ĐỀ + ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TOÁN 9 BÌNH PHƯỚC 2015

Nguyễn Anh Tuấn trường DTNT tỉnh Bình Phước

ĐT: 0985.767.113

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG TOÁN 9 BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2014-2015
Bài
Nội dung
1


a  1
2 a
:
−
÷.
(5đ) a) Rút gọn A =  1+ a + 1÷
÷ 
÷
  a − 1 a a + a − a − 1



a ≥ 0
 a − 1≠ 0

a ≥ 0
⇔
(*)
+) ĐK: a a + a − a − 1≠ 0
a ≠ 1
 1

2 a

−
≠0
 a − 1 a a + a − a − 1


a 

1



2 a

−
÷: 
÷=
Với đk (*) ta có: A =  1+
÷  a − 1 a a + a − a − 1÷
a
+
1

 

b) Tìm a để A > 1.

+) Ta có A > 1⇔

a+ a + 1
a −1

a+ a + 1

> 1⇔

a −1

− 1> 0 ⇔

a+ 2
a −1

a+ a + 1
a −1

>0

⇔ a − 1> 0 (doa + 2 > 0) ⇔ a > 1
+) Kết hợp với đk (*) , ta được a > 1

c) Tính A biết a = 2015− 2 2014
Ta có: a = 2015− 2 2014 =
A=

(

)

2

2014 − 1 ⇒ a = 2014 − 1 thay vào A ta được

( 2015− 2 2014) + ( 2014 − 1) + 1 = 2015− 2014
2014 − 2
( 2014 − 1) − 1

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
+) Ta có:

P=

x2 + 1
x2 − x + 1

=

2(x2 − x + 1) − (x2 − 2x + 1)
x2 − x + 1

Do đó giá trị lớn nhất của P bằng 2 tại x = 1

= 2−

x2 + 1
x2 − x + 1

(x − 1)2
≤2

12 3
(x − ) +
2
4

2 2
1
1
(x − x + 1) + (x2 + 2x + 1)
(x + 1)2
2
2
3
=3
= + 3
≥
+) Ta có: P = 2
1
3 3
3
x − x+1
x2 − x + 1
(x − )2 +
2
4
2
Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng tại x = −1
3
x2 + 1

2

1. Cho phương trình x2 − 2mx + 2m2 − 1= 0 (1)

Trang 1/3


Nguyễn Anh Tuấn trường DTNT tỉnh Bình Phước

(5đ)

ĐT: 0985.767.113


−1
−1< m<
∆ ' > 0 1− m2 > 0



2
⇔
a) Pt (1) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ S > 0 ⇔ 2m> 0
1
 P > 0
2m2 − 1> 0 
< m< 1

 2


b) Với ∆ ' ≥ 0 ⇔ −1≤ m≤ 1 (**) , Khi đó x1 + x2 = 2m; x1x2 = 2m2 − 1
Ta có : x13 − x12 + x23 − x22 = −2 ⇔ ( x1 + x2 ) − 3x1x2 ( x1 + x2 ) − ( x1 + x2 ) + 2x1x2 − 2 = 0 (2)
3

2

 m= 0
Thay x1 + x2 = 2m; x1x2 = 2m − 1 vào (2) ta được −2m(2m − 3) = 0 ⇔ 
3
m= ±

2
Đối chiếu với đk (**), ta được m= 0 thỏa mãn ycbt.
 2 2 8xy
(1)
 x + y + x + y = 16
2. Giải hpt 
 x2 + 12 + 5 x + y = 3x + x2 + 5 (2)

2
ĐK: x + y > 0
2

2

5
x + y = 3x > 0 ⇒ x > 0
Từ pt (2) suy ra  x2 + 12 − x2 + 5÷ +


 2
8xy
8xy
− 16= 0 ⇔ (x + y)2 − 16 − 2xy +
=0
Từ pt (1) suy ra (x + y)2 − 2xy +


x+ y
x+ y

x+ y− 4
2xy 
⇔ ( x + y − 4) ( x + y + 4) − 2xy.
= 0 ⇔ ( x + y − 4)  x + y + 4−
÷= 0
x+ y
x+ y


(

)

 x+ y = 4
⇔ ( x + y − 4) x2 + y2 + 4x + 4y = 0 ⇔  2 2
 x + y + 4x + 4y = 0
+) Với x + y = 4 thay vào (2) ta được
x2 + 12 + 5 = 3x + x2 + 5 ⇔  x2 + 12 − 4÷ = ( 3x − 6) +  x2 + 5 − 3÷





2
2


x −4
x −4
x+ 2
x+ 2
⇔
= 3( x − 2) +
⇔ (x − 2) 
−
− 3÷ = 0
 2
÷
x2 + 12 + 4
x2 + 5 + 3
x2 + 5 + 3 
 x + 12 + 4
 x = 2⇒ y = 2
x+ 2
x+ 2
⇔
−
− 3 = 0 (VN do x > 0)


2
 x2 + 12 + 4
x + 5+ 3

+) Vì x + y > 0 nên x2 + y2 + 4(x + y) > 0

Đối chiếu với đk, ta được nghiệm của hpt là: ( x; y) = ( 2;2) .
5
a) Chứng minh rằng 2n3 + 3n2 + n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
(3đ)
Ta đặt: A = 2n3 + 3n2 + n = n(2n2 + 3n + 1) = n(n + 1)(2n + 1)
= n(n + 1) 2(n + 2) − 3 = 2n(n + 1)(n + 2) − 3n(n + 1)

Ta có: n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3 nên 2n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6
Trang 2/3


Nguyễn Anh Tuấn trường DTNT tỉnh Bình Phước
Lại có: n(n + 1) chia hết cho 2 nên 3n(n + 1) chia hết cho 6

ĐT: 0985.767.113

Vậy A chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
b. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 2y2 + 3xy − x − y + 3 = 0
⇔ (x + y)(x + 2y − 1) = −3
 x + y = −3

 x + y = −3

 x = −8

+)  x + 2y − 1= 1⇔  x + 2y = 2 ⇔  y = 5



x+ y = 1

x+ y = 1

x = 4

+)  x + 2y − 1= −3 ⇔  x + 2y = −2 ⇔  y = −3



 x + y = −1

 x + y = −1

 x = −6

x+ y = 3

x+ y = 3

x = 6

+)  x + 2y − 1= 3 ⇔  x + 2y = 4 ⇔  y = 5





+)  x + 2y − 1= −1⇔  x + 2y = 0 ⇔  y = −3



Vậy pt có 4 nghiệm nguyên (x;y) là: (-8;5), (4;-3), (-6;5) ), (6;-3).
Quá trình làm và đánh máy không tránh khỏi sai sót, mong được sự góp ý của độc giả!

Trang 3/3