Bài toán bảy cây cầu euler

Bài toán bảy cây cầu Euler
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bài toán bảy cây cầu Euler, còn gọi là Bảy cầu ở
Königsberg nảy sinh từ nơi chốn cụ thể. Thành phố
Königsberg, Đức (nay là Kaliningrad, Nga) nằm trên
sông Pregel, bao gồm hai hòn đảo lớn nối với nhau và
với đất liền bởi bảy cây cầu. Câu hỏi đặt ra là có thể đi
theo một tuyến đường mà đi qua mỗi cây cầu đúng một
lần rồi quay lại điểm xuất phát hay không. Năm 1736,
Leonhard Euler đã chứng minh rằng điều đó là không thể
được.
Người ta kể rằng, khoảng năm 1750, vào các ngày Chủ
nhật, những người dân giàu có và học thức của thành
phố đã đi dạo quanh để tìm cách giải bài này, nhưng đây
có lẽ chỉ là một truyền thuyết.

Bản đồ Königsberg thời Euler, mô tả vị trí thực
của bay cây cầu và sông Pregel.

Mục lục
1 Lời giải của Euler
2 Ý nghĩa của bài toán đối với lịch sử toán học
3 Xem thêm
4 Liên kết ngoài

Lời giải của Euler
Để chứng minh kết quả, Euler đã phát biểu bài toán bằng các thuật ngữ của lý thuyết đồ thị. Ông loại bỏ tất
cả các chi tiết ngoại trừ các vùng đất và các cây cầu, sau đó thay thế mỗi vùng đất bằng một điểm, gọi là đỉnh
hoặc nút, và thay mỗi cây cầu bằng một đoạn nối, gọi là cạnh hoặc liên kết. Cấu trúc toán học thu được được
gọi là một đồ thị.

→

→

Hình thù của đồ thị có thể bị bóp méo theo đủ kiểu nhưng không làm đồ thị bị thay đổi, miễn là các liên kết
giữa các nút giữ nguyên. Việc một liên kết thẳng hay cong, một nút ở bên phải hay bên trái một nút khác là
không quan trọng.


Euler nhận ra rằng bài toán có thể được giải bằng cách sử dụng bậc của các nút. Bậc của một nút là số cạnh
nối với nó; trong đồ thị các cây cầu Königsberg, ba nút có bậc bằng 3 và một nút có bậc 5. Euler đã chứng
minh rằng một chu trình có dạng như mong muốn chỉ tồn tại khi và chỉ khi không có nút bậc lẻ. Một đường đi
như vậy được gọi là một chu trình Euler. Do đồ thị các cây cầu Königsberg có bốn nút bậc lẻ, nên nó không
thể có chu trình Euler.
Có thể sửa đổi bài toán để yêu cầu một đường đi qua tất cả các cây cầu nhưng không cần có điểm đầu và
điểm cuối trùng nhau. Đường đi như vậy được gọi là một đường đi Euler. Một đường đi như vậy tồn tại khi
và chỉ khi đồ thị có đúng hai đỉnh bậc lẻ. (Như vậy điều này cũng không thể đối với bảy cây cầu ở
Königsberg.)

Ý nghĩa của bài toán đối với lịch sử toán học
Trong lịch sử toán học, lời giải của Euler cho bài toán bảy cây cầu ở Königsberg được coi là định lý đầu tiên
của lý thuyết đồ thị, ngành nghiên cứu mà nay được coi là một nhánh của toán học tổ hợp (combinatorics),
tuy các bài toán tổ hợp đã được quan tâm đến từ sớm hơn rất nhiều.
Ngoài ra, nhận xét của Euler rằng thông tin quan trọng là số cây cầu và danh sách các vùng đất ở đầu cầu
(chứ không phải vị trí chính xác của chúng) đã là dấu hiệu cho sự phát triển của ngành tôpô học. Sự khác biệt
giữa sơ đồ thực và sơ đồ đồ thị là một ví dụ tốt rằng tôpô học không quan tâm đến hình thù cứng nhắc của
các đối tượng.

Xem thêm

Lý thuyết đồ thị
Đồ thị (lý thuyết đồ thị)
Thuật ngữ lý thuyết đồ thị

Liên kết ngoài
Euler's original publication ( />Lấy từ “ />%A7u_Euler”
Thể loại: Lý thuyết đồ thị | Câu đố | Toán học tô pô
Trang này được sửa đổi lần cuối lúc 22:56, ngày 19 tháng 6 năm 2010.
Văn bản được phát hành theo Giấy phép Creative Commons Ghi công/Chia sẻ tương tự; có thể áp
dụng điều khoản bổ sung. Xem Điều khoản Sử dụng để biết thêm chi tiết.
Wikipedia® là thương hiệu đã đăng ký của Wikimedia Foundation, Inc., một tổ chức phi lợi nhuận.