Quá trình phân nhánh và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ THU

QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI - 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ THU

QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Lí thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số:

60 46 01 06

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TẠ NGỌC ÁNH

HÀ NỘI - 2017

Mục lục
Mở đầu

2

1 Quá trình Galton-Watson
1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . .
1.2 Mômen . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Tính chất cơ bản của hàm sinh . .
1.4 Xác suất tuyệt chủng . . . . . . .
1.5 Các định lý giới hạn . . . . . . . .
1.5.1 Các định lý về tỉ lệ . . . .
1.5.2 Trường hợp dưới tới hạn .
1.5.3 Trường hợp tới hạn . . . .
1.5.4 Trường hợp siêu tới hạn . .
1.5.5 Tính chất cấp 2 của Zn /mn
1.6 Quá trình Q . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

2 Quá trình phân nhánh Markov thời gian liên
2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Xác suất tuyệt chủng và mômen . . . . . . .
2.5 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Nhúng vào quá trình Galton - Watson . . . .
2.7 Định lý giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Trường hợp trên tới hạn λ > 0 . . . .
2.7.2 Trường hợp tới hạn λ = 0 . . . . . . .
2.7.3 Trường hợp dưới tới hạn . . . . . . .
1

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

tục
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

. . .
. . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

3
3
5
6
8
10
13
14
16
19
21
23

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

26
26
27
29
30
32
33
35
35
36
38


3 Quá trình phụ thuộc tuổi
3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Xác suất tuyệt chủng . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Mômen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Tiệm cận của F (s, t) . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Trường hợp tới hạn . . . . . . . . . . . . .

3.4.2 Không tới hạn : trường hợp Malthusian . .
3.4.3 Không tới hạn: trường hợp sub-exponential
3.5 Các định lý giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Trường hợp tới hạn . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Trường hợp dưới tới hạn . . . . . . . . . .
3.5.3 Trường hợp trên tới hạn . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

4 Ứng dụng
4.1 Chuỗi phản ứng PCR và quá trình phân nhánh . . . .
4.1.1 Cơ chế hoạt động của PCR . . . . . . . . . . .
4.1.2 Mô hình toán học . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Ước lượng thống kê của tỉ lệ đột biến . . . . .
4.2 Khuếch đại gen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Khuếch đại gen và kháng thuốc . . . . . . . . .
4.2.2 Quá trình Galton - Watson cho mô hình khuếch
và suy giảm gen . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Mô hình toán học của mất sức đề kháng . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

. .
. .
. .
. .
. .
. .
đại
. .
. .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

39
39

41
43
44
44
45
46
46
46
47
48

.
.
.
.
.
.

50
50
50
51
52
53
53

. 54
. 55

Kết luận

56

Tài liệu tham khảo

57

2


Mở đầu
Quá trình phân nhánh là một quá trình ngẫu nhiên mô tả sự phát triển
của một quần thể. Các cá thể sinh sản và chết đi độc lập với nhau theo
một số phân bố xác suất nào đó.
Quá trình phân nhánh có nhiều ứng dụng trong sinh học quần thể, sinh
học phân tử, sinh y, dân số học,...
Có nhiều kiểu quá trình phân nhánh: thời gian không liên tục (quá
trình Galton - Watson), thời gian liên tục (quá trình Markov, quá trình
phụ thuộc tuổi, quá trình Bellman - Harris). Nhưng trong khuôn khổ luận
văn em trình bày ba quá trình phân nhánh cơ bản là: quá trình Galton Watson, quá trình Markov, quá trình phụ thuộc tuổi và một số ứng dụng
đơn giản của quá trình phân nhánh.
Luận văn “Quá trình phân nhánh và ứng dụng” gồm: Mở đầu, bốn
chương nội dụng, kết luận và tài liệu tham khảo.
Em xin cảm ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học,
Phòng Sau đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia
Hà Nội, các thầy, cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp cao học chuyên ngành Lý
thuyết xác suất và thống kê toán học, khóa học 2013 - 2015 đã giúp đỡ em
trong suốt quá trình học tập. Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn TS. Tạ
Ngọc Ánh người đã trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành luận văn thạc sĩ
này.

Hà Nội, ngày 29 tháng 11 năm 2016
Học viên

Nguyễn Thị Thu
3


Chương 1
Quá trình Galton-Watson
1.1

Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1. Quá trình Galton - Watson (G - W) là một xích
Markov {Zn ; n = 0, 1, 2, . . .} trên tập các số nguyên không âm. Hàm
chuyển được định nghĩa thông qua phân bố xác suất cho trước {pk ; k =
0, 1, 2, . . .}, pk ≥ 0, pk = 1 như sau


p∗ i nếu i ≥ 1, j ≥ 0
j
P (i, j) = P {Zn+1 = j | Zn = i} =
(1.1)

δ0j nếu i = 0, j ≥ 0
trong đó:
- {p∗k i ; k = 0, 1, 2, . . .} là tích lặp i lần của {pk ; k = 0, 12, . . .}.
- δij là ký hiệu delta Kronecker.
- Phân bố xác suất {pk } là toàn bộ dữ liệu của bài toán.
Quá trình có thể được miêu tả như là sự phát triển thành quần thể của

các cá thể. Bắt đầu tại thời điểm 0 với số lượng cá thể là Z0 , mỗi cá thể
(sau một đơn vị thời gian) sẽ phân tách độc lập thành các cá thể khác,
tạo ra được một lượng ngẫu nhiên con theo quy luật xác suất {pk }. Như
vậy, số lượng các cá thể ở thế hệ thứ nhất Z1 là tổng của Z0 biến ngẫu
nhiên(bnn) độc lập có phân bố xác suất {pk }. Cũng như vậy, thế hệ thứ
2, 3, ... được sinh ra. Tất cả các cá thể là độc lập với nhau. Số lượng cá
thể trong thế hệ thứ n là bnn Zn .
4


Từ (1.1) ta thấy nếu Zn = 0 thì Zn+k = 0 ∀k ≥ 0. Do đó 0 là trạng
thái ổn định và khi đó thì quá trình trở thành tuyệt chủng.
Chú ý 1.1.2. Khi muốn chú ý đến số lượng cá thể khởi đầu, chúng ta sẽ
đặt
{Zn(i) , n = 0, 1, 2, . . .}
là quá trình phân nhánh với i cá thể khởi đầu. Để cho thuận lợi, ta thường
(1)
giả sử Z0 = 1, và nếu không có gì đặc biệt ta viết Zn = Zn .
Hàm sinh: Một công cụ giải tích quan trọng để nghiên cứu quá trình phân
nhánh là hàm sinh:
∞

pk s k ,

f (s) =

|s| ≤ 1

(1.2)

k=0

và các hàm lặp của nó:

f0 (s) = s; f1 (s) = f (s); fn+1 (s) = f [fn (s)]
trong đó s là số thực.
Ta thấy

P (1, j)sj = f (s);
j

P (i, j)sj = [f (s)]i với i ≥ 1.

(1.3)

j

Giả sử Pn (i, j) là xác suất chuyển để ở thế hệ thứ n có j cá thể từ i cá thể
ban đầu, sử dụng phương trình Chapman - Kolmogorov, ta có

Pn+1 (1, j)sj =
j

Pn (1, k)P (k, j)sj
j

k

=

P (k, j)sj

Pn (1, k)
j

k

Pn (1, k)[f (s)]k .

=
k

Nếu ta giả sử

Pn (1, j)sj = f(n) (s), chúng ta chỉ ra rằng
f(n+1) (s) = f(n) [f (s)]

Suy ra

f(n) (s) = fn (s),
5

(1.4)


Từ (1.3) và (1.4) ta có
∞

Pn (i, j)sj = [fn (s)]i .

(1.5)

j=0
(i)

• Tính cộng tính: Quá trình {Zn ; n = 0, 1, 2, . . .} là tổng của i bản
sao độc lập của quá trình phân nhánh {Zn ; n = 0, 1, 2, . . .}. Nói cách
khác, nếu Pi được định nghĩa là độ đo trên F tương đương với độ đo
ban đầu P {Z0 = i} = 1 thì Pi là tích lặp i lần của P1 . Vậy sự phân bố
(i)
(i)
của (Zn1 , . . . , Znk ) với 1 ≤ n1 ≤ . . . ≤ nk là tích lặp i lần của phân bố
(Zn1 , . . . , Znk ).
• Giả sử rằng p0 + p1 < 1 và pj = 1 ∀j và pj = 1 ∀j.

1.2

Mômen

Môment của quá trình (nếu tồn tại) được biểu diễn qua các đạo hàm
của f (s) tại s = 1, từ đó ta có

E(Z1 ) =

P (1, j)j = f (1) = m

trong đó m là số con cái trung bình của một cá thể.
Từ quy luật của chuỗi ta có

EZn =

Pn (1, j)j = fn (1) = fn−1 (1)f (1)

= · · · = [f (1)]n = mn .

(1.6)

Tương tự từ công thức

fn+1 (1) = f (1)[fn (1)]2 + f (1)fn (1)
chúng ta có

fn (1) = f (1) m2n−2 + m2n−3 + . . . + mn−1 ,
và do đó, đặt σ 2 = Var(Z1 ) ta có
 2 n−1 n
σ m (m − 1)


m−1
Var(Zn ) =

nσ 2
6

nếu m = 1
nếu m = 1.


1.3

Tính chất cơ bản của hàm sinh

Các tính chất của hàm sinh fn (s) chứa các tính chất của hàm chuyển
Pn (i, j), do đó thay vì nghiên cứu giới hạn của {fn (s)} ta nghiên cứu giới
hạn của {Zn }. Chúng ta bắt đầu nghiên cứu các vấn đề này bằng các tính
chất cơ bản sau:
Cho t là một số thực. Từ định nghĩa f (t) là một chuỗi với các hệ số
không âm {pk } và p0 + p1 < 1 suy ra f (t) có các tính chất sau
1. f (s) là lồi và tăng trong [0, 1]
2. f (0) = p0 ; f (1) = 1
3. nếu m ≤ 1 thì f (t) > t với t ∈ [0, 1)
4. nếu m > 1 thì f (t) = t có một nghiệm trong [0, 1).
Đặt q là nghiệm nhỏ nhất của phương trình

f (t) = t với t ∈ [0, 1].
Từ những tính chất trên cho thấy phương trình có một nghiệm, hơn nữa:
Bổ đề 1.3.1.

• Nếu m ≤ 1 thì q = 1.
• Nếu m > 1 thì q < 1.

Hình 1.2: m ≤ 1

Hình 1.1: m > 1

7


Bổ đề 1.3.2.

• Nếu t ∈ [0, q) thì fn (t) ↑ q khi n → ∞
• Nếu t ∈ (q, 1) thì fn (t) ↓ q khi n → ∞
• Nếu t = q hoặc t = 1 thì fn (t) = t ∀n.
Một ví dụ quan trọng:
Trường hợp hàm tuyến tính là một ví dụ mà chúng ta có thể tính toán
được hàm lặp fn (s).
Giả sử

pk = bpk−1 k = 1, 2, . . .
∞

pi = [1 − b − p][1 − p]−1 .

p0 = 1 −
i=1

Dễ dàng tính được

f (s) = 1 −
và

m=

b
bs
+
1 − p 1 − ps

(1.7)

b
.
(1 − p)2

Cho hai điểm bất kỳ u, v

f (s) − f (u) s − u 1 − pv
=
+
.
f (s) − f (v)
s − v 1 − pu

(1.8)

Phương trình f (s) = s có nghiệm q và 1.

• Nếu m > 1 thì q < 1
• Nếu m = 1 thì q = 1
• Nếu m < 1 thì q < 1.
Nếu ta đặt u = q và v = 1 ⇒ với m = 1 thì phương trên trở thành

f (s) − q
1−p
= lim
1 − pq s→1
s−q

f (s) − 1
s−1

−1

=

1
m

và do đó (1.8) trở thành

f (s) − q
1 s−q
=
.
f (s) − 1 m s − 1
8

(1.9)


Lặp lại ta có

1 s−q
fn (s) − q
= n
.
fn (s) − 1 m s − 1

(1.10)

Suy ra, nếu m = 1

1−q 2
m
s
mn − q
.
+
mn − 1
s
1−
mn − q
n

fn (s) = 1 − mn

1 − s0
mn − s0

(1.11)

Nếu m = 1 thì b = (1 − q)2 và q = 1 nên

f (s) =

p − (2p − 1)s
.
1 − ps

Suy ra

fn (s) =

1.4

np − (np + p − 1)s
.
1 − p + np − nps

(1.12)

Xác suất tuyệt chủng

Định nghĩa 1.4.1. Xác suất tuyệt chủng của quá trình là

q=P

lim Zn = 0 .

n→∞

Định lý 1.4.2. Xác suất tuyệt chủng của quá trình {Zn } là nghiệm không
âm, nhỏ nhất q của phương trình

s = f (s)
và q = 1 nếu m ≤ 1; q < 1 nếu m > 1.
Chứng minh. Từ bổ đề 1.3.2 suy ra fn (0) → q khi n → ∞
Vì
fn+1 (0) = f [fn (0)]
và

lim fn (0) = lim fn+1 (0) = q

n→∞

n→∞

nên

q = f (q)
9


.
Từ bổ đề 1.3.1 ta suy ra:

m ≤ 1 thì q = 1
m > 1 thì q < 1
Định lý trên cho thấy xác suất tuyệt chủng phụ thuộc vào tham số m số lượng con trung bình của một cá thể.
Quá trình G - W là một xích Markov, trạng thái của nó là số lượng cá
thể hiện tại. Chúng ta chia ra làm hai trạng thái “tạm thời” (transient) và
“lặp” (recurrent).
Định lý 1.4.3. lim P {Zn = k} = 0 với 1 ≤ k Hơn nữa
n→∞

P

lim Zn = 0 = 1 − P

n→∞

lim Zn = ∞ = q.

n→∞

Chứng minh. Đầu tiên ta chỉ ra rằng mỗi trạng thái k = 1, 2, ... là tạm
thời, nghĩa là:
Nếu ta đặt
Rk = P {Zn+j = k, j ≥ 1|Zn = k}
thì

Rk < 1
. Thật vậy:
Nếu p0 = 0 thì Rk = pk1 < 1
Nếu p0 > 1 thì Rk ≤ 1 − P (k, 0) = 1 − pk0 < 1
Do đó với mỗi k = 1, 2, ... ta có:

lim P {Zn = k} = 0

n→∞

Vì Zn → 0 hoặc ∞ khi n → ∞ mà theo định lí 1.4.3thì q là xác suất khi
Zn → 0.
Do đó
P lim Zn = 0 = 1 − P lim Zn = ∞ = q
n

n

10

Định nghĩa 1.4.4. Nếu m < 1, m = 1, m > 1 thì quá trình được gọi
tương ứng là dưới tới hạn (subcritical), tới hạn (critical) và siêu tới hạn
(supercritical).
Vậy theo Định lý 1.4.2 thì:

• Trường hợp siêu tới hạn, m > 1 ⇒ q < 1.
• Trường hợp tới hạn, m = 1 ⇒ q = 1.
• Trường hợp dưới tới hạn, m < 1 ⇒ q = 1.

1.5

Các định lý giới hạn

Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu các định lý giới hạn của Zn . Từ
đó cho thấy sự phân bố của quần thể trong tương lai. Chúng ta bắt đầu
với việc trình bày cách dạng định lý giới hạn sẽ được nghiên cứu. Từ tính
chất cộng tính đã được đề cập đến trong Mục 1.1, cụ thể cho Zn = i, quá
trình ngẫu nhiên {Zn+k , k = 0, 1, 2, . . .} là tổng của i bản sao độc lập của
quá trình {Z0 = 1, Z1 , Z2 , . . .}. Sử dụng tính chất Markov ta có:

E(Zn+k | Zn = in , Zn−1 = in−1 , . . . , Z1 = i1 , Z0 = i0 )
= E(Zn+k | Zn = in ) = in E(Zk | Z0 = 1) = in mk .
Do đó nếu đặt

Wn = Zn m−n

(1.13)

thì ta có định lí sau:
Định lý 1.5.1. Nếu 0 < m ≡ f (1−) < ∞, Wn = Zn m−n và Fn là
σ -đại số sinh bởi Z0 , Z1 , . . . , Zn thì chuỗi {Wn , Fn ; n = 0, 1, 2, . . .} là một
mac-tin-gan. Hơn nữa, từ Wn ≥ 0, tồn tại một bnn W sao cho

lim Wn = W h.k.n

n→∞

Chứng minh. Ta có

E (Zn+1 |Zn ) = mZn n=0,1,...
11

(1.14)


suy ra

E (Zn+k |Zn ) = E [(Zn+k |Zn+k−1 , ..., Zn ) |Zn ]
= E [(Zn+k |Zn+k−1 ) |Zn ]
= E (mZn+k−1 |Zn ) = ... = mk Zn ;

n,k=0,1,...

Chia cả hai vế của phương trình trên cho mn+k ta được:

E (Wn+k |Wn ) = E (Wn+k |Wn , Wn−1 , ..., W0 ) = Wn ;

n,k=0,1,2,...

suy ra {Wn } là một Mac-tin-gan. Áp dụng định lí Mac-tin-gan [Doob(1953)]
suy ra:
lim Wn = W (h.k.n)
n→∞

Như vậy, trong trường hợp tới hạn và dưới tới hạn W = 0 vì q = 1. Do
đó, W chỉ có thể không suy biến khi m > 1. Điều này là đúng nếu ta bổ
sung giả thiết phương sai của số lượng con cháu là hữu hạn.
Định lý 1.5.2. Nếu m > 1, σ 2 < ∞ và Z0 ≡ 1 thì
(i) lim E(Wn − W )2 = 0.
n→∞

σ2
(ii) E(W ) = 1, Var(W ) = 2
.
m −m
(iii) P {W = 0} = q ≡ P {Zn = 0}.
Chứng minh. Từ (1.13)

EWn2

EZn2
= 2n =
m

σ 2 (1 − m−n )
m2 − m

+1

và do

σ2
=
= 2
+1<∞
m −m
dựa vào định lý Mac-tin-gan [Doob (1953), p. 319] dễ dàng có (i) và (ii).
sup EWn2
n

lim EWn2
n

Nếu r = P {W = 0} thì EW = 1 ⇒ r < 1. Hơn nữa từ điều kiện của
Z1 ⇒ r phải thỏa mãn

P {W = 0 | Z1 = k}P {Z1 = k}

r=
k

12


pk [P {W = 0}]k = f (r)

=
k

và do đó r phải trùng với q .
Nếu trong Định lý 1.5.2 ta xét giả thiết yếu hơn (tức là σ 2 < ∞ là
không cần thiết). Từ công thức (1.4) ta có
u

Ee−uWn = fn (e− mn ) = f fn−1 exp

−u 1
m mn−1

.

(1.15)

Cho n → ∞ chúng ta thấy rằng ϕ(u) = Ee−uW thỏa mãn phương trình
Abel
u
(1.16)
ϕ(u) = f ϕ( ) .
m
Phương trình này hữu ích chỉ khi P (W = 0) < 1. Khi đó phương trình
(1.16) có thể được sử dụng để chỉ ra rằng phân bố của W là liên tục tuyệt
đối trên khoảng mở (0, ∞).
Trong trường hợp dưới tới hạn, có hai cách để nghiên cứu Zn với n lớn.
Rõ ràng nhất là giả sử quá trình là một trường hợp không suy biến bởi
điều kiện tuyệt chủng của quá trình. Ta có
∞

∞

P (Zn = k | Zn = 0) =
k=0

k=1

P (Zn = k) k fn (s) − fn (0)
s =
.
P (Zn = 0)
1 − fn (0)

(1.17)

Ở phần sau chúng ta sẽ chỉ ra rằng hàm này hội tụ tới một hàm sinh, và
sẽ nghiên cứu tính chất của giới hạn.
Trường hợp tới hạn đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết. Trong
trường hợp này chúng ta sẽ thấy điều kiện để hàm sinh dần tới 0 khi
n → ∞, tức là điều kiện để chuỗi {Zn | Zn > 0} dần tới ∞ theo phân bố.
Một ý tưởng như tỉ lệ phân kì được đưa ra bởi việc tính mômen:

1 = EZn = E(Zn | Zn > 0)P (Zn > 0) + 0 · P (Zn = 0),
tức là

E(Zn | Zn > 0) =

1
P (Zn > 0)

.

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng

P (Zn > 0) = 1 − P (Zn = 0) ∼
13

c
n


và do đó kì vọng có điều kiện là tăng tuyến tính. Điều này dẫn đến nghiên
cứu điều kiện của quá trình

Zn
| Zn > 0 , n > 0.
n
Thật vậy, chúng ta sẽ thấy rằng quá trình này hội tụ tới một phân bố mũ
âm.
Những vấn đề trên là nội dung chính của luật giới hạn cổ điển cho quá
trình G-W. Ngoài ra chúng ta chứng minh một số kết quả có liên quan đến
các điều kiện giới hạn. Chúng ta cũng sẽ thấy rằng có một lớp các điều
kiện của luật giới hạn trong trường hợp siêu tới hạn có quan hệ mật thiết
với trường hợp dưới tới hạn.
Để chứng minh các định lí giới hạn ta cần một số kết quả của hàm
chuyển Markov P (i, j) .

1.5.1

Các định lý về tỉ lệ

Trong mục này chúng ta sẽ đưa ra các định lý về tỉ lệ của hàm chuyển.
Và nó sẽ là công cụ hữu ích để chứng minh các định lí giới hạn trong phần
tiếp theo.
(j)

Bổ đề 1.5.3. Đạo hàm cấp j (dj /dsj )fn (s) ≡ fn (s) thỏa mãn
(j)

fn(j) (s) = an,j (s) + f [fn−1 (s)]fn−1 (s) với n, j ≥ 1
trong đó an,j (s) là một chuỗi với các hệ số không âm.
Bổ đề 1.5.4. (Tỉ lệ Monotone) Giả sử rằng pj = 0 thì

Pn (1, j)
↑ πj ≤ ∞, j ≥ 1.
Pn (1, 1)
Với πj được định nghĩa như trên và giả sử rằng:

γ = f (q)

(1.18)

∞

πn s n

P(s) =
n=1

và p1 > 0. ta có kết quả sau:
14

(1.19)


Định lý 1.5.5. {πj , j = 1, 2, . . .} luôn thỏa mãn phương trình
∞

πk P (k, j), j ≥ 1

(1.20)

P[f (s)] = γP(s) + P(p0 )

(1.21)

γπj =
k=1

và P(·) thỏa mãn
trong đó s và p0 thuộc miền hội tụ của P.
Định lý 1.5.6. (Định lý tỉ lệ)

τi πj
Pn+m (i, j)
= γm
n→∞ Pn (k, l)
τ k πi
lim

với τi = iq i−1 .

1.5.2

Trường hợp dưới tới hạn

Khi m < 1 thì xác suất tuyệt chủng là bằng 1. Để mô tả các giới hạn
trong trường hợp này Kolmogorov (1938) và Yaglom (1947) đã đưa ra
những điều kiện của Zn để {Zn > 0}. Kết quả chính của mục này là hệ
quả của định lí 1.5.14. Nó phát biểu rằng khi m < 1 thì phân bố của
{Zn | Zn > 0} hội tụ tới một phân bố chính xác.
Đặt T là thời gian tuyệt chủng của quá trình G-W, tức là

T = k ⇔ Zk−1 > 0, Zk = 0.
Định lý 1.5.7. Giả sử q > 0 thì
(i) lim P {Zn = j | n < T < ∞} = bj tồn tại.
n→∞

(ii) Nếu m = 1 thì bj là một hàm xác suất và hàm sinh của nó B(s) =
bj sj là nghiệm duy nhất của phương trình

B

f (sq)
q

= γB(s) + (1 − γ).

Chứng minh. Giả sử m ≤ 1 thì P {T < ∞} = 1 và do đó

Bn (s) = E(sZn | n < T < ∞) = E(sZn | n < T )

15

(1.22)


=
Đặt Gn (s) =

1 − fn (s)
fn (s) − fn (0)
=1−
.
1 − fn (0)
1 − fn (0)

1 − fn (s)
1 − f (s)
và Γ(s) =
thì
1 − fn (0)
1−s
Gn (s) =

Γ[fn−1 (s)]
Gn−1 (s).
Γ[fn−1 (0)]

Vì Γ(s) và fn (s) là tăng đối với s do đó Gn (s) là tăng đối với n. Như vậy

lim Gn (s) = G(s) và lim Bn (s) = B(s)

n→∞

n→∞

là tồn tại và B(s) = 1 − G(s).
Từ định nghĩa của bn và Γ:

Gn (f (s)) = Gn+1 (s)Γ(fn (0))
với fn (0) ↑ 1 khi n → ∞ và Γ(x) ↑ m khi x → 1. Suy ra

G(f (s)) = mG(s)

(1.23)

B(f (s)) = mB(s) + (1 − m).

(1.24)

hay
Nếu m < 1 thì γ = m và q = 1, như vậy (1.22) được thiết lập.
Từ (1.23) cho s ↑ 1 thì G(1−) = m(G(1−)) và khi m < 1 thì G(1−) =
0 hoặc B(1−) = 1. Như vậy {bj } là một hàm xác suất.
Nếu m > 1 thì
∞
j
j=1 s P {Zn

∞

= j, n < T < ∞}
P {n < T < ∞}

j

s P {Zn = j | n < T < ∞} =
j=1

P {Zn = j}q j sj
fn (sq) − fn (0)
=
=
q − fn (0)
P {Zn = j}q j
f ∗ (s) − fn∗ (0)
= n
1 − fn∗ (0)
trong đó fn∗ (s) là tích lặp lần thứ n của f ∗ (s) = q −1 f (qs). Chú ý rằng
f ∗ (s) là một hàm sinh với nghĩa

m∗ = f ∗ (1−) = f (q) = γ < 1.
16


Do đó những lập luận trong trường hợp dưới giới hạn cho f (s) cũng đúng
cho f ∗ (s). Thay f bởi f ∗ vào (1.24) được (1.22).
Hệ quả 1.5.8. (Định lý Yaglom) Nếu m < 1 thì P {Zn = j | Zn > 0}
hội tụ khi n → ∞ tới một phân bố xác suất có hàm sinh B(s) thỏa mãn
phương trình
B[f (s)] = mB(s) + (1 − m).

1.5.3

Trường hợp tới hạn

Khi m = 1 thì Zn → 0 với xác suất 1. Hay giới hạn xác suất bj của
chuỗi phân bố có điều kiện {Zn | Zn > 0} là 0 và do đó quá trình này
phân kì tới ∞. Chúng ta sẽ thấy rằng cần thêm điều kiện để quá trình hội
tụ tới một giới hạn không suy biến.
Cách tiếp cận của chúng ta là dùng giải tích để nghiên cứu kĩ các giới
hạn của fn (t). Chúng ta đã biết fn (t) ↑ 1, và bây giờ ta sẽ tìm hiểu về tỉ
lệ hội tụ. Chúng ta bắt đầu bằng một bổ đề cơ bản quan trọng.
Bổ đề 1.5.9. Nếu m = E(Z1 ) = 1 và σ 2 = Var(Z1 ) < ∞ thì

1
1
σ2
1
−
=
∀t ∈ [0, 1).
lim
n→∞ n 1 − fn (t)
1−t
2
Chứng minh. (Kesten, Ney, Spitzer (1966))
Cách chứng minh này liên quan đến phương pháp ước lượng trực tiếp.
Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có

f (1) − t

f (t) − 1 f (1)
=
lim
=
≡ a.
t→1 (1 − t)2
t→1 2(t − 1)
2

lim
Đặt ε(t) = a −

Do đó

f (t) − t
ta thấy
(1 − t)2
ε(t) ≥ 0 và ε(1) ↓ 0 khi t → 1.

(1.25)

1
1
−
.
1 − f (t) 1 − t

(1.26)

f (t) − t

≤ a.
(1 − t)2

Đặt

δ(t) = a −

17


Vì t ≤ f (t) suy ra

1
f (t) − t
1
−
≥
.
1 − f (t) 1 − t
(1 − t)2
Do đó

δ(t) ≤ ε(t).

(1.27)

Thay t bởi fi (t) trong (1.27), lấy tổng theo i và sử dụng (1.25) ta được

1
1

an−
−
=
1 − fn (t) 1 − t
n−1

≤

n−1

S(fi (t))
i=0

n−1

ε[fi (t)] ≤
i=0

ε[fi (0)] = 0(n)

(1.28)

i=0

trong đó ε[fi (0)] → 0 khi i → ∞.
Mặt khác ta thấy

1 − f (s) f (s) − s
δ(s) = a
−

1−s
(1 − s)2
Từ định nghĩa của ε(s),

1 − f (s)
1−s

−1

≥a

s − f (s)
.
1 − f (s)

f (s) − s
= (1 − s)(a − ε(s)), bất đẳng thức trên
1−s

trở thành

f (s) − s
1−s
1−s
·
= −a(1 − s)(a − ε(s))
1−s
1 − f (s)
1 − f (s)
1−s

1
≥ −a2 (1 − s)
≥ −a2 (1 − s)
.
1 − f (s)
1 − f (0)

S(s) ≥ −a

Vì

1−s
là giảm và dương trên [0, 1]. Do đó
1 − f (s)
n−1

a2
S[fk (t)] ≥ −
1 − f (0)
k=0
a2
≥−
1 − f (0)

n−1

1 − fk (t)
k=0
n−1

1 − fk (0) = o(n).

(1.29)

k=0

Chia (1.28) và (1.29) cho n, sau đó cho n → ∞ ta được đpcm.
Dựa vào bổ đề trên, tỉ lệ mà tại đó quá trình trở thành tuyệt chủng có
thể được ước tính. Chúng ta biết rằng P {Zn > 0} → 0 khi n → ∞. Trong
18


bổ đề đặt t = 0 và chú ý rằng P {Zn > 0} = 1 − fn (0), chúng ta sẽ có
được tỉ lệ hội tụ tới 0.
Định lý 1.5.10. Nếu m = 1 và σ 2 < ∞ khi n → ∞ thì
2
.
[1 − fn (0)] = P {Zn > 0} ∼
nσ 2
Chúng ta chú ý rằng điều kiện quá trình {Zn | Zn > 0} phân kì cùng
với Định lý 1.5.10 có thể được sử dụng để đưa ra ý tưởng đầu tiên về tỉ lệ
tăng trưởng. Như ta đã biết:
1
.
E(Zn | Zn > 0) =
P (Zn > 0)
Và do đó

nσ 2
.

2
Nghĩa là kì vọng của quá trình có điều kiện tăng tỉ lệ với n. Như vậy ta có
thể điều chỉnh quá trình bởi n. Điều này dẫn đến các kết quả sau:
E(Zn | Zn > 0) ∼

Định lý 1.5.11. Nếu m = 1 và σ 2 < ∞ thì

lim P

n→∞

Zn
> z | Zn > 0
n

= exp

−2z
σ2

, z ≥ 0.

(1.30)

Chứng minh. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng
Zn

lim E e−α( n ) | Zn > 0 =

n→∞

1
2 .
1 + ασ2

(1.31)

Ta thấy vế phải của (1.31) là biến đổi Laplace của (1.30). Nhưng kì vọng
có điều kiện trong (1.31) là
α

fn e− n − fn (0)
{n[1 − fn (0)]}−1
=1−
α
−1 .
1 − fn (0)
n 1 − fn e − n
Từ bổ đề cơ bản 1.5.9:

1
σ2
lim
=
n→∞ n[1 − fn (0)]
2
và (sử dụng hội tụ đều) ta có:

1
lim

α
n→∞ n 1 − fn e− n

σ2
1
σ2 1
=
+ lim
=
+ .
α
n→∞ n 1 − e− n
2
2
2

19


Hệ quả 1.5.12. Nếu m = 1 và σ 2 < ∞ thì

lim n2 [fn+1 (s) − fn (s)] =

n→∞

2
, s < 1.
σ2

Chú ý rằng

P {Zn = j | Z0 = 1, Zn > 0, Zn+1

Pn (1, j)pj0
= 0} =
.
fn+1 (0) − fn (0)

Nếu p1 > 0 thì từ Định lý 1.5.11 và hệ quả trên ta có

lim n2 Pn (1, j) =

n→∞

2πj
.
σ 2 P(p0 )

Áp dụng định lý tỉ lệ ta có:
Hệ quả 1.5.13. Nếu p1 > 0, m = 1 và σ 2 < ∞ thì với j ≥ 1

lim n2 Pn (i, j) = ciπj

n→∞

trong đó c =

1.5.4

2

.
σ 2 P(p0 )

Trường hợp siêu tới hạn

Phần này chúng ta sẽ nghiên cứu kĩ hơn trạng thái của Zn và phát triển
các tính chất giới hạn tốt hơn, sử dụng giả thiết yếu hơn phần đầu.
Zn
Chúng ta bắt đầu với chuỗi Wn = n hội tụ hầu khắp nơi (h.k.n).
m
Chúng ta đã biết rằng P {W = 0} = 1 khi m ≤ 1. Khi m > 1 thì σ 2 < ∞
là điều kiện đủ để P {W = 0} < 1. Levinson (1959) đã đưa ra nhận xét
đầu tiên rằng nếu σ 2 = ∞ thì P {W = 0} có thể bằng 1 nhưng không
mạnh như khi σ 2 < ∞.
Các điều kiện cần và đủ cho bởi định lý sau đây chỉ hơi mạnh hơn sự
tồn tại của giá trị trung bình. Đối với sự phân bố của W, nó hoàn toàn
liên tục trên tập số thực dương và có hàm mật độ dương, liên tục.
Trong toàn bộ phần này ta sẽ luôn giả sử rằng Z0 = 1, m > 1 và
pj = 1 ∀j.
20


Định lý 1.5.14.

• Nếu EZ1 log Z1 < ∞ thì EW = 1.
• Nếu EZ1 log Z1 = ∞ thì EW = 0 hoặc P {W = 0} = 1.
Nhận xét 1.5.15. 1. Định lý trên nói rằng nếu EZ1 log Z1 = ∞ thì
Zn
P {lim n = 0} = 1.
m

Từ đó dẫn đến khả năng tồn tại chuỗi tiêu chuẩn khác {cn } sao cho
{Zn /cn } hội tụ tới một giới hạn không suy biến. Tuy nhiên chúng ta vẫn
cần chứng minh rằng cn ∼ mn khi EZ1 log Z1 < ∞. Ngoài ra phương pháp
chứng minh trực tiếp định lý trên cũng được áp dụng cho các quá trình
tổng quát hơn ở Chương 3. Vì vậy chúng ta nghiên cứu định lý 1.5.15 độc
lập và sau đó sẽ tổng quát nó ở Định lý 1.5.16.
Chú ý rằng Wn hội tụ h.k.n tới W

ϕn (u) ≡ Ee−uWn → Ee−uW ≡ ϕ(u), u ≥ 0
trong đó ϕ(u) được chỉ ra thỏa mãn phương trình cơ bản

ϕ(u) = f (ϕ(

u
)).
m

(1.32)

Đây là chìa khóa để chứng minh định lý 1.5.15[K.B.Athreya, P.E.Ney
(1972)].
Định lý 1.5.16. Giả sử {Zn ; n = 0, 1, 2, . . .} là một quá trình GW với
1 < m < ∞. Thì luôn luôn tồn tại một chuỗi hằng số {cn } với cn → ∞
−1
và c−1
n cn+1 → m khi n → ∞, sao cho bnn Wn = cn Zn →W h.c.c với
P (W > 0) = 1 − q.
Hơn nữa nếu ϕ(z) = E(e−zW ) với z ≥ 0 thì ϕ(z) thỏa mãn phương
trình (1.32):
z

ϕ(z) = f (ϕ( )).
m
Nhận xét 1.5.17. 1. Nếu j pj j log j < ∞ thì từ định lý 1.5.14 chúng ta
biết rằng Zn m−n hội tụ theo quy luật tới một giới hạn không suy biến. Luật
Khinchine chỉ ra rằng cn ∼ const × mn . Ngược lại, nếu cn ∼ const × mn
thì Zn m−n hội tụ theo quy luật tới một giới hạn không suy biến (định
21


lý 1.5.16). Hơn nữa, chúng ta cũng thấy rằng EW < ∞ nếu và chỉ nếu
pj j log j < ∞. Do đó chúng ta có:
pj j log j < ∞ khi và chỉ khi
cn ∼ const · mn [ Seneta (1969)].
2. Phương trình hàm (1.32) thường khó có thể giải chính xác ϕ(z) và
thậm chí nếu có giải được thì cũng hiếm khi có thể đảo ngược ϕ(z) để có
được hàm phân phối của W . Tuy nhiên chúng ta có thể sử dụng (1.32) để
xác định tất cả các mômen của W có cấp ≥ 2 (khi chúng tồn tại).
(m)

3. Giả sử {Zn ; n = 0, 1, 2, . . .}, m = 2, 3, . . . là một chuỗi của quá trình
phân nhánh với chỉ số trung bình m và được định nghĩa trên không gian
(m)
Z1
hội tụ tới một bnn Z khi m → ∞ trong
xác suất như nhau. Giả sử
σm
(m)
(m)
đó σm = Var Z1 /Z0 ≡ 1). Đặt W (m) là giới hạn h.c.c của Zn /mn
khi n → ∞ thì:

E

mW (m)
−Z
σm

2

(m)

≤ 2E

mW (m) Z1
−
σm
σm

2

(m)

+ 2E

Z1
−Z
σm

Do đó
(m)

E

mW (m) Z1
−
σm
σm

2

=

2

→ 0 h.c.c khi m → ∞.

m
.
m2 − m

(m)

Z1
mW (m)
Do đó nếu
→ Z;
→ Z thì với m lớn, giới hạn của W (m) và
σm
σm
(m)

Z1
là như nhau.
m
1.5.5

Tính chất cấp 2 của Zn /mn

Trong phần 1.5.4 chúng ta thấy rằng không có giới hạn nào của chuỗi
{Zn /mn ; n = 0, 1, . . .} là một mac-tin-gan không âm, hội tụ h.c.c tới một
b.n.n W . Do đó ta xấp xỉ Zn bởi mn W với n đủ lớn. Điều này đặt ra câu
hỏi về tầm quan trọng của hiệu Zn − mn W . Trong phần này chúng ta sẽ
22


xây dựng một biểu diễn đơn giản cho Zn − mn W và sử dụng nó để trả lời
câu hỏi này.
Không gian xác suất (Ω, F, P ) vẫn ký hiệu là không gian cơ bản của
quá trình phân nhánh {Zn , n = 0, 1, 2, . . .}. Giả sử P {Z0 = 1} = 1.
∞
j=1 pj (j

Định lý 1.5.18. Giả sử p0 = 0 và

log j) < ∞ thì với mỗi n
(j)

tồn tại a tập An ∈ F với P {An } = 1 và biến ngẫu nhiên Wn (w) với
j = 1, 2, . . . , Zn (w) sao cho với mỗi w trong An :
Zn (w)
n

(1 − Wn(j) (w)).

Zn (w) − m W (w) =
j=1
(j)

Vecto {Wn (w); j = 1, 2, . . . , Zn (w)} bao gồm các bnn độc lập cùng phân
phối với W.
Chú ý 1.5.19. Chúng ta cần giả thiết ∞
j=1 pj (j log j) < ∞ để chắc rằng
không xảy ra w → 0 (h.c.c). Do đó chúng ta chỉ cần xét tập {w : W (w) =
0}. Không mất tổng quát ta có thể giả sử P {W = 0} = 0 hay p0 = 0.
Hệ quả 1.5.20. Giả sử p0 = 0 và

A trong F sao cho P {A} = 1 và các
n = 0, 1, 2, . . . sao cho với w ∈ A:

∞
j=1 pj (j log j) < ∞ thì tồn tại a tập
(j)
bnn Wn (w) với j = 1, 2, . . . , Zn (w);

Zn
n

(1 − Wn(j) (w)) ∀n.

Zn (w) − m W (w) =
j=1

Bây giờ chúng ta sử dụng hệ quả trên để trả lời một phần câu hỏi trước
đó về tầm quan trọng của Zn − mn W.
Định lý 1.5.21. Giả sử p0 = 0,

∞
2
j=1 j pj

< ∞ thì

σ2
Zn − mn W d
√
→
− N 0, 2
.
m −m
Zn
Chứng minh. Từ hệ quả trên chúng ta thấy rằng Zn − mn W là cùng phân
n
phối với Zj=1
(1 − W (j) ), trong đó W (j) , j = 1, 2, . . . , Zn là các bản sao
2
độc lập của W cho bởi Zn . Từ ∞
j=1 j pj < ∞ ta có

EW

(j)

= 1 và Var(1 − W

23

(j)

σ2
)= 2
.
m −m