Tải bản đầy đủ (.pdf) (34 trang)

hàm số và ứng dụng của hàm số

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (660.27 KB, 34 trang )

Ebooktoan.com

HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
Chương I
ĐẠO HÀM – VI PHÂN
I. ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN CẦN NẮM
Nhóm
Đạo hàm của các hàm số hợp
(u = u(x))
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp
cơ bản
Đa
thức



Lượng
giác
(sinu)

= u

.cosu
(cosu)

= - u

.sinu
(tgu)


=
(cotgu)

= -
(sinx)

= cosx
(cosx)

= - sinx
(tgx)

=
(cotgx)

= -
Mũ (e
u
)

= u

.e
u
(a
u
)

= u


.a
u
.lna
(e
x
)

= e
x
(a
x
)

= a
x
.lna
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

Lôgarit
(ln|u|)

=
u
u
'
(ln|x|)

=
x

1
II. VI PHÂN:
1. Định nghĩa: df(x) = f

(x).dx
2. Qui tắc:
• d(u ± v) = du ± dv
• d(uv) = udv + vdu

Chương II
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
I. ĐỊNH LÝ LAGRĂNG:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm trong (a ; b)
thì tồn tại điểm c

(a ; b) sao cho: f

(c) =
II. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1.
Hàm số không đổi: f

(x) = 0 ⇔ f(x) = c
2. Điều kiện cần: f(x) có đạo hàm trong (a ; b)
a)
Nếu f(x) tăng trong (a ; b) ⇒ f

(x) ≥ 0 ∀ x

(a ; b)

b)
Nếu f(x) giảm trong (a ; b) ⇒ f

(x) ≤ 0 ∀ x

(a ; b)
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

3. Điều kiện đủ: f(x) có đạo hàm trong (a ; b)
a)
Nếu f

(x) > 0 ∀x

(a ; b) ⇒ f(x) tăng trong (a ; b)
b)
Nếu f

(x) < 0 ∀x

(a ; b) ⇒ f(x) giảm trong (a ; b)
• Chú ý: Nếu trong điều kiện đủ, nếu f

(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm
thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn đúng.
III. QUY TẮC TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f(x)
Qui tắc 1:
1) Tính đạo hàm y


= f

(x)
2) Tìm các điểm tới hạn x
i-
: Là nghiệm của phương trình f

(x) = 0 hoặc
tại các điểm đó f

(x) không xác định
3) Lập bảng xét dấu của f

(x)
4) Tại mỗi điểm x
i
mà qua đó nếu:
a) f

(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó
b) f

(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó
c) f

(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại điểm đó
Qui tắc 2:
1) Tính f

(x), f

’’
(x)
2) Tìm các điểm x
i
tại đó f

(x) = 0 (nghiệm của phương trình này)
3) Tính f
’’
(x
i
):
a) Nếu f
’’
(x
i
) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó
b) Nếu f
’’
(x
i
) < 0 thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

CHÚ Ý:
• Giữa hai điểm tới hạn kề nhau x
1
và x
2

, f

(x) luôn giữ nguyên một dấu
• Cách tính giá trị điểm cực trị của hàm số:
- Trong trường hợp điểm cực trị x
0
(x

, x
CT
) là số vô tỉ thì:
1) Nếu f(x) là hàm hữu tỉ thì
2) Nếu f(x) là hàm đa thức: Ví dụ hàm đa thức bậc 3
f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)
Ta chia f(x) cho f

(x) được dư là hàm bậc nhất (mx + n) vậy ta có:
f(x) = f

(x).(px + q) + (mx + n) thì f(x
0
) = (mx
0
+ n) (vì f

(x

0
) = 0)
VD: Hãy tìm các điểm cực trị và giá trị của chúng trong các trường hợp sau:
1) 2) f(x) =
IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a ; b)
- Lập bảng biến thiên của hàm số để kết luận, chú ý:
+ Nếu chỉ có một điểm cực tiểu x
0
thì f(x
0
) = Min y
+ Nếu chỉ có một điểm cực đại x
0
thì f(x
0
) = Max y
+ Nếu có cả điểm cực đại và cực tiểu thì ta phải tìm thêm giới hạn
của f(x) tại các biên a, b để kết luận thích hợp.
2. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b]
- Giải phương trình f

(x) = 0, tìm các nghiệm x
1
, x
2,
…, x
n
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com


(Chỉ chọn các nghiệm thuộc đoạn [a ; b])
- Tính f(a),f(b), f(x
1
), f(x
2
)
,
…, f(x
n
)
- So sánh f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
)
,
…, f(x
n
)
Số lớn nhất M là GTLN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b],
KH: M =
Số nhỏ nhất m là GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b],
KH: m =
CHÚ Ý: • Nếu giải phương trình f

(x) = 0 vô nghiệm ⇒ f(x) đơn điệu
trên [a ; b] ta chỉ cần so sánh f(a) và f(b): Số lớn là Max y và
số nhỏ là Min y.
• Ngoài ra ta có thể dùng các phương pháp sau:

Dùng bất đẳng thức để tìm GTNN, GTLN của hàm số
(xem chuyên đề bất đẳng thức)
Giải phương trình f(x) = y với x ∈ [a ; b] và tìm điều
kiện để phương trình có nghiệm trong [a ; b]
V. TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG
1. Dấu hiệu lồi, lõm: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f
’’
(x) trên
khoảng (a ; b) khi đó:
a) Nếu f
’’
(x) < 0 với mọi x

(a ; b) thì đồ thị của hàm số là lồi trên
khoảng đó
b) Nếu f
’’
(x) > 0 với mọi x

(a ; b) thì đồ thị của hàm số là lõm trên
khoảng đó
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

2. Điểm uốn: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f
’’
(x) trên khoảng
(a ; b) khi đó:
a) Nếu f
’’

(x) đổi dấu khi đối số x đi qua x
0
thì M
0
(x
0
; f(x
0
)) là một điểm
uốn của đồ thị
b) Nếu f
’’
(x) không đổi dấu khi đối số x đi qua x
0
thì điểm M
0
(x
0
; f(x
0
))
không phải là điểm uốn của đồ thị.
VI. TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG (C): y = f(x)
1. Tiệm cận đứng
• Nếu thì đường thẳng x = x
o
là tiệm cận đứng của (C)
2. Tiệm cận ngang
• Nếu y
o

thì đường thẳng y = y
o


là tiệm cận ngang của (C)
3. Tiệm cận xiên
• Đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b là một tiệm cận xiên của
(C) ⇔ [f(x) – (ax +b)] = 0
• Cách xác định hệ số a, b của đường tiệm cận xiên y = ax +b theo công
thức: a = , b = [f(x) – ax ]
4. Phương pháp tìm tiệm cận của (C): y = f(x):
- Tìm TXĐ của f(x) là D suy ra các mút (biên) của nó
- Tính giới hạn của hàm số tại các mút
+ Nếu thoả mãn (1), (2) thì ta có TC đứng, ngang.
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

+ Nếu thì ta tính a = :
• Nếu a ≠ 0, thì ta tính b = [f(x) – ax ].
Nếu b ≠ thì ta có tiệm cận xiên: y = ax + b.
VII. KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Các bước khảo sát 1 hàm số:
B
1
: Tìm TXĐ
B
2
: Xét sự biến thiên (đồng biến, nghịch biến) của hàm số và chỉ ra
các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu)
B

3
: • Tính các giới hạn đặc biệt (tại các mút của TXĐ)
• Tìm các tiệm cận (Đối với các hàm phân thức hữu tỉ
B
4
: Xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn (Đối với các hàm đa thức)
B
5
: Lập bảng biến thiên
B
6
: Đồ thị:
+ Tìm giao điểm với trục Ox, Oy (nếu được)
+ Lập bảng giá trị nếu cần (khi tìm giao với Ox không được…)
+ Vẽ đồ thị
+ Nhận xét: Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có) của đồ thị.
2. Khảo sát một số hàm số thường gặp
a) Hàm đa thức
• y = ax
2
+ bx + c (a

0)
• y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a

0)

• y = ax
4
+ bx
2
+ c (a

0)
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

b) Hàm phân thức hữu tỉ
• y = (c

0, D = ad – bc

0)
B. CÁC DẠNG TOÁN
CHỦ ĐIỂM 1
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: TÌM CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
1) 2) 3)
4) y = 5) y = 6) y =
VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
1) y = 2x
3
– 9x
2
+ 12x – 4 (ĐH KA – 2006)

2) y = -x
3
+ 3x
2
- 4 (ĐH KB – 2007)
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số trùng phương sau:
1) y = x
4
- 8x
2
+ 10 (ĐH KB – 2002)
2) (ĐH DB KA – 2006)
Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số nhất biến sau:
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

1) (ĐH KD – 2002)
2) (ĐH KB – 2007)
VẤN ĐỀ 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
PHƯƠNG PHÁP:
Nếu hàm số y = f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì:
• Xét dấu các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối.
• Phân định miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta
bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
• Vẽ đồ thị từng phần tương ứng trong các khoảng của miền xác định.
Đồ thị của f(x) là hợp của các phần này.
Các hàm có dạng: y = |f(x)| , y = f(|x|)
♦ Hàm số dạng: y = |f(x)|
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C)
- Lấy phần đồ thị của (C) ở phía trên Ox

- Lấy đối xứng phần (C) nằm dưới Ox qua trục Ox.
Hợp hai phần trên lại ta có đồ thị (C

) của y = |f(x)|
♦ Hàm số dạng: y = f(|x|) (Là hàm số chẵn: Có đồ thị đối xứng qua Oy)
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C)
- Lấy phần bên phải Oy của (C) (ứng với x ≥ 0) ta có (C
0
)
- Lấy đối xứng phần (C
0
) qua trục Oy ta có (C
1
)
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

Hợp hai phần (C
0
)

và (C
1
) trên lại ta có đồ thị (C

) của y = f(|x|)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
y = f(x) =
2) Từ (C) hãy suy ra đồ thị của các hàm số:

a) y = b) y =
c) y = d) y =
3) Một số bài toán áp dụng (bài giảng)
CHỦ ĐIỂM 2
MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

A. Phương pháp:
Cho (C): y = f(x) có đạo hàm trên D. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) thoả
mãn một số điều kiện cho sẵn:
1. Tiếp tuyến của (C) tại điểm M
0
(x
0
,y
0
) thuộc (C) có phương trình là:
y – y
0
= f’(x
0
).(x – x
0
) (k = f’(x
0
): là hệ số góc)
♦ Các dạng khác nhau của đề bài:

• Cho x
0
: Tính y
0
= f(x
0
) và f

(x
0
)
• Cho y
0
: Giải phương trình y
0
= f(x
0
) để có x
0
rồi tính f

(x
0
)
• Cho hệ số góc k của tiếp tuyến:
Giải phương trình f

(x
0
) = k để có x

0
rồi tính y
0
= f(x
0
)
2. Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(x
1
,y
1
) bất kỳ
( M(x
1
,y
1
) có thể thuộc hay không thuộc (C) )
♦ Cách 1: • Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(x
1
,y
1
) và có hệ
số góc k: y – y
1
= k(x – x
1
)

y = k(x – x
1
) + y

1
(1)
• (d) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x
0


x
0
và k là nghiệm
của hệ pt: (I) ⇒ k rồi thay vào (1).
♦ Cách 2: (Tìm hoành độ tiếp điểm x
0
)
• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (x
0
,y
0
) là:
y – f(x
0
) = f’(x
0
).(x – x
0
) (1)
• Vì tiếp tuyến trên đi qua M(x
1
,y
1
) nên x

1
và y
1
nghiệm đúng (1):
y
1
– f(x
0
) = f’(x
0
).(x
1
– x
0
) (2)
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

• Giải (2) ta có x
0
rồi thế x
0
vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
3. Chú ý bài toán tìm tham số để từ M(x
1
; y
1
) kẻ được n tiếp tuyến
Phương pháp thông thường là bắt hệ (I) có n nghiệm
⇔ f(x) = f


(x)(x – x
1
) + y
1
có n nghiệm
4. Chú ý các tính chất của hàm hữu tỉ y = (H)
Cho M ∈ (H), I là giao của hai tiệm cận của (H):
• Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B thì:
+ M là trung điểm của AB
+ Tam giác AIB có diện tích không đổi
• Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 hằng số
• IA.IB = const
B. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho (C): y = x
4
– 2x
2
– 3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại các
giao điểm của (C) với trục hoành. (ĐS:
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = 2x
3
+ 3x
2
- 1 (C), và điểm A(0, -1).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A
b) Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) kẻ từ A.
Bài 3: Cho hàm số y = (H).
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com


Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết tiếp tuyến này vuông góc với
đường thẳng (d): 3y – x + 6 = 0
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y = - x
3
– 3x
2
+ 4
biết tiếp tuyến qua P(1;0).
Bài 5: Cho (C): y = x
3
– 3x
2
+ 2.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm A(
b) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị
2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài 6: Cho (C
m
): y =
Tìm m để tiếp tuyến với (C
m
) tại điểm trên (C
m
) có hoành độ x
0
= 4 thì
song song với đường phân giác thứ hai của góc hệ trục tọa độ.
Bài 7: Cho hàm số y = 2x + (H)
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (H)
2) Chứng minh rằng:
a) Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B thì M là trung điểm
của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi, khi M thay đổi.
b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận là một hằng số.
c) Tìm những điểm trên (H) có tọa độ nguyên.
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

Bài 8: Cho hàm số y = (H)
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H). Nếu tiếp
tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại P và Q. Chứng minh rằng:
1) M là trung điểm của PQ
2) Tam giác AIB có diện tích không đổi
3) IQ.IP không đổi.
VẤN ĐỀ 2
TÍNH DƠN ĐIỆU & CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU – ĐIỂM CỰC ĐẠI & ĐIỂM CỰC TIỂU
Bài 1: Cho hàm số y = – x
3
+ mx
2
– m. Tìm m để hàm số đồng biến trong
khoảng (1; 2). ĐS :
Bài 2: Tìm m để hàm số trên khoảng
Bài 3: Cho hàm số y = x
3
- 3(2m + 1)x
2
+ (12m + 5)x + 2

Tìm để hàm số luôn đồng biến. ĐS :
Bài 4: Cho hàm số
Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ
lớn hơn m. (ĐS : m < -2)
Bài 5: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm có
hoành độ x > m.
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

Bài 6: Cho hàm số
Tìm m để hàm số có cực trị (ĐS : |m| < 1)
Bài 7: Định m để hàm số có ba điểm cực trị.
ĐS :
Bai 8: Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến
trên ?
Bài 9: Định m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. (ĐS: m = 1)
Bài 10: Định m để hàm số có các điểm cực trị nằm về hai phía
của trục tung (ĐS: m > 0).
Bài 11: Định m để hàm số có độ dài khoảng nghịch
biến bằng . ĐS: .
Bài 12: Định m để hàm số có giá trị cực đại và giá trị
cực tiểu trái dấu.
Bài 13: Cho hàm số Với giá trị nào của m thì
đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = x + 2
Bài 14: Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trị với mọi m.
Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu thỏa mãn:
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

Bài 15: Tìm m để hàm số có hai cực trị thuộc

khoảng (-2, 3).
DẠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ 9x + 3m – 5
a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó
HD: a) . b) y = 2(3-m
2
)x + 6m – 5,
Bài 2: Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
- 9x + m
a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó
HD: a) m b) y = -8x + m - 3
Bài 3: Cho hàm số
a) CMR với mọi m, hàm số luôn có CĐ, CT.
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

b) Tìm m để y

.y
CT
> 0 (ĐS: )

c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
(ĐS : y=2x+m+1)
Bài 4: Cho hàm số . Tìm m để hàm số y có cực đại, cực tiểu
thỏa mãn: |y

– y
CT
| > 8 (ĐS: )
Bài 5: Cho hàm số
a) Tìm m để hàm số có cực trị
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
c) Tìm m để y
max
+ y
min
= 2
ĐS:
VẤN ĐỀ 3
TÍNH LỒI LÕM ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ (Ban NC)
Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số
có 3 điểm uốn thẳng hàng. (Ba điểm uốn : A(1,1), B(-2,-1), C( ,0))
Bài 2: Cho hàm số y = x
3
– 3(m - 1)x
2
+ 3x – 5
a) Tìm m để (-5; 2) là khoảng lồi của hàm số
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com


b) Tìm m để đồ thị có điểm uốn với hoành độ x
0
> m
2
– 2m – 5
ĐS: a) m 3, b) -1 < m < 4
Bài 3: CMR: với hàm bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0): Thì hệ số góc
của tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị sẽ lớn nhất nếu a < 0 và nhỏ
nhất nếu a > 0, khi so với hệ số góc các tiếp tuyến tại điểm khác.
Bài 4: Cho hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ x – 4. Tìm a, b để M(2; -6) là điểm uốn.
ĐS: a =
Bài 5: Cho hàm số (1). Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm
số (1) thuộc đường thẳng (d): y = x + 1.
VẤN ĐỀ 4
TRỤC ĐỐI XỨNG – TÂM ĐỐI XỨNG – CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG
DẠNG 1: Đồ thị (cặp điểm) nhận Ox, Oy, O: Làm Trục - Tâm đối xứng
A. Phương pháp:
+ Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng ⇔ f(x) = f(-x)
(Hàm số chẵn đối với x)
+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng
+ Đồ thị nhận trục hoành làm trục đối xứng ⇔ f(x) = - f(x)
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý

Ebooktoan.com

(Hàm số chẵn đối với y)
B. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho (C): y = 2x
3
+ 3mx
2
- 3m + 1
Tìm m để (C) có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc O.
ĐS: m < 0 hoặc m>1/3
Bài 2: Cho (C):
Tìm m để (C) có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc O.
ĐS:
Bài 3: Cho hàm số: y = x
3
– 3mx
2
+ (m
2
+ 2m - 3)x + 4

(C
m
)
Tìm m để (C
m
) có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về hai phía
của trục tung. (ĐS: - 3 < m < 1)
(ĐH A.N HN K.D)

Bài 4: Tìm hai điểm phân biệt của (C
m
): y = x
3
– 3x
2
- (m-2)x + m + 1
đối xứng nhau qua trục tung sao cho MN = 4.
DẠNG 2: ĐỐI XỨNG TÂM
Cho (C): y = f(x)
2) Chứng tỏ (C) nhận I(x
0
; y
0-
) làm tâm đối xứng (1)
1) Chứng tỏ (C) có một tâm đối xứng (2)
A. Phương pháp:
- Đổi trục tọa độ , ta được phương trình mới Y = g(X)
+ Nếu Y = g(X) là hàm lẻ thì (C) nhận I(x
0
; y
0-
) làm tâm đối xứng ⇒ (1)
+ Buộc Y = g(X) là hàm số lẻ hay ta tính được x
0
, y
0
. ⇒ (2)
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com


B. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Chứng tỏ (H): có tâm đối xứng là giao điểm
của 2 đường tiệm cận. (ĐS: I(1, -1))
Bài 2: Chứng tỏ (H): có tâm đối xứng là giao điểm
của 2 đường tiệm cận. (ĐS: I(-2, 2))
Bài 3: Cho (C
m
):
Tìm m để (C
m
) nhận I(1; 0) làm tâm đối xứng. (ĐS: m = 1)
DẠNG 3: ĐỐI XỨNG TRỤC
Cho (C): y = f(x).
1) Chứng tỏ (C) nhận (d): x = x
0
làm trục đối xứng (1

)
2) Chứng tỏ (C) có một trục đối xứng có phương Oy (2

)
A. Phương pháp: - Bài toán này chưa cho x
0
, y
0
chưa được cho trước
+ Ta đổi trục tọa độ , ta được phương trình mới Y = g(X)
+ Nếu Y = g(X) là hàm chẵn thì (C) nhận (d): x = x
0

làm trục đối
xứng ⇒ (1

)
+ Buộc Y = g(X) là hàm chẵn ta tính được x
0
⇒ (2

)
B. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Chứng tỏ (C): y = x
4
– 4x
3
+ 4x
2
nhận đường thẳng x = 1 làm
trục đối xứng.
Bài 2: Cho (C
m
):
1) Với m = 4, Chứng tỏ (C
4
) có trục đối xứng (ĐS: x = -1)
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

2) Tìm các giá trị của m để (C
m
) có trục đối xứng // Oy

ĐS : m = 4, x = -1
Bài 3: Cho hàm số y = x
4
+ 4ax
3
– 2x
2
– 12ax (C
a
)
Tìm a để (C
a
) có trục đối xứng song song với Oy.
ĐS : a = 0, x = 0 ; a = , x =
VẤN ĐỀ 5
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
(XEM CHUYÊN ĐỀ: BĐT – GTLN & GTNN)
VẤN ĐỀ 6
SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
A. Phương pháp:
• Cho hai đường:
• Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C

) là: f(x) = g(x) (1)
• Nhận xét:
- Số nghiệm của phương trình (1) chính bằng số giao điểm của (C) và (C

).
- Nghiệm x

0
của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C) và
(C’). Khi đó tung độ điểm chung là y
0
= f(x
0
) hay y
0
= g(x
0
).
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

• Biện luận:
♦ (1) có n nghiệm đơn ⇔ (C) và (C

) cắt nhau tại n điểm.
♦ (1) có nghiệm bội k ≥ 2 ⇔ (C) và (C

) tiếp xúc nhau
♦ (1) vô nghiệm ⇔ (C) và (C

) không có điểm chung.
• CHÚ Ý:
♦ Điều kiện tiếp xúc:
(C) tiếp xúc (C

) ⇔ Hệ có nghiệm
♦ Tìm tọa độ giao điểm của y = f(x) và trục tung (Oy):

Cho x = 0 ⇒ y
♦ Tìm tọa độ giao điểm của y = f(x) và trục hoành (Ox):
Cho y = 0 ⇒ x
♦ Với (C
m-
): y = f(x, m), ta có thể biện luận được số điểm
chung của (C
m
) với trục hoành nhờ vào dạng của (C
m-
) và
vị trí của (C
m-
) đối với hệ trục.
Đặc biệt chú ý đồ thị của hàm số bậc ba giao với Ox:
Cho hàm số bậc 3: f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (C)
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
x
y
0
y
0
x
O
Ebooktoan.com


(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương ⇔
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm ⇔
(C) cắt trục hoành tại 2 điểm (sẽ có 1 tiếp điểm) ⇔
(C) cắt trục hoành tại 1 điểm ⇔
Dạng đồ thị của hàm trùng phương giao với Ox:
Bài giảng
Chú ý về bài toán “tìm tham số m để phương trình có n nghiệm”
Biến đổi PT thành dạng f(x) = g(m) (1) khi đó dùng lý luận sau đây:
• Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số f(x).
• Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị hàm f(x) với đường
thẳng (d): y = g(m).
B. Bài tập tự luyện:
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

Bài 1: Xét sự tương giao của hai đường:
(C): y = x
3
+ 9x và (C

): y = 6x
2
+ 4
Bài 2: Cho (C): y = và đường thẳng (d): y = -2x + m + 1
Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Bài 3: Biện luận theo m sự tương giao của:
(C): y = x
3
- 6x

2
+ 9x - 6 và (C

): y = mx – 2m – 4
Bài 4: Tìm m để (C
m
) tiếp xúc với hoành, biết:
a) (C
m
): y = x
3
- mx + m – 1
b) (C
m
): y = 2x
3
– 3(m + 3)x
2
+ 18mx – 8
c) (C
m
): y = 2x
3
+ 3mx
2
- 2m + 1
Bài 5: Cho (C
m
): y = 2x
3

– 3(m + 2)x
2
+ 6(m + 1)x – 3m + 6
Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm khác nhau
Bài 6: Cho (C
m
):
Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ đều dương
Bài 7: Cho (C
m
): y = x
4
– 2(m + 1)x
2
+ 2m +1
Định m để (C
m
) cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập thành 1
cấp số cộng.
Bài 8: Cho (C): và (P): y = x
2
+ a
Tìm a để (C) tiếp xúc với (P)
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com


Bài 9: Cho các đường (C):

1
): y = - x + m và (Δ
2
): y = x + 3
Tìm m để (Δ
1
)

cắt (C) tại hai điểm A và B đối xứng nhau qua (Δ
2
)
Bài 10: Chứng minh rằng, nếu đồ thị của hàm số: y = x
3
+ ax
2
+ bx + c
cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau thì điểm uốn nằm trên trục hoành.
Bài 11: Cho hàm số y = x
3
- 6x
2
+ 9x – 6 (C). Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 3
điểm phân biệt x
1
, x
2
, x
3

sao cho 2x
2
= x
1
+ x
3
. Tìm 3 nghiệm đó
Bài 12: Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 4x
3
- 3x + m = 0
ĐS: -1< m < 1
Bài 13: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x + m = m
1x
2
+
Bài 14: Cho phương trình:
m)x6)(x3(x6x3 =−+−−++
a) Giải phương trình với m = 3
b) Tìm m để PT có nghiệm
Bài 15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + 3 = m
Bài 16: Cho phương trình:
m1xx1xx
22
=+−−++
a) Giải phương trình với m = -
2
1
b) Tìm m để PT có nghiệm
Bài 17: Tìm m để PT sau có nghiệm thực: 3
4

2
1x21xm1x −=++−

(Đại học Khối A – 2007)
Bài 18: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
6mx4xmx4x
4
44
=+++++
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý

×