2 3 2 x 7
Vậy tập nghiệm của phơng trình là : S = { x / 2 x 7}
Bài 4: ( 3 điểm) ( mỗi câu 1,5 điểm)
2 2
2
1
1
( x y + 1)
1 2
2
2

= ( xy + )
a) Ta có : M = ( x + 2 )( y + 2 ) =
2 2
y
xy
x
x y
1
1
15
) +
= ( xy +
xy
16 xy
16 xy
1
1 1
áp dụng BĐT Côsi : xy +
2
=
16 xy
16 2
x+ y 1
1
xy
= xy
2
2
4
Mặt khác : xy +

3

(0,5 đ)
(0,5 đ)
(0,5 đ)

( 1).
(2).
( 3)


15
1 1
17
Từ (1), (2) và (3) ta có : xy +
+
1=
16.
xy 2
4
4
1 2
17
289
(xy +
) ( )2 =
xy
4
16

xy = 1
289
1

16 xy x = y =
Vậy minM =
, đạt đợc khi
16
2
x = y
2

b) áp dụng BĐT : A2 + B2 ( A + B ) , ta có :
2
x+ y 2
1 2
1 2
(x + y +
)
(1 + )
1 2
N=(x+ ) +(y+ )
=
xy
xy
y
x
2
2
Mặt khác : (x + y)2 4xy ( do ( x -y)2 0)

1
1 4xy xy
4
2



1
25
1 2 1 + 1
N
. Vậy N
.
(1 + )
2


xy
4 = 25

2
2
2
x + y = 1
1
Dấu "=" xảy ra khi
x = y =
2
x = y
Bài 5: ( 2 điểm).

Gọi E là giao điểm của AC và ML
Ta có: góc NCD = gócNCB
(cùng phụ với goc BCN)
góc NBC = góc NAM ( cùng chắn cung MN)A
Tam giác NCL đồng dạng với
NC
NL
=
tam giác NAM
NA NM
Mặt khác : góc ANC = góc MNL
( cùng bằng 900 + gócMNC)
tam giác ANC đồng dạng với tam giác
N
MNL góc NAC = góc NML hay góc NAE = góc
D NME
L
Tứ giác AMEN nội tiếp E thuộc đờng tròn đờng kính AM
góc AEM = 900 hay ML vuông góc với AC ( đpcm).

B

M
E
C

Bài 6: ( 4 điểm).
a) (2 đ) Chứng minh đợc OM BC
HOK AOM

OH OK
=
OA OM

M

C

OA.OK = OH.OM (1)
Xét BOM vuông tại B
nên OB2 = OH.OM
(2)
Từ (1) và (2) OA.OK =
= OB2 = R2 (không đổi)

H
O

4

K

A
B


⇒ OK =

R2

kh«ng ®æi
OA

⇒ K cè ®Þnh trªn OA
b) (2 ®) H n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh OK cè ®Þnh
c) S = dtMBOC =

1
MO.BC
2

⇒ S nhá nhÊt ⇔ OM nhá nhÊt vµ BC nhá nhÊt
⇒ OM nhá nhÊt ⇔ M ≡ A
BC nhá nhÊt ⇔ BC ⊥ OK ⇔ M ≡ A

5