Chương 5 da diện mạt cong ppsx

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Chương 5- Đa diện & mặt cong

5-1

5.1- ĐA DIỆN

a)

Khái niệm đa diện

)

Là mặt kín được tạo bởi các đa giác phẳng chung cạnh. Các đa giác này là các mặt đa diện, còn
các cạnh và các đỉnh đa giác gọi là cạnh và đỉnh của đa diện

)

Các đa diện thường gặp là: Chóp, lăng trụ, hộp…

b) Đồ thức của đa diện

Là tập hợp đồ thức của các cạnh đa diện đó.
Quy ước: Theo một hướng chiếu, mặt phía trước của đa diện thì nhìn thấy và che khuất các mặt sau.


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Chương 5- Đa diện & mặt cong

5-2

Ví dụ: Xét tứ diện ABCD
 
 
Đồ thức 4 điểm A, B, C, D.
A1C1B1D1, A2B2C2D2 là các đường bao ngoài trên mỗi hình chiếu, nên thấy.
Xét thấy, khuất của 2 cạnh AB, CD trên hình chiếu đứng:
Gọi I∈ AB và J∈ CD sao cho IJ là đường thẳng chiếu đứng ⇒ I1≡ J1 = A1B1× C1D1. Từ đó ⇒ I2 , J2 . Nhận thấy J xa hơn I
 
⇒ J thấy (và do đó CD thấy), I khuất (do đó AB khuất).
Xét thấy, khuất 2 cạnh AC, BD trên hình chiếu bằng.
Tương tự: AC thấy, BD khuất trên hình chiếu bằng.




 

 

 
 

 

 
 

 

 
 

 
 

 


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Chương 5- Đa diện & mặt cong

5-3
 

c) Vẽ điểm thuộc mặt của đa diện

Là bài toán cơ bản - vẽ điểm thuộc hình phẳng (đã biết).
Ví dụ: Cho K ∈ (ABD), biết K1 , hãy tìm K2.



 

Giải:

Xem K thuộc đường thẳng qua A, cắt BD tại L. Từ đó :





 

 

L1 = A1K1 × B1D1
 

Từ L1 ⇒ L2 ∈ B2D2

 

K2 ∈ A2L2 .
 
 
 

 
 
 


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Chương 5- Đa diện & mặt cong

d) Lăng trụ chiếu

5-4

 

Là lăng trụ có cạnh bên là các đường thẳng chiếu.
Ví dụ: Xét lăng trụ đứng tam giác (, , ) ba cạnh bên , , là các  đường thẳng
chiếu bằng. Do đó lăng
 
  trụ
được gọi là lăng trụ chiếu bằng.

 Hình chiếu bằng suy biến thành tam giác 2 2 2 nên được gọi là hình chiếu suy biến của lăng trụ đã
cho.
 

 

 


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Chương 5- Đa diện & mặt cong

5-5

5.2- MẶT CONG

 Mặt cong là tập hợp các vị trí của một đường chuyển động theo quy luật xác định

(đường sinh). Khi chuyển động, đường sinh có thể biến dạng hoặc không biến dạng.

 Bậc của mặt cong: Là số giao điểm tối đa của một đường thẳng với mặt cong đó.
 Các mặt cong thường gặp là: nón, trụ, cầu, xuyến…


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

1- MẶT NÓN

Chương 5- Đa diện & mặt cong

5-6
 

 

a) Khái niệm
C định và tựa trên đường cong C cố định.
)Mặt nón là tập hợp các vị trí của đường thẳng đi qua điểm S cố
1
) S gọi là đỉnh nón, gọi là đường sinh nón, còn C gọi là đường chuẩn.
2 nón.
) Nếu C là đường cong kín có tâm đối xứng O thì SO gọi là đường  trục của mặt
tròn thì
)Nếu C là đường tròn tâm O- hình chiếu thẳng góc của S lên mp đường
 
3 ta có mặt nón tròn xoay.
4

5

 
 
 

S

O


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Chương 5- Đa diện & mặt cong

b) Đồ thức mặt nón

5-7

 

 

Quy ước biểu diễn: đỉnh, đường chuẩn và đường trục (nếu có).
Ví dụ 1: Xét mặt nón xiên đỉnh S, đường chuẩn là đường tròn tâm O và ⊂ mp bằng.




Đường bao ngoài trên hình chiếu đứng là ∆ S1A1B1 , với SA,SB là các đường sinh giới hạn thấy- khuất trên h.c đứng.

Đường bao ngoài trên hình chiếu bằng là S2 S2 ( với S2C2, S2D2 là các tiếp tuyến của đường tròn). SC, SD là 2 đường
sinh giới hạn thấy- khuất trên h.c bằng.

 

 

 

 

 
 

 

 

 

 

 


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Chương 5- Đa diện & mặt cong

5-8

Ví dụ 2: Xét mặt nón tròn xoay đỉnh S, trục SO là đường thẳng chiếu bằng




 

Đường bao ngoài trên hình chiếu đứng là ∆ cân S1A1B1 , với SA,SB là các đường sinh giới hạn thấy- khuất trên hình
chiếu đứng.
Đường bao ngoài trên hình chiếu bằng là đường tròn tâm O2 đường kính A2B2, mọi điểm thuộc mặt nón đều thấy
trên hình chiếu bằng.

 

 

 

 

 

 

 


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Chương 5- Đa diện & mặt cong

5-9

c) Vẽ điểm thuộc mặt nón
 

 Gắn điểm vào đường sinh nón.
Ví dụ 1: Cho hình chiếu đứng của các điểm E, F thuộc mặt nón. Xác định E2, F2 . Biết E1 thấy, F1 khuất .

 Giải: Giả sử E∈ SI; F∈ SJ.
 Vì F1 khuất ⇒ S1J1 (khuất).

 

 

 

 

Từ J1 ⇒ J2 và S2J2 .
 

⇒ F2 ∈ S2J2 (F2 khuất).
 

 Vì E1 thấy ⇒ S1I1 (thấy).

 

Từ I1 ⇒ I2 và S2I2 .
⇒ E2 ∈ S2I2 (E2 thấy).
 

 


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗ Chương 5- Đa diện & mặt cong

5-10

2- MẶT TRỤ

a) Khái niệm

)Mặt trụ là mặt nón có đỉnh S → ∞ (các đường sinh trụ song song).
) Mặt trụ chiếu là trụ có đường sinh là các đường thẳng chiếu. C
) Hình trụ khảo sát bao gồm phần mặt trụ và hai đáy trụ (hai đáy song song).
 

 

 
 
 

O

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗ Chương 5- Đa diện & mặt cong

b) Đồ thức mặt trụ

5-11

 

 Quy ước biểu diễn đường chuẩn, các đường sinh giới hạn thấy- khuất  và đường trục (nếu có).
Ví dụ 1: Xét mặt trụ xiên có đường chuẩn là đường tròn và nằm trong mp bằng.




 

 

, là hai đường sinh giới hạn thấy- khuất trên hình chiếu đứng.
, (với 2 , 2 là tiếp tuyến của đường tròn) là hai đường sinh giới hạn thấy- khuất trên hình chiếu bằng.

 

 
 

 


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗ Chương 5- Đa diện & mặt cong

5-12

Ví dụ 2: Xét mặt trụ tròn xoay chiếu đứng.



hình chiếu đứng suy biến thành một đường tròn, nên còn gọi là hình chiếu suy biến của trụ.

C) Vẽ điểm thuộc mặt trụ
 Tương tự như cách vẽ điểm thuộc mặt nón, thường gắn điểm đó vào đường sinh trụ.
Chú ý: Mặt trụ và mặt nón là các mặt kẻ. Qua mỗi điểm thuộc mặt, chỉ kẻ được đúng một đường sinh của mặt
đó.


3- MẶT CẦU

 

 

5-13

a) Khái niệm
 

) Là tập hợp vị trí của đường tròn khi cho đường tròn đó quay quanh một đường kính cố định.
b) Đồ thức của mặt cầu

) Là đồ thức của đường tròn mặt lớn nhất u và đường tròn bằng lớn nhất v thuộc mặt cầu.

) () là đường tròn giới hạn thấy- khuất trên hình chiếu đứng (hình chiếu bằng): Mọi điểm thuộc mặt cầu chỉ
thấy trên hình chiếu đứng (bằng) nếu nằm phía trước ( phía trên ).


c) Vẽ điểm thuộc mặt cầu

 

 

≡

Gắn điểm vào đường tròn bằng (hoặc đường tròn mặt) của mặt cầu.

 

5-14

 

Ví dụ: Cho hình chiếu đứng của hai điểm A, B thuộc mặt cầu. Xác định hình chiếu bằng của chúng. Biết A
thấy, B khuất trên hình chiếu đứng.

Giải: Xem A, B thuộc đường tròn tròn bằng t . Từ đó:





1(A1) // 1.

Từ 1 ⇒ 2.
A2 , B2∈ 2.
 
 

 


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗ Chương 5- Đa diện & mặt cong

5-15

4- MẶT XUYẾN
∆

a) Khái niệm

) Trong mặt phẳng, cho đường tròn C và đường thẳng ∆ không qua tâm đường tròn.
) Mặt xuyến là tập hợp các vị trí C
khi nó quay quanh ∆.

) ∆ gọi là trục xuyến, C

là đường tròn kinh tuyến.

) Các đường tròn thuộc mặt xuyến mà mp chứa nó vuông góc với ∆ được gọi là đường tròn vĩ tuyến v.

C

b) Đồ thức của mặt xuyến



Xét mặt xuyến hở (nhận được khi C không cắt ∆ ).

có trục là đường thẳng chiếu bằng.




Hình chiếu đứng là đường bao ngoài và hai đường tròn kinh tuyến mặt.
Hình chiếu bằng: đường tròn vĩ tuyến lớn nhất, nhỏ nhất và đường tròn nối tâm các đường
tròn kinh tuyến.

5-16


c) Vẽ điểm thuộc mặt xuyến

5-17

 Gắn điểm vào đường tròn vĩ tuyến.

 

 

≡≡

≡

Ví dụ: Cho hình chiếu đứng của điểm thuộc mặt xuyến. Xác định hình chiếu bằng.
Giải: Gắn điểm đó vào đường tròn vĩ tuyến của mặt xuyến.

 

 

 

 


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗ Chương 5- Đa diện & mặt cong

5-18

5.3- ĐƯỜNG CONG
Các khái niệm

a)

)Đường cong được xem là quỹ đạo chuyển động của một điểm. Đường cong cũng
được xem là giao của hai mặt (thường gặp).

) Bậc của đường cong
) Bậc của đường cong là số giao điểm tối đa của 1 m.p với đường cong ấy.
) Một mp cắt một mặt cong Φ (m) (bậc m) theo một đường cong phẳng C (m).
) Hai mặt cong Φ (m) và Ψ (n) cắt nhau theo đường cong C (mx n).

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Chương 5- Đa diện & mặt cong

5-19

 

 

P



Mp cắt trụ bậc hai theo một đường cong bậc hai .



Hai mặt trụ bậc hai cắt nhau theo hai đường cong bậc 4.


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗ Chương 5- Đa diện & mặt cong

5-20

b) Đồ thức của đường cong



Khi hình chiếu của đường cong không phải là đường tròn, phải tìm đồ thức của một
số điểm cần thiết trên đường cong đó. Sau đó dùng thước cong nối các điểm đó lại,
sẽ được hình chiếu của đường cong.

Các điểm cần thiết đó là: Điểm gần nhất và xa nhất, điểm thấp nhất và điểm cao nhất,
các điểm giới hạn thấy – khuất (nếu có) của đường cong ấy.



Số điểm tìm được càng nhiều thì dạng của đường cong càng gần đúng.


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗ Chương 5- Đa diện & mặt cong

c) Tính chất về hình chiếu của đường cong




5-21

 

S
Hình chiếu của đường cong bậc n nhìn chung cũng là một đường cong bậc n.
Hình chiếu (xuyên tâm hoặc song song) của tiếp tuyến t của đường cong C tại tiếp
điểm M nhìn chung là tiếp tuyến của hình chiếu của C tại hình chiếu của M.
 
 

 

 
 
 

P


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Chương 5- Đa diện & mặt cong

d) Hình chiếu thẳng góc của đường tròn

5-22

 

 Nhìn chung là êlíp với:

 

≡

 Trục dài là hình chiếu của đường kính song song với mphc.
 Trục ngắn là hình chiếu của đường kính dốc nhất của mp đường tròn so với mphc.
 Hình bên là đồ thức của đường tròn nằm trong mp chiếu đứng.

 

 

--------------------------------