Đề thi HSG toán 9 +Đáp án

phòng giáo dục đào tạo gia viễn Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1:
Rút gọn các biểu thức sau.
a. M =
4527218.3
2012.283
+
+
b. N =
6)23(
2
24
2
+

xx
x
Bài 2:
Giải phơng trình sau:

( )( )
36363
=+++
xxxx
Bài 3:
Cho 2 phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (1)
và cx

2
+ bx + a = 0 (2)
trong đó a c > 0
Giả sử (1) và (2) cùng vô nghiệm. Chứng minh rằng: b < a + c.
Bài 4:
Cho phơng trình x
2
+ (2m - 1)x - m = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
.
Tìm m để x
1
2
+ x
2
2
- 6 x
1
x
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5:
Từ M là 1 điểm bên ngoài đờng tròn (O) kẻ một tiếp tuyến MT và một cát
tuyến MAB của đờng tròn đó.
a. Chứng minh rằng khi cát tuyến MAB quay quanh M ta luôn
có MT
2
= MA.MB

b. Cho MT = 20cm và cát tuyến dài nhất cùng xuất phát từ M bằng 50cm.
Tính bán kính của đờng tròn.
phòng giáo dục đào tạo gia viễn hớng dẫn chấm Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài Biểu điểm
Bài 1 6.5điểm
a. M =
5333.223.3
5232.222.3
+
+
=
)53223(3
)53223(2
+
+
=
3
2
1,0đ
1,0đ
0,5đ
b. N =
6.23
2
224
2
+

xxx
x
=
)2(3)2(
2
222
2
+

xxx
x
=
)3)(2(
2
22
2
+

xx
x
=
3
1
2
+
x
( x
2

2
)
1,0đ
1,0đ
1,0đ
1,0đ
Bài 2: 4điểm
Đặt X =
xx
++
63
thì
( )( )
2
9
63
2

=+
X
xx
Ta có phơng trình: X -
2
9
2

X
= 3
X
2

- 2X - 3 = 0
X = -1 hoặc X = 3
Với X = -1 ta có
xx
++
63
= -1: vô nghiệm
Với X = 3 ta có
xx
++
63
= 3 có hai nghiệm
x = 6; x = -3
Vậy phơng trình có hai nghiệm: x = 6; x = -3
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 3: 2,5 điểm
Ta có:
1
=
2
= b
2
- 4ac

Vì cả hai phơng trình vô nghiệm < 0 b
2
< 4ac
mà 4ac < (a + c)
2
do đó b
2
< (a + c)
2
b < a + c
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 4: 2,5 điểm
Ta có x
1
2
+ x
2
2
- 6 x
1
x
2
= ( x
1
+ x
2

)
2
- 8 x
1
x
2
0,5đ
= (1 - 2m)
2
+ 8m
= 4m
2
+ 4m + 1
= (2m + 1)
2
0
khi đó x
1
2
+ x
2
2
- 6 x
1
x
2
đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi m=-1/2
0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ
Bài 5: 4,5điểm
- Vẽ hình đúng
0,5đ
a. Ta có MTA = MBT ( cùng chắn cung TA)
TMB chung
suy ra: MTA MBT (g.g)

MT
MB
MA
MT
=
MT
2
= MA.MB
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b. Trớc hết chứng minh cát tuyến dài nhất xuất phát từ M là
cát tuyến MCD qua tâm O.
Thật vậy: CBD vuông ở B nên CD > CB
mà MD = MC + CD > MC + CB > MB
Theo ý a ta có: MT
2
= MC.MD
20
2
= (50 - 2R).50

R = 21
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
L u ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
T
B
D
C
A
M
O