Bài toán bảy cây cầu Euler

Bài toán bảy cây cầu Euler

Bản đồ Königsberg thời Euler, mô tả vị trí thực của bay cây cầu và sông Pregel.

Bài toán bảy cây cầu Euler, còn gọi là Bảy cầu ở Königsberg nảy sinh từ nơi chốn cụ
thể. Thành phố Königsberg, Đức (nay là Kaliningrad, Nga) nằm trên sông Pregel, bao
gồm hai hòn đảo lớn nối với nhau và với đất liền bởi bảy cây cầu. Câu hỏi đặt ra là có thể
đi theo một tuyến đường mà đi qua mỗi cây cầu đúng một lần rồi quay lại điểm xuất phát
hay không. Năm
1736, Leonhard Euler đã chứng minh rằng điều đó là không thể được.
Người ta kể rằng, khoảng năm
1750, vào các ngày Chủ nhật, những người dân giàu có và
học thức của thành phố đã đi dạo quanh để tìm cách giải bài này, nhưng đây có lẽ chỉ là
một truyền thuyết.
Lời giải của Euler
Để chứng minh kết quả, Euler đã phát biểu bài toán bằng các thuật ngữ của lý thuyết đồ
thị
. Ông loại bỏ tất cả các chi tiết ngoại trừ các vùng đất và các cây cầu, sau đó thay thế
mỗi vùng đất bằng một điểm, gọi là đỉnh hoặc nút, và thay mỗi cây cầu bằng một đoạn
nối, gọi là cạnh hoặc liên kết. Cấu trúc toán học thu được được gọi là một đồ thị.
→ →

Hình thù của đồ thị có thể bị bóp méo theo đủ kiểu nhưng không làm đồ thị bị thay đổi,
miễn là các liên kết giữa các nút giữ nguyên. Việc một liên kết thẳng hay cong, một nút ở
bên phải hay bên trái một nút khác là không quan trọng.
Euler nhận ra rằng bài toán có thể được giải bằng cách sử dụng bậc của các nút. Bậc của
một nút là số cạnh nối với nó; trong đồ thị các cây cầu Königsberg, ba nút có bậc bằng 3
và một nút có bậc 5. Euler đã chứng minh rằng một chu trình có dạng như mong muốn
chỉ tồn tại khi và chỉ khi không có nút bậc lẻ. Một đường đi như vậy được gọi là một
chu
trình Euler. Do đồ thị các cây cầu Königsberg có bốn nút bậc lẻ, nên nó không thể có chu

trình Euler.
Có thể sửa đổi bài toán để yêu cầu một đường đi qua tất cả các cây cầu nhưng không cần
có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Đường đi như vậy được gọi là một đường đi Euler.
Một đường đi như vậy tồn tại khi và chỉ khi đồ thị có đúng hai đỉnh bậc lẻ. (Như vậy điều
này cũng không thể đối với bảy cây cầu ở Königsberg.)
Ý nghĩa của bài toán đối với lịch sử toán học
Trong lịch sử toán học, lời giải của Euler cho bài toán bảy cây cầu ở Königsberg được coi
là định lý đầu tiên của lý thuyết đồ thị, ngành nghiên cứu mà nay được coi là một nhánh
của toán học tổ hợp (combinatorics), tuy các bài toán tổ hợp đã được quan tâm đến từ
sớm hơn rất nhiều.
Ngoài ra, nhận xét của Euler rằng thông tin quan trọng là số cây cầu và danh sách các
vùng đất ở đầu cầu (chứ không phải vị trí chính xác của chúng) đã là dấu hiệu cho sự phát
triển của ngành
tôpô học. Sự khác biệt giữa sơ đồ thực và sơ đồ đồ thị là một ví dụ tốt
rằng tôpô học không quan tâm đến hình thù cứng nhắc của các đối tượng.