GTLNGTNN hàm số và ứng dụng

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt



GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT

( )
• Hàm số f ( x ) xác ñịnh và có liên tục
khoảng (a;b ) .
•

( )

( )

Hàm số f x xác ñịnh và có liên tục trên ñoạn a;b  thì f ' x xác ñịnh trên khoảng a;b .

)

(

( )

trên nửa ñoạn a;b hay a;b  thì f ' x xác ñịnh trên

• Hàm số có thể không ñạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên một tập hợp số thực cho trước .

{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
min f ( x ) = min {f (a ) , f ( x ) , f ( x ) ...f ( x ) , f (b )}
( )

• max f x = max f a , f x 1 , f x 2 ...f x i , f b
x ∈a ;b 

•

x ∈a ;b 

x ∈a ;b 

1

x ∈a ;b 

2

i

( )
( )
( )
( )

∀x ∈ D, f x ≤ M
• M = max f x ⇔ 
x ∈D
∃x 0 ∈ D, f x 0 = M
∀x ∈ D, f x ≥ m
• m = min f x ⇔ 
x ∈D

∃x 0 ∈ D, f x 0 = m
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:
a ) f x = sin 4 x + cos 4 x
b) f x = x + 4 − x 2

( )

( )

( )

( )

Giải :

( )

a ) f x = sin 4 x + cos 4 x

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ .
Ta có

( )

(

f x = sin x + cos x = sin x + cos x
4

4

2

2

)

2

2

 1

1
− 2 sin x .cos x = 1 − 2  2. sin x .cos x  = 1 − sin2 2x
2
 2

2

2

Với mọi x ∈ ℝ , ta có
1
1
1
0 ≤ sin2 2x ≤ 1 ⇒ 0 ≥ − sin2 2x ≥ − ⇒ 1 ≥ 1 − sin2 2x ≥
2
2
2


1

1
min f x = khi
min f x = khi s in2x = 1

2
hay 
⇒
2
max f x = 1 khi s in2x = 0
max f x = 1 khi



( )
( )

( )
( )

( )

b) f x = x + 4 − x

1
1
hay
≤ f x ≤1

2
2

( )

x =

π
4

x =k

+k

π

π
2

2

2

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn  −2;2  .

( )

x

Ta có f ' x = 1 −

4 − x2 − x

(

, x ∈ −2;2

)

4−x
2
 4 − x − x = 0
 4 − x 2 = x
0 < x < 2
0 < x < 2
f' x =0⇔
⇔
⇔
⇔
⇔x = 2
 2
2
2
4 − x = x
x = 2
x ∈ −2;2
x ∈ −2;2

( )

4−x

=

(

2

)

2

(

)


Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt



( )

Bảng biến thiên của f x trên ñoạn  −2;2 

−2

x

( )

f (x )

2

−

f' x

2

+

0

−2

2
2 2

( )

Từ bảng biến thiên , ta ñược max f x = 2 2 khi x = 2
x ∈ −2;2 

( )

min f x = −2 khi x = −2

x ∈ −2;2

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:
 π 
a ) f x = sin 4 x + cos2 x + 2
b ) f x = x − sin 2x trên ñoạn  − ; π 
 2 
Giải :
a ) f x = sin 4 x + cos2 x + 2 = sin 4 x − sin2 x + 3

( )

( )

( )

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ .
ðặt t = sin2 x , 0 ≤ t ≤ 1

()

()

Xét hàm số f t = t 2 − t + 3, t ∈ 0;1

 1  11
f 0 =f 1 =3 , f =
2 4
11
3
min f x = min f t =
=2

t ∈0;1
4
4

()

( )

f ' t = 2t − 1, t ∈ 0;1

()

f' t =0⇔t =

1
2

()

( )

( )

()

()

m ax f x = max f t = 3
t ∈0;1

 π 
b ) f x = x − sin 2x trên ñoạn  − ; π 
 2 
 π 
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn  − ; π 
 2 

( )

( )

Ta có : f ' x = 1 − 2 cos 2x , −
 π
π
3
f −  = − +
;f
6
2
 6

( )

Vậy max f x =
 π 
x ∈ − ;π 
 2 

π
2

( )


π π 5π
, ,
6 6 6

π  π
3  5π  5π
3  π
π
;f 
;f −  = − ;f π = π
+
 = −
=
2
6
2
2
6 6
 6 
 2

( )

5π
3

5π
π
π
; min f x = − khi x = −
+
khi x =


6
2
6 x∈− π ;π 
2
2

( )

 2

( )

(



)

( )

Ví dụ 3:Cho parabol P : y = x 2 và ñiểm A −3; 0 . Xác ñịnh ñiểm M thuộc P sao cho khoảng cách
AM là ngắn nhất ; tìm khoảng cách ngắn nhất ñó.

Giải :

(

) ( )

(

Gọi M x 0 ; y 0 ∈ P ⇒ M x 0 ; x 02

)


Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt

( )

d x 0 = AM =

(x

0

+3



) + (x )
2

2

2

= x 0 4 + x 02 + 6x 0 + 9

0

2x 0 3 + x 0 + 3

( )

d ' x0 =

( )

d ' x 0 ⇔ x 0 = −1

x 0 4 + x 02 + 6x 0 + 9

( )
d ( −1 ) = 5 .

( )

d ' x 0 ñổi dấu từ âm sang dương khi x 0 ñi qua x 0 = −1 . Hàm số d x 0 ñạt cực tiểu tại x 0 = −1,

(

) ( )

ðiểm M −1;1 ∈ P là ñiểm ñể khoảng cách AM = 5 là ngắn nhất.

Ví dụ 4: Người ta ñịnh làm một cái hộp kim loại hình trụ có thể tích V cho trước . Tìm bán kính ñáy r
và ñường cao h của hình trụ sao cho ít tốn kim loại nhất
Giải :
V
.
Gọi x là bán kính ñáy . ðể hộp kim loại hình trụ có thể tích V = π x 2h thì hiều cao của hộp là h =
πx2
V
Lượng kim loại ñể làm hộp bằng diện tích toàn phần của hộp : S x = 2π x 2 + 2π x . 2 , x > 0
πx

( )


V 
S ' x = 2  2π x − 2  , S ' x = 0 ⇔ x =
x 


( )

( )

Sự biến thiên của S x

( )

( )

( )

S ' x ñổi dấu từ âm sang dương nên hàm số S x ñạt ñiểm cực tiểu tại x =

r =

3

V
,h =
2π

3

3

V
2π
3

V
.Vậy :
2π

4V

π

( )

( )

Ví dụ 5 : Chu vi của một tam giác là 16 cm , ñộ dài của một cạnh tam giác là 6 cm . Tìm hai cạnh
còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất .
Giải :
Gọi một cạnh còn lại của tam giác là x , cạnh còn lại thứ hai là y , ta có x + y + 6 = 16 ⇒ y = 10 − x
Diện tích tam giác : (theo công thức hêrông).

( )

S x =

( )

S' x =4

( )

(

)(

p p −6 p −x

)( p − y ) = 4 ( 8 − x )( 8 − y ) = 4

5−x

−x 2 + 10x − 16, 0 < x < 10

( )

S' x =0⇔x =5

−x + 10x − 16
2

( )

S ' x ñổi dấu từ dương sang âm nên hàm số S x ñạt ñiểm cực ñại tại x = 5 . Diện tích tam giác lớn

( )

( )

nhất khi mỗi cạnh còn lại dài 5 cm .Khi ñó diện tích lớn nhất : S x = 12

( )
. Gọi S ( x ) là diện tích của mảnh cáctông. Tìm x (cm ) sao

Ví dụ 6:Một hộp không nắp ñược làm từ một mảnh cáctông . Hộp có ñáy là hình vuộng cạnh x cm ,

( )

ñường cao là h cm và có thể tích là 500cm 3

( )

cho S x nhỏ nhất .
Giải:

(

)

Thể tích hình hộp là V = x 2h = 500 cm 3 ⇒ h =

500
,x > 0
x2


Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt



( )

Diện tích của mảnh cáctông dùng làm hình hộp là : S x = x 2 + 4xh = x 2 +

( )

2000
,x > 0
x

Bài toán trở thành tìm x > 0 sao cho tại ñó S x ñạt giá trị nhỏ nhất .

(

)

3
2000 2 x − 1000
,x > 0
Ta có S ' x = 2x − 2 =
x
x2
Bảng biến thiên của S x trên khoảng 0; +∞

( )

( )

x
S' x

( )
S (x )

0

−

10
0

(

( )

S ' x = 0 ⇔ x = 10

)

+∞
+

300
Vậy x = 10 cm thì min S x = 300 .

( )

( )

Ví dụ 7: Cho một tam giác ñều ABC cạnh a . Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh
MN nằm trên cạnh BC , hai ñỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác . Xác
ñịnh vị trí ñiểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất ñó.
Giải :
a
ðặt BM = x , 0 < x < ⇒ NM = BC − 2BM = a − 2x
2
QM
⇒ QM = BM . tan QBM = x 3
Trong tam giác vuông BMQ có tan QBM =
BM

( )

(

)

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là S x = MN .QM = a − 2x x 3

 a
Bài toán quy về : Tìm giá trị lớn nhất của S x = a − 2x x 3, x ∈  0; 
 2
 a
a
S ' x = −4 3x + a 3, x ∈  0; 
S' x =0⇔x =
4
 2

( ) (

( )

)

( )

 a
Bảng biến thiên của S x trên khoảng  0; 
 2
a
a

x
0
4
2
S' x
+
0
−

( )

( )

a2 3
8

( )

S x

0

0

a2 3
a
khi x =
8
4
Ví dụ 8: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ ,một nhà sinh học thấy rằng : Nếu trên mỗi ñơn vị diện tích của

Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất là

( )

(

)

mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau vụ cân nặng P n = 480 − 20n gam . Hỏi phải thả
bao nhiêu cá trên một ñơn vị diện tích của mặt hồ ñể sau một vụ thu hoạch ñược nhiều nhất ?


Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt



Giải :
Nếu trên mỗi ñơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì sau một vụ , số cá trên mỗi ñơn vị diện tích
mặt hồ trung bình cân nặng : f n = n.P n = n 480 − 20n , n ∈ N *

( )
( ) (
f ' (n ) = 0 ⇔ n = 12

( )

f ' n = 480 − 40n

)

Vậy ñể thu ñược nhiều nhất sau một vụ thu hoạch cần thả mỗi ñơn vị diện tích mặt hồ là n = 12 con cá.
Ví dụ 8: Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40 cm , hãy các ñịnh hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

( )

Giải :

( )

( )

Gọi một cạnh bất kỳ của hình chữ nhật có chiều dài x cm . Tổng chiều dài hai cạnh là 20 cm . Chiều

( )

( )

(

)

dài cạnh kia là 20 − x cm . Diện tích hình chữ nhật là : S x = x 20 − x , 0 ≤ x ≤ 20

( )

( )

S ' x = 20 − 2x , 0 < x < 20

S ' x = 0 ⇔ x = 10

( )

Diện tích hình chữ nhật lớn nhất khi x = 10 . Trong các hình chữ nhật chu vi 40 cm , hình vuông cạnh

(

( )

10 cm có diện tích lớn nhất bằng 100 cm 2

)

Ví dụ 9: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a . Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau , rồi
gập tấm nhôm lại ñể ñược một cái hộp không nắp . Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích
của khối hộp là lớn nhất .
Giải :

a
Gọi x  0 < x <  là ñộ dài của cạnh của hình vuông bị cắt .
2


(
)
 a − 2x )(a − 6x ) = 0
(

2

Thể tích của khối hộp là V = x a − 2x , 0 < x <

(

)(

)

a
a
⇒ V ' = a − 2x a − 6x , 0 < x <
2
2


a
x =
⇔
6
a − 2x > 0


 a  2a 3
⇒V ' = 0 ⇔ 
⇒
=
max
V
V

 =
a
a
<
<
0
x
0
<
<
x
 6  27

2

2
Ví dụ 10:
1) Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm , hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất .
2) Trong số các hình chữ nhật có cùng diện tích 48m 2 , hãy tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất .
Giải :
x , y > 0
0 < x , y < 8
⇔
1) Gọi x , y là ñộ dài hai kích thước của hình chữ nhật , ta có : 
2 x + y = 16
y = 8 − x


(

(

)

)

Diện tích hình chữ nhật là S = xy = x 8 − x = 8x − x 2 , 0 < x < 8 ⇒ max S = 16 khi x = y = 4
0
x , y > 0
x , y > 0

2) Gọi x , y là ñộ dài hai kích thước của hình chữ nhật, ta có : 
⇔
48
48
xy
=
y =

x


48 
p = p 4 3 = 16 3
Chu vi của hình chữ nhật là p = 2 x + y = 2  x +
 , x > 0 ⇒ min
x >0
x 


(

)

1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau ñây :

( )


Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt



( )

( )

a ) f x = x 2 + 2x − 5 trên ñoạn  −2; 3 

d ) f x = −x 2 + 2x + 4 trên ñoạn 2; 4 

x3
+ 2x 2 + 3x − 4 trên ñoạn  −4; 0 
e) f x
3
1
c) f x = x + trên khoảng 0; +∞
f) f x
x

2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau ñây :
a ) f x = x 3 + 3x 2 − 9x + 1 trên ñoạn  −4; 4 
e) f x
3
b ) f x = x + 5x − 4 trên ñoạn  −3;1
f) f x
c) f x = x 4 − 8x 2 + 16 trên ñoạn  −1; 3 
g) f x
 3
d ) f x = x 3 − 3x + 3 trên ñoạn  −3; 
 2
h) f x

+ 5x + 4
trên ñoạn 0 : 1
x +1
1
= x − trên nửa khoảng 0 : 2 
x

( ) = 2x

( )

b) f x =

( )

(

( )

)

( )
( )
( )

2

(

( ) = x x+ 2 trên nửa khoảng ( −2; 4 
( ) = x + 2 + x 1− 1 trên khoảng (1; +∞ )
( ) = x 1 − x trên ñoạn −1;1

( )

2

( ) = x − sin 2x

 π 
trên ñoạn  − ; π 
 2 

3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau ñây :

( )
f ( x ) = cos

a ) f x = 2 sin2 x + sin x − 1
b)

2

( )
f ( x ) = sin

c) f x = cos 3 x − 6 cos2 x + 9 cos x + 5

2x − sin x . cos x + 4

d)

3

x − cos 2x + sin x + 2

( )

(

)

5. ðộ giảm huyết áp của một bệnh nhân ñược cho bởi công thức G x = 0, 025x 2 30 − x trong ñó

( )

x mg là liều lượng thuốc ñược tiêm cho bệnh nhân . Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân

ñể huyết áp giảm nhiều nhất và tính ñộ giảm ñó .
Hướng dẫn

( )
( )
20 (mg ) . ðộ giảm huyết áp là G ( 20 ) = 100 .

G ' x = 0 ⇔ x = 0, x = 20 , G '' 20 < 0 . Lượng thuốc cần tiêm ñể giảm huyết áp nhiều nhất là

6. Một con cá hồi bơi ngược dòng ñể vượt một khoảng cách là 300km . Vận tốc nước là 6km / h . Nếu

(

)

vận tốc bơi của cá khi nước ñứng yên là v km / h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ ñược cho

()

( )

bởi công thức E v = cv 3t, trong ñó c là một hằng số , E J . Tìm vận tốc bơi của cá khi nước ñứng
yên ñể năng lượng tiêu hao là ít nhất.
Hướng dẫn :

(

)

Vận tốc cá khi dòng nước ñứng yên là v km / h , thì vận tốc của cá khi ngược dòng nước là

(

v − 6 km / h

)

Thời gian của cá bơi ngược dòng với khoảng cách s = 300km là t =

300
v −6


Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt



Năng lượng tiêu hao của cá
300
2v 3 − 18v 2
E v = cv 3t = cv 3
J , v > 6 ⇒ E ' v = 300c
⇒ min E v khi v = 9
2
v −6
v −6

()

( )

()

(

()

)

7. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày phát
hiện bệnh nhân ñầu tiên ñến ngày thứ t là f t = 45t 2 − t 3 , t ∈ 0;25  . Nếu coi f t là hàm số xác

()

()

()

ñịnh trên ñoạn 0;25  thì ñạo hàm f ' t ñược xem là tốc ñộ truyền bệnh (người/ngày) tại thời ñiểm t .
a ) Tính tốc ñộ truyền bệnh vào ngày thứ năm .
b ) Xác ñịnh ngày mà tốc ñộ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc ñộ ñó.
c) Xác ñịnh các ngày mà tốc ñộ truyền bệnh lớn hơn 600 .

()

d ) Xét chiều biến thiên của hàm số f t trên ñoạn 0;25  .
Hướng dẫn :
f t = 45t 2 − t 3 , t ∈ 0;25 

()

() (
)
()
f '' (t ) = 90 − 6t ⇒ max f ' (t ) = f ' (15 ) = 675
f ' (t ) = 3t ( 30 − t ) > 600 ⇔ 10 < t < 20
f ' (t ) = 3t ( 30 − t ) > 0, 0 < t < 25 ⇒ Hàm số f (t ) ñồng biến trên ñoạn 0;25  .

a ) f ' t = 3t 30 − t ⇒ f ' 5 = 375
b)
c)
d)

8. Hình thang cân ABCD có ñáy nhỏ AB và hai cạnh bên ñều dài 1m . Tính góc α = DAB = CBA sao
cho hình thang có diện tích lớn nhất . Tính diện tích lớn nhất ñó.Giả sử ADC = x , 0 < x <

π
2

Hướng dẫn :
AB + CD
π
AH = 1 + cos x sin x , 0 < x <
2
2
9. Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có ñộ dài cạnh bằng 10cm , hãy xác ñịnh tam giác có diện
tích lớn nhất .
Hướng dẫn :
Gọi x , y là ñộ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 10cm , 0 < x < 10,

(

AH ⊥ CD, AH = sin x ; DH = cos x ; DC = 1 + 2 cos x ⇒ S =

(

)

(

)

)

2
1
1
1
xy cm 2 ⇒ S 2 = xy = x 2 100 − x 2 , 0 < x < 100 với x 2 + y 2 = 100
2
4
4
10. Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ ñứng . Hai mặt bên ABB ' A ', ACC ' A ' là

0 < y < 10 và S =

( )

( )

( )

( )

hai tấm kính hình chữ nhật AA ' = 20 m , A ' B ' = 5 m , BC = x m .
a ) Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x
b ) Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất và tính thể tích lớn nhất ñó .
Hướng dẫn :

( )

V = 5x 100 − x 2 , 0 < x < 10 ⇒ max V = V 5 2 = 250
x ∈( 0;10 )