ĐỀ ĐÁP ÁN THI THỬ VÀO 10 TOÁN LẦN 4

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP 9 – THCS
Năm học 2016 – 2017

ĐỀ THI THỬ SỐ 4

Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian phát đề)

Bài I (2,0 điểm)





 x x 1 x x 1  2 x  2 x 1

Cho biểu thức A  
.
:
x 1
x  x 
 x x

1. Rút gọn A .
2. Tìm x để A  0 .
3. Tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên.
Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong công việc. Nếu người thứ
nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong công việc. Hỏi mỗi
người làm một mình thì sau bao lâu thì xong công việc?
Bài III (2,0 điểm)
 3x
 x 1 

1. Giải hệ phương trình 
 2x 

 x 1

2
4
y2
.
1
5
y2

2. Cho parabol y  x 2  P  và đường thẳng y  2mx  1 d  .
a. Chứng minh rằng parabol  P  luôn cắt đường thẳng  d  tại hai điểm phân biệt.
b. Tính giá trị của biểu thức T  x1  x2  x12  2mx2  3 , với x1 , x2 là hoành độ các giao điểm
của  P  và  d  .
Bài IV (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  O; R  . Hai đường cao AD và BE  D  BC, E  AC 
của tam giác ABC lần lượt cắt đường tròn  O  tại các điểm thứ hai là M và N .
1. Chứng minh rằng bốn điểm A, E , D, B cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm I của đường
tròn đó.
2. Chứng minh rằng MN song song DE .

3. Cho  O  và một dây AB cố định. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác CDE luôn không đổi khi điểm C di động trên cung AB lớn.
4. Tìm vị trí điểm C trên cung lớn AB cố định để diện tích tam giác CDE đạt giá trị lớn nhất.
Bài V (0,5 điểm)
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn 0  a  b  c  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Q  a 2  b  c   b2  c  b   c 2 1  c  .
.................................... Hết ....................................
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh:...................................................... Số báo danh:..........................................................
Họ tên, chữ ký của cán bộ coi thi số 1:
Họ tên, chữ ký của cán bộ coi thi số 2:


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP 9 – THCS
Năm học 2016 – 2017

ĐỀ THI THỬ SỐ 4

Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian phát đề)
ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài

Đáp án

Ý

Điểm
1,0
0,25

Rút gọn...
Điều kiện: x  0 ; x  1 .

 
   : 2  x  1
      x  1 x  1

3
3

x 1
x 1
A

 x x 1
x x 1


1.










x



x 1 x  x 1



x 1

2






x 1 x  x 1 
:

x x 1






2







x 1



x 1



0,25

2



x 1

 x  x  1 x  x  1  2 x 1 x  x  1 x  x 1
x 1
 



.
 :
x
x
x 1
x
2 x 1




Bài I
(2,0 điểm)

2 x
x 1
.

x 2 x 1









x 1

.
x 1

0,25

Tìm x để...
2.

A0

0,5

x 1
 0  x 1  0  x  1  0  x  1 .
x 1

Kết hợp với điều kiện  0  x  1.
Tìm các giá trị...
A

3.

x 1

x 1

0,25

0,25
0,25

0,5

x 1  2
2
 1
.
x 1
x 1

A nhận giá trị nguyên  1 

2

x 1



2
  x  1  1; 2 .
x 1

0,25

 x  0; 4;9 .
Kết hợp với điều kiện  x  4;9 .

Bài II
(2,0 điểm)

0,25

Giải bài toán...
Gọi x, y (ngày) lần lượt là thời gian để người thứ nhất và người thứ hai làm một

2,0

mình xong công việc.  x, y  4 

0,25

Trong một ngày, người thứ nhất làm được
1
được
(công việc).
y

1
(công việc) và người thứ hai làm
x

0,25


Trong một ngày cả hai người làm được


1
(công việc).
4

1 1 1
  (1)
x y 4

9
(công việc).
x
Vì nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai làm tiếp trong

0,25

Trong 9 ngày, người thứ nhất làm được

1 ngày nữa thì xong công việc 

9 1
  1 (2)
x y

1 1 1
x  y  4

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
.
9
1
  1
 x y

0,25

 x  12
Giải ra ta được 
(thỏa mãn điều kiện)
y  6

0,5

Vậy người thứ nhất làm một mình trong 12 ngày thì làm xong công việc và người
thứ hai làm một mình trong 6 ngày thì xong công việc.

0,25

Giải hệ phương trình...
Điều kiện x  1; y  2 .
Đặt

1.

0,25

1,0

3 X  2Y  4
1
x
 X và
.
 Y thế vào hệ phương trình  
x 1

y2
2 X  Y  5

0,25

3 X  2Y  4
3 X  2Y  4
X  2
X  2




4 X  2Y  10
7 X  14
3 X  2Y  4
Y  1

0,25

 x
 x  1  2
x  2


(thỏa mãn điều kiện)
 1  1  y  1
 y  2

0,25

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm duy nhất  x; y    2; 1 .

0,25

Chứng minh rằng...

0,25

Bài III
Xét phương trình hoành độ giao điểm x 2  2mx  1  0 (*)
(2,0 điểm) 2a.
  m 2  1  0m   (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 m 

0,25

 Parabol  P  luôn cắt đường thẳng  d  tại 2 nghiệm phân biệt m  .
Tính giá trị của biểu thức...

0,75

 x1  x2  2m
Theo hệ thức Vi-ét ta có 
.
 x1 x2  1

0,25

Vì x1 là 1 nghiệm của phương trình (*)  x12  2mx1 1  0  x12  2mx1  1 .
2b. Xét

x12  2mx2  3  2m  x1  x2   4  2m.2m  4  4m 2  4 (1)

Xét x1  x2 


 x1  x2 

2

x

1

 x2



2

0,25

 x12  x22  2 x1 x2

 2 x1 x2  2 x1 x2  4m 2  4 (2)

Từ (1) và (2)  T  4m2  4  4m2  4  0 .

0,25

Chứng minh rằng bốn điểm...
Vẽ hình đến câu 1.

1,0
0,25

Do AD, BE là đường cao của ABC
0,25

 ADB  900 và AEB  900 .

1.

Xét tứ giác AEDB có ADB  AEB  900
 Bốn điểm A, E , D, B cùng thuộc một đường

0,25

tròn đường kính AB .

2.

Tâm I của đường tròn này là trung điểm của
AB .

0,25

Chứng minh rằng MN song song DE .

1,0

Xét đường tròn  I  ta có D1  B1 (cùng chắn cung AE )

0,25

Xét đường tròn  O  ta có M 1  B1 (cùng chắn cung AN )

0,25

 D1  M 1  MN // DE (do có hai góc đồng vị bằng nhau).

0,5

Chứng minh rằng độ dài bán kính...
Gọi H là trực tâm của ABC .

1,0

Xét tứ giác CDHE ta có CEH  900 (do AD  BC ) và CDH  900 (do
BE  AC ).
Bài IV
(3,5 điểm)

 CEH  CDH  1800 , do đó CDHE nội tiếp đường tròn đường kính CH .
 đường tròn ngoại tiếp CDE là đường tròn đường kính CH , có bán kính

bằng

0,25

CH
.
2

Kẻ đường kính CK , ta có:
3.

KAC  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  O  )  KA  AC .

Mà BE  AC nên KA // BH (1)
Chứng minh tương tự  BK // AH (2)
Từ (1) và (2)  AKBH là hình bình hành.

0,5

Vì I là trung điểm của AB  I là trung điểm KH .
CH
Lại có O là trung điểm của CK  OI 
(tính chất đường trung bình).
2
Do AB cố định  I cố định  OI không đổi.

0,25

Vậy khi điểm C di động trên cung AB lớn thì độ dài bán kính đường tròn ngoại
tiếp CDE luôn không đổi.
Tìm vị trí điểm C ...

0,5

2

Chứng minh được CDE
4.



S
 CD 
CAB  CDE  
  cos ACB
SCAB  CA 



2

không đổi vì

0,25

AB cố định.

Bài V
(0,5 điểm)

S CDE max  S ABC max  CH max  C là điểm chính giữa của cung BC .

0,25

Tìm giá trị lớn nhất...

0,5

Từ 0  a  b  c  1  a 2  b  c   0 .
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

0,25


1
1  b  b  2c  2b  4c3
.
b  c  b   b.b.  2c  2b   . 
 
2
2 
3
27

3

2

2

4c 3
23
 23   54  23c 23c  23 
Q

 c 2 1  c   c 2  c 3  c 2 1  c     .
1  c 
27
27
 27   23  54 54  27 
3

23 
 23c 23c
2
3

1 c 

 54 
 54   1  108
54
54
27
   .
.
    .  
3
 23  
  23   3  529


2




a  0
2
a  b  c   0


12

Dấu đẳng thức xảy ra  b  2c  2b  b 
.
23
 23c

23c
18


 1
27
 54
c  23

Vậy Q đạt giá trị lớn nhất bằng

108
 12 18 
khi  a; b; c    0; ;  .
529
 23 23 

0,25