đề + đáp án thi vào 10 chuyên toán 2012 2013

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO
TẠO
HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học 2013-2014
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 20 tháng 6 năm 2013
Thời gian thi: 150 phút

Bài I (2,0 điểm)
1) Tìm các số tự nhiên n để 72013+3n có chữ số hàng đơn vị là 8.
2) Cho a, b là các số tự nhiên lớn hơn 2 và p là số tự nhiên thỏa mãn
. Chứng minh rằng p là hợp số.
Bài II (2,5 điểm)
1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện:
x2-3y2+2xy-2x+6y-4=0.
2) Giải hệ phương trình:
Bài III (1,5 điểm)
Với a, b là hai số thực thỏa mẫn+b+4ab=4a 2+4b2, tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức: A=20(a3+b3)-6(a2+b2)+2013.
Bài IV ( 3,0 điểm)
Cho tam giác ABC không phải là tam giác cân. Đường tròn (O) tiếp
xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. Đường thẳng NP cắt các
đường thẳng BO, CO lần lượt tại E, F.
1) Chứng minh hai góc

bằng nhau hoặc bù nhau.

2) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.
3) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF. Chứng minh ba

điểm O, M, K thẳng hàng.
Bài V ( 1,0 điểm)
Trong mặt phẳng cho sáu điểm A1, A2, A3,…A6 trong đó không có ba
điểm nào thẳng hàng. Với ba điểm bất kỳ trong số sáu điểm này luôn tìm
được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 671. Chứng minh
trong số A1, A2, A3,…A6 đã cho, luôn tìm được ba điểm là ba đỉnh của một
tam giác có chu vi nhỏ hơn 2013.
…………….….HẾT…………….….


SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học 2013-2014

Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 20 tháng 6 năm 2013
Thời gian thi: 150 phút
BÀI Ý

1

I

2

HƯỚNG DẪN CHẤM
Tìm số tự nhiên n để …(1,0 điểm)
Ta có 74 có tận cùng là 1⇒72013=(74)503.7 có chữ số hàng đơn vị là 7.

Để 72013+3n có chữ số hàng đơn vị là 8 thì 3n phải có tận cùng là 1
Xét 3n=34k+p=81k.3p (với p-0, 1, 2, 3) lần lượt có chữ số hàng đơn vị là 1, 3,
9, 7. Vậy 72013+3n có chữ số hàng đơn vị là 8 ⇔n=4k
Chứng minh … (1,0 điểm)
Giả sử p là số nguyên tố. Từ a2b2=p(a2+b2)⇒a2+b2 p hoặc a p và b p (1)
⇒ a2b2 p2 ⇒p(a2+b2) p2 ⇒a2+b2 p (2). Từ (1) và (2) ⇒a p và b p
1
1
2
1
2
+ 2 ≤ 2 ⇒ ≤ 2 ⇒ p≤2 (3)
2
a
b
p
p p
1
1 1 1 1
Từ a>2, b>2 ⇒ 2 + 2 ≤ + = ⇒ p > 2 (4)
a
b
4 4 2

Từ a≥p, b≥p ⇒

Từ (3), (4) ⇒ mâu thuẫn, chứng tỏ p là hợp số.

ĐIỂM
2,0

0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
2,5

1

Tìm nghiệm nguyên… (1,5 điểm)
Đưa về phương trình (x-y+1)(x+3y-3)=5
Xét các trường hợp:

II

x - y + 1 = 1
;

x + 3y - 3 = 5

III

Kết luận: Phương trình có 4 nghiệm nguyên (2;2); (-2;0); (4;0); (-4;2)
Giải hệ phươpng trình (1,0 điểm)
Lấy 2x(1)-(2) ⇒x2+2xy+y2-4y-4x+4=0
⇔(x+y)2-4(x+y) +4=0⇔ x+y=2
Giải ra được hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1;1).
Tìm giá trị lớn nhất của … (1,5 điểm)

2

 x - y + 1 = −1
;

x + 3y - 3 = −5

x - y + 1 = 5
;

x + 3y - 3 = 1

0,5
 x - y + 1 = −5

x + 3y - 3 = −1

Ta có:

0,5
0,5
0,5
0,25
0,25

0,5

⇒00,25
⇒

+2013=2(a+b)2+2013≤2015

0,5


Dấu “=” xẩy ra ⇔a=b= , vậy Max A=2015, đạt được khi a=b=

0,25
3,0

Chứng minh … (1 điểm)

Hình 1:

1

Ta có
Trường hợp 1: E nằm trong đoạn NP (xem hình 1)
⟹

IV

=

+

0,5

=1800- =1800-

Trường hợp 2: E nằm trong đoạn NP (xem hình 2)
⟹

=1800-

- =1800-900-

- =

=

Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp (1 điểm)
Từ chứng minh trên suy ra 4 điểm O, N, E, C cùng thuộc một đường tròn
2

⟹

=900 (1)

Tương tự 4 điểm O,P,F,B cùng thuộc một đường tròn⟹
=900(2). Từ (1) và (3) suy ra BCEF là tứ giác nội tiếp
Chứng minh O,M,K thẳng hàng (1 điểm)
Gọi I là giao điểm của CE và BF. Bốn điểm O,N,E,C thuộc một đường tròn
⟹
3

V

=900 ⟹ BE ⊥ CI

Tương tự CF⊥BI⟹O là trực tâm của tam giác IBC⟹I,O,M thẳng hàng
(3)
Tứ giác OEIF nội tiếp đường tròn đường kính OI ⟹I,O,K thẳng hàng (4)
Từ () và () suy ra O,M,K thẳng hàng
Chứng minh rằng tồn tại tam giác … (1 điểm)
Với Ai, Ak bất kỳ (1≤i+ Nếu AiAk<671 thì Ai, Ak được nối với nhau bởi đoạn thẳng màu xanh
+Nếu AiAk≥671 thì Ai, Ak được nối với nhau bởi đoạn thẳng màu đỏ

0,5

0,5
0,5

0,25
0,25
0,25
0,25


Xét 5 đoạn thẳng A1A2, A1A3, …A1A6. Theo nguyên lý Diriclet, tồn tại 3
đoạn thẳng cùng màu. Không mất tính tổng quát, giả sử ba đoạn đó là
A1A2, A1A3,A1A4
Trường hợp 1: ba đoạn A1A2, A1A3,A1A4 cùng màu xanh. Do tồn tại một
canh trong ∆A2A3A4 có màu xanh, chẳng hạn A2A3⟹∆A1A2A3 thỏa mãn
điều kiện
Trường hợp 2: Ba đoạn A1A2, A1A3,A1A4 cùng màu đỏ ⟹∆A2A3A4 thỏa
mãn điều kiện

0,25
0,25
0,25