Tiếp cận một số bài toán hình học sơ cấp bằng hình học xạ ảnh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN VĂN SƠN

TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP
BẰNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. VŨ ĐỖ LONG

Hà nội - 2017


Mục lục
1 Một số kiến thức cơ bản của hình học xạ ảnh phẳng
1.1 Sơ lược nội dung và phương pháp của hình học xạ ảnh . .
1.1.1 Một số dạng hình học cơ bản trong mặt phẳng . . . . . .
1.1.2 Phương pháp nghiên cứu hơnh học xạ ảnh . . . . . . . .
1.2 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất . . . . .
1.2.1 Tỉ số kép của bốn phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Ánh xạ xạ ảnh giữa các hàng điểm và giữa các chứm đường
thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Nghiên cứu ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất
bằng tọa độ Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Phép biến đêi xạ ảnh trên một dạng cấp một, bậc nhất .
1.3 Các đường cong bậc hai và lớp bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 Một số đành lờ cơ bản liên quan đến đường cong bậc hai,
lớp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc hai, lớp hai .
1.4 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp hai . . . . . . . . . . .
1.4.1 Phép cộng tuyến giữa hai trường điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Tọa độ xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Bổ sung phần tử ả o vào mặt phẳng xạ ả nh thực . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Phép đối x ạ, nguyên tắc đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Cực và đối cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2

Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp

4
4
4
5
5
5
6
7
9
10
10
11
15
15
15
17
17

18
19

19
2.1 Một số bài toán chứng minh đồng quy song song, thẳng hàng
2.2 Một số bài toán chứng minhđại lượng không đổi hoặc chứng minh
đẳng thức liên quan đến độ dài đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.3 Bài toán chứng minh đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định.
2.4 Bài toán quỹ tích và hình bao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Một số bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

42
45
51


2.6 Một số tính chất Euclide đặc trưng của phép biến đổi xạ ảnh eliptic
trên đường thẳng và đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Một số cách tiếp cận và mở rộng hình học xạ ảnh . . . . .
2.7.1 Dùng hình học afin để nghiên cứu hình học Euclid . . . .
2.8. Dùng hình học afin và hình học Euclide . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Giải một số bài toán của hình học xạ ảnh. . . . . . . . . . . .
2.8.2 Phát hiện sự kiện mới của hình học xạ ảnh. . . . . . . . . . . . . .
2.9 Mở rộng định lý Steiner và định lý Fre'gier. . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

56
59
59
68
68
70
77
83
84


Mở đầu
Hình học xạ ảnh là môn hình học tổng quát sử dụng công cụ tuyến tính. Nhiều
định lý hình học nổi tiếng cũng như nhiều bài toán hình học hay trở nên đơn giản
dưới góc nhìn của hình học xạ ảnh. Vì vậy, sử dụng hình học xạ ảnh là công cụ hữu
hiệu trong việc nghiên cứu, giảng dạy và bồi dưỡng học sinh năng khiếu về hình học ở
trường phổ thông.
Mục đích của luận văn này là trình bày một số khái niệm trong mặt phẳng xạ ảnh
ảnh của mặt phẳng afin, Euclide và đặc biệt là ứng dụng hình học xạ ảnh để định
hướng cho lời giải sơ cấp của các bài toán hình học.
Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương:
Chương 1. Cơ sở lí thuyết hình học xạ ảnh phẳng.
Trong chương này, tác giả trình bày tóm lược các kiến thức cơ sở về mặt phẳng xạ
ảnh và các khái niệm xạ ảnh nghịch đảo, xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất và
bậc hai, ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc hai. Ngoài ra để khai thác được
nhiều ứng dụng của hình học xạ ảnh, tác giả sử dụng mô hình xạ ảnh afin, Euclide có
bổ sung các phần tử vô tận.
Chương 2. Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp.
Đây là chương chính của luận văn trình bày về ứng dụng của mặt phẳng xạ ảnh và

mô hình của mặt phẳng xạ ảnh afin, Euclide vào việc chứng minh một số định lý và
giải bài toán hình học sơ cấp thông qua các ví dụ được chọn và phân loại thành những
dạng toán khác nhau, mục này cũng đề xuất và chứng minh một tính chất đặc trưng
của phép biến đổi xạ ảnh eliptic trên đường thẳng và trên đường tròn. Phần cuối của
chương trình bày mở rộng định lí Steiner, Fre'gier .
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo rất tận tình của PGS.TS
Vũ Đỗ Long. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy về sự
giúp đỡ quý báu này. Nhân đây tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới
thầy Nguyễn Vũ Lương, Đỗ Thanh Sơn đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả trong quá
trình thực hiện luận văn này.
Mặc dù bản thân đã có cố gắng nhiều trong quá trình thực hiện nhưng luận văn
không thể trách khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự chỉ bảo, góp ý của các quý
thầy cô và các bạn đồng nghiệp.
Xin chân trọng cảm ơn.
Hà Nội, tháng 1 năm 2017
Người viết luận văn: Nguyễn Văn Sơn

3


Chương 1
Một số kiến thức cơ bản của hình học
xạ ảnh phẳng
1.1

Sơ lược nội dung và phương pháp của hình
học xạ ảnh

Hình học xạ ảnh chuyên nghiên cứu các tính chất xạ ảnh của các hình, tức
là các tính chất bất biến qua phép chiếu xuyên tâm (xem mục 1.2.2), chẳng hạn

như tương quan đồng quy, thẳng hàng, tính chất chia điều hòa, tính suy biến
hay không suy biến của đường bậc hai, ... Các khái niệm được xét trong các
định lí của hình học xạ ảnh cũng đều là những khái niệm xạ ảnh, chẳng hạn
như điểm, đường thẳng, tam giác, tứ giác toàn phần, đường cong bậc hai, tỉ số
kép, ... Trong hình học xạ ảnh, người ta thường nghiên cứu những ánh xạ từ
một tập hợp đối tượng (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) này sang một tập hợp
đối tượng khác. Các tập hợp đối tượng đó được gọi là những dạng.

1.1.1

Một số dạng hình học cơ bản trong mặt phẳng

1. Các dạng cấp một bậc nhất
Định nghĩa 1.1.1. Hàng điểm thẳng là tập hợp tất cả các điểm cùng thuộc một
đường thẳng. Đường thẳng này được gọi là giá của hàng điểm. Mỗi giá có thể
chứa nhiều hàng điểm khác nhau.
Định nghĩa 1.1.2. Chùm đường thẳng là tập hợp tất cả các đường thẳng trong
mặt phẳng và cùng đi qua một điểm. Điểm này được gọi là giá (hay tâm) của
chùm. Mỗi giá có thể chứa nhiều chùm đường thẳng khác nhau.
2. Các dạng cấp hai
4


Định nghĩa 1.1.3. Trường điểm là tập hợp tất cả các điểm cùng thuộc một
mặt phăng đã cho. Mặt phẳng này được gọi là giá của trường. Một giá có thể
chứa nhiều trường điểm khác nhau.
Định nghĩa 1.1.4. Trường đường thẳng là tập hợp tất cả các đường thẳng cùng
thuộc một mặt phăng đã cho. Mặt phẳng này được gọi là giá của trường. Một
giá có thể chứa nhiều trường đường thẳng khác nhau.

1.1.2

Phương pháp nghiên cứu hình học xạ ảnh

Để nghiên cứu hình học xạ ảnh, có thể dùng những khái niệm và tính chất
không xạ ảnh của những hình học khác (hình học afin, hình học Euclide,...) làm
phương tiện hoặc nghiên cứu độc lập.
Theo cách thứ nhất, ta xem những tính chất xạ ảnh là một bộ phận lẫn vào
trong những tính chất khác của hình học afin và hình học Euclide, sau đó sử
dụng kiến thức của những hình học này để nghiên cứu, sau cùng, ta thể hiện
các kết quả thu được dưới dạng xạ ảnh để được những kết quả của hình học xạ
ảnh.
Theo cách thứ hai, ta xây dựng hình học xạ ảnh thành một môn độc lập,
hoàn toàn không dùng gì đến các tính chất không xạ ảnh làm phương tiện.
Mỗi cách nói trên đều có những ưu điểm riêng, cách thứ nhất thì tự nhiên
(phù hợp với lịch sử phát triển của hình học) và gần gũi với toán phổ thông
hơn, còn cách thứ hai thì lại khoa học hơn và tiện lợi hơn. Những kiến thức
được trình bày trong chương này là theo đường lối thứ nhất.

1.2
1.2.1

Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc
nhất
Tỉ số kép của bốn phần tử

Định nghĩa 1.2.1. Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng trên đường thẳng ∆.
CA
và
Trên ∆ ta chọn một đơn vị dài và một hướng dương. Tỉ số giữa hai tỉ số

CB
DA
được gọi là tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng A, B, C, D và được ký hiệu
DB
là (ABCD). Như vậy
(ABCD) =

CA DA
(ABC)
:
=
(ABD)
CB DB

5


Nếu tỉ số kép (ABCD) = −1 thì ta nói cặp điểm C, D chia điều hòa cặp
điểm A, B. Khi đó ta cũng nói bốn điểm A, B, C, D lập thành một hàng điểm
điều hòa, hay cặp điểm A, B và cặp điểm C, D liên hợp điều hòa với nhau.
Định nghĩa 1.2.2. Cho bốn đường thẳng a, b, c, d đồng quy tại điểm O. Khi đó
một cát tuyến biến thiên, cắt chùm bốn đường thẳng đó tại bốn điểm A, B, C, D
có tỉ số kép không đổi. Tỉ số kép không đổi này được gọi là tỉ số kép của chùm
bốn đường thẳng đã cho, ký hiệu là (abcd) hay (OA, OB, OC, OD).
Nếu tỉ số kép (abcd) = −1 thì ta nói cặp đường thẳng c, d chia điều hòa cặp
đường thẳng a, b. Khi đó ta cũng nói bốn đường thẳng a, b, c, d lập thành một
chùm điều hòa, hay cặp đường thẳng a, b và cặp đường thẳng c, d liên hợp điều
hòa với nhau.
Định lí 1.2.1. Trên mỗi đường chéo của tứ giác toàn phần, hai đỉnh đối diện
chia điều hòa hai giao điểm của đường chéo đó với hai đường chéo còn lại.

Định lí 1.2.2. Tại mỗi điểm chéo của một hình bốn đỉnh toàn phần, hai cạnh
chia điều hòa hai đường thẳng nối điểm chéo đó với hai điểm chéo còn lại.

1.2.2

Ánh xạ xạ ảnh giữa các hàng điểm và giữa các chùm
đường thẳng

Định nghĩa 1.2.3. Cho hai đường thẳng d, d cắt nhau tại điểm I và một điểm
S nằm ngoài hai đường thẳng đó. Với mỗi điểm M thuộc d, ta cho ứng với điểm
M thuộc d sao cho S, M, M thẳng hàng. Tương ứng đó là một song ánh từ d
lên d , nó được gọi là phép chiếu xuyên tâm, với tâm S, từ d lên d .
Định nghĩa 1.2.4. Cho hai chùm đường thẳng tâm O và O và một đường
thẳng s không đi qua O, O . Với mỗi đường thẳng m thuộc chùm (O), ta cho
tương ứng với đường thẳng m của chùm (O ) sao cho s, m, m đồng quy. Tương
ứng đó là một song ánh từ chùm (O) lên chùm (O ), nó được gọi là phép chiếu
xuyên trục, với trục s, từ chùm (O) lên chùm (O ).
Định nghĩa 1.2.5. Một song ánh giữa hai dạng cấp một được gọi là một ánh
xạ xạ ảnh nếu nó bảo toàn tỉ số kép.
Theo định nghĩa trên thì phép chiếu xuyên tâm và phép chiếu xuyên trục
đều là những ánh xạ xạ ảnh. Phép chiếu xuyên tâm và phép chiếu xuyên trục
được gọi chung là ánh xạ phối cảnh. Sau đây là một số tính chất cơ bản của
ánh xạ xạ ảnh và ánh xạ phối cảnh.
Định lí 1.2.3. Mọi ánh xạ xạ ảnh f : ∆ −→ ∆ giữa hai đường thẳng ∆, ∆ với
∆ = ∆ là tích của hai phép chiếu xuyên tâm.
6


Định lí 1.2.3’. Mọi ánh xạ xạ ảnh f : O −→ O giữa hai chùm đường thẳng
tâm O, O với O = O là tích của hai phép chiếu xuyên trục.

Định lí 1.2.4. Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh giữa hai đường thẳng
phân biệt trở thành một phép chiếu xuyên tâm là giao điểm của hai đường thẳng
đó tự ứng.
Định lí 1.2.4’. Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường
thẳng phân biệt trở thành một phép chiếu xuyên trục là đường thẳng đi qua hai
tâm của chúng tự ứng.
Định lí 1.2.5. Cho ba điểm phân biệt A, B, C bất kỳ trên đường thẳng ∆ và ba
điểm phân biệt A , B , C bất kỳ trên ∆ . Tồn tại duy nhất ánh xạ xạ ảnh f biến
A, B, C theo thứ tự thành A , B , C .
Định lí 1.2.5’. Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c bất kỳ thuộc chùm (O) và
ba đường thẳng phân biệt a , b , c bất kỳ thuộc chùm (O ). Tồn tại duy nhất ánh
xạ xạ ảnh f biến a, b, c theo thứ tự thành a , b , c .

1.2.3 Quan hệ ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất
bằng tọa độ Descartes
Trong hình học xạ ảnh người ta thường dùng một loại tọa độ riêng, đó là tọa
độ xạ ảnh. Trong mục này ta sẽ dùng tọa độ Descartes thông thường làm công
cụ trung gian để nghiên cứu một số tính chất của ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng
cấp một bậc nhất. Tuy nhiên ở đây, đường thẳng Euclide đã được bổ sung một
điểm xa vô tận mà ta gán cho hoành độ ∞ (−∞ hay +∞ cũng chỉ một điểm
xa vô tận của đường thẳng đó).
Định lí 1.2.6. Cho hai điểm M, M lần lượt nằm trên hai trục ∆, ∆ có hoành
độ tương ứng là x, x . Điều kiện cần và đủ để có một ánh xạ xạ ảnh f : ∆ −→ ∆
là giữa x và x có một liên hệ nhất biến:
x =

ax + b
, ad − bc = 0
cx + d

(1.1)

Từ (1.1) ta sẽ thiết lập đặc trưng Euclide - đặc trưng hình học về lượng
theo nghĩa Euclide của ánh xạ xạ ảnh giữa hai đường thẳng, từ đó ta có thể
vận dụng được vào một lớp bài toán hình học sơ cấp. Trước hết ta đưa ra định
nghĩa sau về điểm giới hạn.
Định nghĩa 1.2.6. Cho ánh xạ xạ ảnh f : ∆ −→ ∆ . Gọi J là điểm của hàng
∆ , ứng với điểm xa vô tận trên hàng điểm ∆ và gọi I là điểm của hàng ∆, ứng
với điểm xa vô tận trên hàng điểm ∆ . Hai điểm I, J được gọi là hai điểm giới
hạn.
7


Hệ thức sau đây thể hiện đặc trưng về lượng của ánh xạ xạ ảnh giữa hai
đường thẳng.
Định lí 1.2.7. Cho ánh xạ xạ ảnh f : ∆ −→ ∆ , M −→ M . Nếu chọn các
điểm giới hạn I, J tương ứng trên ∆, ∆ làm gốc hoành độ thì ta luôn có
IM .J M = const

(1.2)

Như vậy trong mô hình afin hay mô hình Euclide của mặt phẳng xạ ảnh,
bất biến xạ ảnh (tỉ số kép) được diễn tả bằng một bất biến về lượng thông qua
độ dài của đoạn thẳng. Từ đây ta có thể áp dụng vào việc phát hiện và chứng
minh những hệ thức có dạng AM .A M là một hằng số (khi cặp điểm M, M
chuyển động trên hai đường thẳng nào đó).
Trường hợp đặc biệt khi hai điểm giới hạn I, J đều ở xa vô tận, hàm nhất
biến (1.1) trở thành hàm bậc nhất
b
a

x = x+
d
d
Do đó nếu hai điểm M1 (x1 ), M2 (x2 ) có ảnh tương ứng là M1 (x1 ), M2 (x2 ) thì ta
có
M1 M2
a
(1.3)
= = const.
d
M1 M2
Định lí 1.2.8. Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh giữa hai đường thẳng
trở thành một ánh xạ đồng dạng là cả hai điểm giới hạn đều ở xa vô tận.
Dựa vào định lí này ta có thể đề xuất những bài toán chứng minh một hệ
thức không đổi có dạng (1.3). Tuy nhiên muốn đặt ra những bài toán chứng
minh một hệ thức không đổi có dạng (1.3) hoặc có dạng (1.2) ta cần có một
tiêu chuẩn nhận biết một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm.
Định lí 1.2.9. Nếu từ mỗi điểm M của một đường thẳng (hàng điểm) ∆, ta
xác định được điểm M trên đường thẳng (hàng điểm) ∆ bằng những phép dựng
hình sao cho
i) Giữa M và M có một liên hệ một đối một (kể cả phần tử ảo nếu có), nói
cách khác là, ánh xa f : ∆ −→ ∆ , M −→ M là một song ánh.
ii) Các đường và mặt dùng trong các phép dựng hình để xác định cặp điểm
tương ứng M, M là những đường và mặt đại số.
Khi đó ánh xạ f : ∆ −→ ∆ , M −→ M là một ánh xạ xạ ảnh giữa hai đường
thẳng.
Các định lí 1.2.6 và 1.2.9 cũng đúng đối với hai chùm đường thẳng (đối ngẫu
của hai hàng điểm).
8

Định lí 1.2.10. Cho hai đường thẳng m, m lần lượt thuộc chùm tâm O, O và
có hệ số góc tương ứng là k, k . Điều kiện cần và đủ để có một ánh xạ xạ ảnh
f : O −→ O là giữa k và k có một liên hệ nhất biến:
k =

1.2.4

ak + b
, ad − bc = 0
ck + d

Phép biến đổi xạ ảnh trên một dạng cấp một, bậc
nhất

1. Phân loại các phép biến đổi xạ ảnh trên một dạng cấp một, bậc
nhất
Định nghĩa 1.2.7. Một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng cùng giá d (tương ứng,
giữa hai chùm cùng tâm (O)) được gọi là một phép biến đổi xạ ảnh (hay biến
hình xạ ảnh) của đường thẳng d (tương ứng, của chùm (O)).
Vì hai hàng cùng giá hay hai chùm cùng tâm nên có thể xảy ra trường hợp
hai phần tử tương ứng trùng nhau. Những phần tử đó được gọi là những phần
tử kép (hay phần tử bất động).
Định nghĩa 1.2.8. Ta gọi một phép biến đổi xạ ảnh của đường thẳng (hay của
một chùm đường thẳng) là thuộc loại hybebolic, parabolic hay eliptic tùy theo nó
có hai, một hay không có điểm (hay đường thẳng) bất động thực nào. Trường
hợp phép biến đổi xạ ảnh loại eliptic, tuy không có phần tử bất động nào thực,
ta bảo rằng nó có hai điểm (hay đường thẳng) ảo liên hợp.
2. Một số tính chất đặc trưng
Định lí 1.2.11. Trong một phép biến đổi xạ ảnh loại hybebolic của đường thẳng,

hai điểm bất động cùng với cặp điểm tương ứng tạo thành bốn điểm có tỉ số kép
không đổi.
Định lí 1.2.11’. Trong một phép biến đổi xạ ảnh loại hybebolic của một chùm
đường thẳng, hai đường thẳng bất động cùng với hai đường thẳng tương ứng tạo
thành bốn đường thẳng có tỉ số kép không đổi.
Định lí 1.2.12. Điều kiện cần và đủ để một phép biến đổi xạ ảnh loại hybebolic
trên một đường thẳng trở thành một biến đổi đồng dạng là một trong hai điểm
bất động ở vô tận.
Định lí 1.2.13. Trong một phép biến đổi xạ ảnh loại eliptic của đường thẳng ∆
luôn tồn tại hai điểm đối xứng nhau qua ∆ sao cho từ mỗi điểm đó luôn nhìn
đoạn thẳng M M nối cặp điểm tương ứng M, M bất kỳ dưới một góc định hướng
không đổi.
9


Định lí 1.2.14. Bằng một phép chiếu xuyên tâm ta có thể biến một phép biến
đổi xạ ảnh loại parabolic thành một phép biến đổi đẳng cự trên đường thẳng
Euclide.
Hệ quả 1.2.1. Nếu chọn điểm bất động của phép biến đổi xạ ảnh loại parabolic
làm gốc hoành độ thì một phép biến đổi parabolic sẽ có dạng
1
1
− = const.
x
x
3. Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của một dạng cấp một, bậc nhất
Định nghĩa 1.2.9. Một phép biến đổi xạ ảnh f : d −→ d (tương ứng, f :
(O) −→ (O)) được gọi là phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đường thẳng d
(tương ứng, của chùm (O)) nếu f 2 = Idd .
Định lí 1.2.15. Một phép biến hình xạ ảnh khác phép đồng nhất f : d −→ d

(tương ứng, f : (O) −→ (O)) là phép biến hình đối hợp khi và chỉ khi nó có
hai điểm phân biệt M, M sao cho f (M ) = M và f (M ) = M (tương ứng, hai
đường thẳng phân biệt m, m sao cho f (m) = m và f (m ) = m).
Định lí 1.2.16. Nếu một phép biến hình đối hợp f , khác phép đồng nhất, có
một phần tử bất động thì nó còn có một điểm bất động nữa. Khi đó cặp phần tử
bất động này chia điều hòa mọi cặp phần tử tương ứng của f .
Định lí 1.2.17. Một phép biến hình đối hợp f , khác phép đồng nhất, được hoàn
toàn xác định nếu cho biết hai phần tử phân biệt và ảnh của chúng.

1.3
1.3.1

Các đường cong bậc hai và lớp hai
Một số định lí cơ bản liên quan đến đường cong
bậc hai, lớp hai

Định lí 1.3.1. (Định lí Steiner) Nếu f là một ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm
đường thẳng (A) và (B), không phải là phép chiếu xuyên trục thì quỹ tích giao
điểm của hai đường thẳng tương ứng là một đường cong bậc hai không suy biến,
đường cong này tiếp xúc với ảnh và tạo ảnh của hai đường thẳng (AB), (BA)
theo thứ tự tại B và A.
Nếu f là phép chiếu xuyên trục thì quỹ tích giao điểm nói trên là một cặp
đường thẳng, trong đó có một đường thẳng đi qua hai tâm A và B.

10


Định lí 1.3.1’. Nếu f là một ánh xạ xạ ảnh giữa hai đường thẳng a và b, không
phải là phép chiếu xuyên tâm thì hình bao của đường thẳng nối hai điểm tương
ứng là một đường cong lớp hai. Đường cong này tiếp xúc với a, b tại các điểm là

ảnh và tạo ảnh của a ∩ b.
Nếu f là phép chiếu xuyên tâm thì hình bao nói trên là một cặp điểm, trong
đó có một điểm là giao điểm của hai giá a và b.
Định lí 1.3.2. (Định lí Pascal) Một lục giác nội tiếp một đường cong bậc hai
khi và chỉ khi ba cặp cạnh đối diện giao nhau theo ba điểm thẳng hàng.
Định lí Pascal có nhiều áp dụng trong việc nghiên cứu các đường cong bậc
hai. Khi đường cong bậc hai suy biến thành cặp đường thẳng thì ta tìm lại được
định lí Pappus. Vậy định lí Pappus là một trường hợp riêng của định lí Pascal.
Ngoài ra định lí Pascal có thể áp dụng cho các trường hợp đặc biệt, khi lục giác
suy biến thành ngũ giác, tứ giác, hoặc tam giác. Định lí đối ngẫu của định lí
Pascal chính là định lí Brianchon.
Định lí 1.3.3. (Định lí Brianchon) Một lục giác ngoại tiếp một đường cong lớp
hai khi và chỉ khi các đường thẳng nối các đỉnh đối diện đồng quy.
Định lí Brianchon có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu các đường cong
lớp hai. Khi đường cong lớp hai suy biến thành cặp đường thẳng thì ta thu được
định lí đối ngẫu của định lí Pappus. Định lí Brianchon cũng đúng trong trường
hợp lục giác suy biến thành ngũ giác, tứ giác, tam giác.
Định lí 1.3.4. Tồn tại duy nhất một đường cong bậc hai đi qua năm điểm bất
kì trong mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng,
Định lí 1.3.4’. Tồn tại duy nhất một đường cong lớp hai tiếp xúc với năm
đường thẳng cho trước, trong đó không có ba đường thẳng nào đồng quy.
Định lí 1.3.5. (Định lí Desargues thứ hai) Một đường cong bậc hai biến thiên
trong một chùm đường cong bậc hai vạch lên trên bất kỳ đường thẳng nào một
hàng điểm liên hệ xạ ảnh đối hợp với nhau.

1.3.2

Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc hai, lớp
hai

Định nghĩa 1.3.1. Cho bốn điểm A, B, C, D thuộc đường cong bậc hai C không
suy biến. Theo định lí Steiner, với hai điểm P, P thuộc C, ta có (P )∧(P ), do
đó (P A, P B, P C, P D) = (P A, P B, P C, P D). Nghĩa là (P A, P B, P C, P D)
không đổi, không phụ thuộc vào điểm P . Tỉ số kép không đổi này được gọi là tỉ
số kép của bốn điểm A, B, C, D trên C, ký hiệu là (ABCD)C hay (ABCD) (nếu
không sợ nhầm lẫn).
11


Hình 1.1
Tương tự, theo định lí đối ngẫu của định lí Steiner ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.3.1’. Cho bốn tiếp tuyến a, b, c, d của đường cong lớp hai C không
suy biến. Khi đó với mỗi tiếp tuyến p bất kì của C, giả sử p cắt a, b, c, d lần lượt
tại A, B, C, D thì tỉ số kép (ABCD) không đổi. Tỉ số kép không đổi này được
gọi là tỉ số kép của bốn tiếp tuyến a, b, c, d của C, ký hiệu là (abcd)C hay (abcd)
(nếu không sợ nhầm lẫn).
Trước khi đưa ra định nghĩa ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc hai,
ta đưa ra định nghĩa về ánh xạ nghich đảo xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc
nhất và bậc hai (lớp một và lớp hai), trước hết ta có nhận xét sau:
Nhận xét 1.3.1. Cho một đường cong bậc hai C và một đường thẳng ∆, S là
một điểm cố định trên C, xét tương ứng f : C −→ ∆, M −→ M , trong đó M
khác S, còn M là giao điểm của SM với đường thẳng ∆. Nếu M trùng I thì
SM//∆, khi đó f (I) là điểm vô tận trên ∆. Nếu M trùng S thì f (S) là giao
điểm của ∆ với tiếp tuyến tại S của C. Rõ ràng điểm M được xác định duy
nhất, ngược lại với mỗi điểm M trên ∆ có duy nhất điểm M trên C sao cho
f (M ) = M . Như vậy f là một song ánh, hơn nữa f và f −1 đều là những song
ánh bảo toàn tỉ số kép.

Hình 1.2
Tùy theo số giao điểm thực của ∆ và C mà f có hai, một hoặc không có

điểm bất động thực nào.
12


Định nghĩa 1.3.2. Cho đường cong bậc hai C và một đường thẳng ∆, S là một
điểm cố định trên C, xét tương ứng f : C −→ ∆, M −→ M , xác định như ở
nhận xét trên. Khi đó f và f −1 là những song ánh bảo toàn tỉ số kép và cùng
được gọi là ánh xạ nghịch đảo xạ ảnh tâm S giữa đường cong bậc hai C và đường
thẳng ∆.
Nhận xét 1.3.1’. Cho một đường cong lớp hai C và một điểm O, s là một tiếp
tuyến cố định trên C, xét tương ứng f : C −→ (O), m −→ m , trong đó m khác
s, còn m là đường thẳng nối giao điểm m ∩ s và O. Nếu m trùng i thì f (i)
là đường thẳng i qua O và song song với s. Nếu m trùng s thì f (s) là đường
thẳng đi qua O và tiếp điểm của s với C. Rõ ràng đường thẳng m được xác định
duy nhất, ngược lại với mỗi đường thẳng m thuộc chùm (O) có duy nhất đường
thẳng m của C sao cho f (m) = m . Như vậy f là một song ánh, hơn nữa f và
f −1 đều là những song ánh bảo toàn tỉ số kép.
Tùy theo số tiếp tuyến thực với C vẽ từ O mà f có hai, một hoặc không có
đường thẳng bất động thực nào.
Định nghĩa 1.3.2’. Cho đường cong lớp hai C và một chùm đường thẳng tâm
O, trên C lấy một tiếp tuyến s cố định, xét tương ứng f : C −→ ∆, M −→ M ,
xác định như ở nhận xét trên. Khi đó f và f −1 là những song ánh bảo toàn tỉ
số kép và cùng được gọi là ánh xạ nghịch đảo xạ ảnh trục s giữa đường cong lớp
hai C và chùm đường thẳng (O).
Giả sử d, d là hai đường thẳng và C là một đường cong bậc hai cho trước.
Hai điểm S, S cố định nằm trên C. Khi đó tích của một ánh xạ nghịch đảo xạ
ảnh tâm S từ d lên C và một ánh xạ nghịch đảo xạ ảnh tâm S từ C lên d là
một song ánh bảo toàn tỉ số kép giữa d và d . Như vậy một ánh xạ xạ ảnh giữa
hai hàng điểm thẳng có thể được thiết lập bằng cách lấy tích của hai ánh xạ
nghịch đảo xạ ảnh.

Hình 1.3
Bây giờ nếu C, C là hai đường cong bậc hai và d là một đường thẳng cho
trước. Hai điểm S, S lần lượt nằm trên C, C . Khi đó tích của một ánh xạ nghịch
13


đảo xạ ảnh tâm S từ C lên d và một ánh xạ nghịch đảo xạ ảnh tâm S từ d lên
C là một song ánh bảo toàn tỉ số kép giữa C và C . Vì trên một đường thẳng có
thể có vô số phép biến đổi xạ ảnh nên dựa vào ánh xạ nghịch đảo xạ ảnh, ta có
thể tạo ra vô số song ánh bảo toàn tỉ số kép giữa hai đường cong bậc hai.
Tương tự, dựa vào ánh xạ nghịch đảo xạ ảnh giữa hai dạng cấp một lớp một
và lớp hai, ta cũng thiết lập được vô số song ánh bảo toàn tỉ số kép giữa hai
đường cong lớp hai.
Định nghĩa 1.3.3. Trong mặt phẳng, cho hai đường cong bậc hai (lớp hai)
không suy biến C, C . Một song ánh f : C −→ C bảo toàn tỉ số kép của bốn phần
tử bất kì được gọi là một ánh xạ xạ ảnh giữa hai đường cong bậc hai (lớp hai) C
và C .
Định lí 1.3.6. Một ánh xạ xạ ảnh giữa hai đường cong bậc hai (lớp hai) được
xác định duy nhất khi biết ảnh của ba phần tử đôi một không trùng nhau.
Định nghĩa 1.3.4. Một song ánh f : C −→ C từ một đường cong bậc hai (lớp
hai) C lên chính nó, bảo toàn tỉ số kép của bốn phần tử bất kì được gọi là một
phép biến đổi xạ ảnh trên đường cong C.
Tương tự phép biến đổi xạ ảnh trên một dạng cấp một bậc nhất, một phép
biến đổi xạ ảnh trên một đường cong bậc hai (lớp hai) khác phép đồng nhất có
không quá hai phần tử bất động thực.
Định nghĩa 1.3.5. Ta gọi một phép biến đổi xạ ảnh trên một đường cong bậc
hai (lớp hai) là thuộc loại hybebolic, parabolic hay eliptic tùy theo nó có hai, một
hay không có điểm (hay đường thẳng) bất động thực nào. Trường hợp phép biến
đổi xạ ảnh loại eliptic, tuy không có phần tử bất động nào thực, ta bảo rằng nó

có hai điểm (hay đường thẳng) ảo liên hợp.
Định nghĩa 1.3.6. Một phép biến đổi xạ ảnh f trên một đường cong bậc hai
(lớp hai) được gọi là phép biến hình đối hợp nếu f 2 là phép đồng nhất.
Định lí 1.3.7. (Định lí Frégier) Nếu f : C −→ C là một phép biến hình đối hợp
của đường cong bậc hai C, khác phép đồng nhất, thì đường thẳng nối bất kì một
cặp điểm tương ứng nào cũng luôn đi qua một điểm cố định.
Định lí 1.3.7’. Nếu f : C −→ C là một phép biến hình đối hợp của đường cong
lớp hai C, khác phép đồng nhất, thì giao điểm của hai đường thẳng tương ứng
bất kì nằm trên một đường thẳng cố định.

14


1.4
1.4.1

Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp hai
Phép cộng tuyến giữa hai trường điểm

Định nghĩa 1.4.1. Một song ánh giữa hai trường điểm được gọi là một phép
cộng tuyến nếu nó bảo toàn tính thẳng hàng của ba điểm bất kì.
Định lí 1.4.1. Các phép cộng tuyến bảo toàn tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng
(hay bốn đường thẳng đồng quy).
Như vậy một phép cộng tuyến biến một hàng điểm (hay chùm đường thẳng)
thành một hàng điểm (hay chùm đường thẳng) liên hệ xạ ảnh với hàng (hay
chùm) đã cho. Vì vậy người ta nói rằng các phép cộng tuyến có tính chất xạ
ảnh.

1.4.2

Tọa độ xạ ảnh

1. Tọa độ xạ ảnh của một điểm
Định nghĩa 1.4.2. Cho hai trục Ox, Oy lần lượt cắt một đường thẳng thứ
ba ở X, Y . Chọn E là một điểm không nằm trên Ox, Oy và XY . Gọi Ey =
EY ∩ Ox, Ex = EX ∩ Oy. Ứng với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi Mx =
M X ∩ Oy, My = M Y ∩ Ox, ta có hai số
x = (My Ey OX), y = (Mx Ex OY )
Cặp số (x, y) được gọi là tọa độ xạ ảnh của điểm M đối với tam giác tọa độ
OXY và được kí hiệu là M (x, y).

Hình 1.4
Theo định nghĩa này thì tọa độ của điểm E là E(1, 1), nó được gọi là điểm
đơn vị. Trong nhiều trường hợp, để tiện lợi, người ta thường dùng tọa độ xạ ảnh
thuần nhất.
15


Định nghĩa 1.4.3. Cho điểm M có tọa độ xạ ảnh (x, y). Khi đó bộ ba số
x
y
(x , y , z ) sao cho
= x, = y, được gọi là tọa độ xạ ảnh thuần nhất của điểm
z
z
M và được kí hiệu là M (x : y : z ).
Theo định nghĩa này thì E(1 : 1 : 1), O(0 : 0 : 1), X(1 : 0 : 0), Y (0 : 1 : 0).
Với các điểm nằm trên đường thẳng XY , ta đều có z = 0. Vì vậy z = 0 là
phương trình của đường thẳng XY .
2. Phương trình đường thẳng

Giả sử trong mặt phẳng xạ ảnh có một hệ tọa độ xạ ảnh xác định bởi tam
giác tọa độ OXY , điểm đơn vị E và có một đường thẳng d. Trong mặt phẳng
này, ta lấy thêm một hệ tọa độ Descartes vuông góc Iu, Iv và gọi P là điểm
có tọa độ Descartes là (1, 1). Gọi Pu , Pv lần lượt là hình chiếu của P lên Iu, Iv
(Hình 1.4).
Xét phép cộng tuyến xác định bởi hai tứ giác tương ứng OEy EEx và IPv P Pu ,
biến đường thẳng d thành đường thẳng ∆. Giả sử điểm M có tọa độ xạ ảnh
là (x, y), qua phép cộng tuyến này, biến thành điểm N có tọa độ Descartes
là (u, v). Khi đó vì phép cộng tuyến bảo toàn tỉ số kép nên ta có x = u và
y = v. Hơn nữa phương trình của đường thẳng ∆ đối với hệ tọa độ Descartes
có dạng Au + Bv + C = 0, do vậy phương trình của d trong hệ tọa độ xạ ảnh
có dạng Ax + By + C = 0. Nếu dùng tọa độ xạ ảnh thuần nhất x , y , z thì ta
có Ax + By + Cz = 0.
Khi d trùng với XY thì d có phương trình là z = 0. Tóm lại, phương trình
một đường thẳng có dạng tổng quát là:
u1 x 1 + u2 x 2 + u3 x 3 = 0

(1.4)

Bộ ba số (u1 , u2 , u3 ) trong phương trình (1.4) còn được gọi là tọa độ của đường
thẳng d trong hệ tọa độ xạ ảnh đã chọn.
3. Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng
Cho ba điểm A, B, C. Giả sử A(a1 : a2 : a3 ), B(b1 : b2 : b3 ), C(c1 : c2 : c3 ).
Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là:
a1 a2 a3
b1 b2 b3 = 0
c1 c2 c3
4. Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng đồng quy.
Cho ba đường thẳng u, v, w. Giả sử u(u1 : u2 : u3 ), v(v1 : v2 : v3 ), w(w1 : w2 :
16

w3 ). Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là:
u1 u 2 u3
v1 v2 v3 = 0
w1 w2 w3

1.4.3

Bổ sung phần tử ảo vào mặt phẳng xạ ảnh thực

Để tránh những bất tiện khi nghiên cứu hình học xạ ảnh thực, ta nhúng
mặt phẳng xạ ảnh thực P2 vào mặt phẳng xạ ảnh phức P2 (i), nghĩa là xem mỗi
phần tử của P2 là một phần tử thực của P2 (i), khi đó thì những phần tử không
thực của P2 (i) được gọi là những phần tử ảo của P2 .
Nếu như trong hình học phức trên mặt phẳng P2 (i), người ta nghiên cứu
những phép cộng tuyến có hệ số bất kì, thực hay ảo, thì trong hình học xạ ảnh
trên mặt phẳng P2 có bổ sung các phần tử ảo, người ta chỉ nghiên cứu những
phép cộng tuyến có hệ số thực. Vì vậy trên phương diện hình học xạ ảnh phức
thì không có sự phân biệt giữa các phần tử thực và ảo, còn trong hình học xạ
ảnh trên mặt phẳng P2 có bổ sung các phần tử ảo thì các tính chất thực, ảo là
những bất biến xạ ảnh.
Như vậy ta có thể dùng các phần tử ảo làm trung gian, tiện lợi cho việc
nghiên cứu hình học xạ ảnh thực. Nó tiện lợi ở chỗ khi ta nghiên cứu một vấn
đề gì hay phát biểu một kết luận, ta không cần phân biệt các phần tử mà ta
đang xét là thực hay ảo, do đó không phải phân chia nhiều trường hợp. Điều này
cũng tương tự như khi ta bổ sung các phần tử vô tận vào mặt phẳng Euclide
để khỏi phải phân biệt các trường hợp cắt nhau hay không cắt nhau của các
đường thẳng.

1.4.4

Phép đối xạ, nguyên tắc đối ngẫu

Định nghĩa 1.4.4. Người ta nói rằng giữa hai trường điểm và đường thẳng có
một liên hệ đối xạ nếu
i) Ứng với mỗi điểm của trường này thì có một đường thẳng của trường kia
và chỉ một mà thôi,
ii) Ứng với mỗi đường thẳng của trường này thì có một điểm của trường kia
và chỉ một mà thôi,
iii) Tương quan liên thuộc giữa điểm và đường thẳng được bảo toàn.
Định lí 1.4.2. Phép đối xạ có tính chất xạ ảnh, nghĩa là mọi dạng cấp một thì
ứng với một dạng cấp một khác liên hệ đối xạ với dạng đã cho.
Định nghĩa 1.4.5. Bênh cạnh mỗi mệnh đề phát biểu nên những tương quan
giữa các điểm và đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh, ta có một mệnh đề thứ
17


hai được tìm ra bằng cách thay vào trong mệnh đề thứ nhất mọi chữ "điểm"
bằng chữ " đường thẳng" và mọi chữ đường thẳng bằng chữ "điểm". Hai mệnh
đề trên được gọi là hai mệnh đề đối ngẫu của nhau.
Dựa vào phép đối xạ của mặt phẳng xạ ảnh ta có nguyên tắc sau đây gọi là
nguyên tắc đối ngẫu trong mặt phẳng xạ ảnh:
Nguyên tắc đối ngẫu: Hai mệnh đề đối ngẫu với nhau thì cùng đúng hoặc
cùng sai.
Mọi hình trong mặt phẳng đều do điểm và đường thẳng cấu tạo thành nên
mỗi hình có một hình đối ngẫu. Hình đối ngẫu của một đường cong bậc n là
một đường cong lớp n và mỗi điểm của đường thứ nhất ứng với một tiếp tuyến
của đường thứ hai. Mỗi đường thẳng có thể được xem là một đường cong bậc
1, có hình đối ngẫu là một đường cong lớp 1, tức là một điểm.

1.4.5

Cực và đối cực

Định nghĩa 1.4.6. Hai điểm M, N được gọi là liên hợp với nhau đối với đường
cong bậc hai C nếu hai giao điểm của C với đường thẳng M N chia điều hòa cặp
điểm M, N .
Định lí 1.4.3. Quỹ tích các điểm N liên hợp với một điểm cố định M đối với
một đường cong bậc hai cố định là một đường thẳng. Đường thẳng này được gọi
là đường đối cực của điểm M đối với đường cong đã cho.
Định lí 1.4.4. Mọi đường thẳng m trong mặt phẳng đều có một điểm M duy
nhất nhận m làm đường thẳng đối cực đối với một đường cong bậc hai không
suy biến C. Điểm M này được gọi là cực của đường thẳng m đối với đường cong
bậc hai C.
Định lí 1.4.5. Nếu một đường thẳng m và một điểm N thuộc nhau thì cực M
và đường đối cực n của chúng cũng thuộc nhau.
Định nghĩa 1.4.7. Hai đường thẳng m, n được gọi là liên hợp với nhau đối với
đường cong bậc hai C nếu chúng đi qua cực của nhau đối với đường cong đó.
Định lí 1.4.6. Hai đường thẳng liên hợp với nhau đối với một đường cong bậc
hai C chia điều hòa hai tiếp tuyến với C xuất phát từ giao điểm của hai đường
thẳng đã cho.

18


Chương 2

Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học
sơ cấp

2.1

Một số bài toán chứng minh tương quan đồng quy,
song song, thẳng hàng

Ví dụ 2.1.1. Cho hai đường thẳng phân biệt d, d . Các điểm A, B, C nằm trên
d, A , B , C nằm trên d . Gọi M = AB ∩ A B , N = AC ∩ A C , P = BC ∩ B C
. Khi đó M, N, P thẳng hàng. (Định lí Pappus).

Hình 2.1 Định lí Pappus
Định lí Pappus là một trường hợp riêng của định lí Pascal, tuy nhiên ta
có thể dùng tính chất của ánh xạ phối cảnh (phép chiếu xuyên tâm) để chứng
minh như sau:

19


Chứng minh. Gọi I là giao điểm của d và d và gọi R, S lần lượt là giao điểm
của BA và AC , BC và CA . Khi đó (BSM A ) = (IC B A ) (phép chiếu
tâm A xuống đường thẳng A B ), và (IC B A ) = (BC P R) (phép chiếu tâm
C xuống đường thẳng BC ). Do đó (BSM A ) = (BC P R). Như vậy hàng
(B, S, M, A , ...)∧(B, C , P, R, ...). Hơn nữa B = RC ∩ SA , giao điểm của hai
hàng tự ứng. Do đó các đường thẳng SC , M P, A R đồng quy tức N thuộc M P .
Vậy M, N, P thẳng hàng.
Bây giờ bằng cách thể hiện định lí Pappus trong mô hình xạ ảnh của mặt
phẳng afin, ta sẽ thu được nhiều kết quả khác nhau của hình học sơ cấp.
Giả sử I = d ∩ d . Xét tập hợp điểm T = {A, B, C, A , B , C , M, N, P, I}.
Gọi ∆ là đường thẳng vô tận. Ta lần lượt xét các trương hợp sau:
1) Không có điểm nào của tập T thuộc đường thẳng ∆, ∆ ∩ T = ∅. Ta có
định lí Pappus cuả hình học sơ cấp (xem [10], tr 68).

2) I thuộc đường thẳng ∆, ∆ ∩ T = {I}. Ta thu được bài toán sau:
Bài toán 2.1.1. Cho hai đường thẳng phân biệt d, d song song. Các điểm
A, B, C nằm trên d, A , B , C nằm trên d . Gọi M = AB∩A B , N = AC ∩A C ,
P = BC ∩ B C . Khi đó M, N, P thẳng hàng.
Lời giải. Áp dụng định lí Menelaus lần lượt cho các tam giác CRB, B P C ,
tương ứng với các cát tuyến (N AC ), (RCA ) ta lần lượt có
N R AC C B
.
.
=1
N C AB C R
RC CP A B
.
=1
.
RP CB A C
Mặt khác do d//d nên áp dụng định lí Thalès ta chứng minh được
NC A C
BP CB
M A AB
.
= 1,
.
= 1,
.
=1
N A AC
BC CP
MB A B
MA PB NR

=1
.
.
MB PR NA
Áp dụng định lí Menelaus đảo cho tam giác RA B, ta được M, N, P thẳng
hàng.

Từ các đẳng thức trên ta được

3) ∆ ∩ T = {M, N, P }. Ta được bài toán sau:
Bài toán 2.1.2. Cho hai đường thẳng phân biệt d, d cắt nhau. Các điểm
A, B, C nằm trên d, A , B , C nằm trên d sao cho AB //A B, BC //B C, khi
đó AC //A C.
20


Lời giải. (xem [1], trang 46). Trường hợp ∆ ∩ T = {M, N, P, I} có thể chứng
minh dễ dàng dựa vào tính chất của hình bình hành.
4) ∆ ∩ T = {A , B , C }. Ta được bài toán sau:
Bài toán 2.1.3. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và ba điểm M, N, P sao cho
AN//BP, BM//CN, CP//AM . Khi đó M, N, P thẳng hàng.

Hình 2.2
Lời giải. Giả sử M P cắt đường thẳng ABC tại K (trường hợp không cắt
có thể kiểm tra dễ dàng). Gọi N là giao điểm của M P và AN . Ta chứng minh
N = N.
KA
KN
KC
KP

Thật vậy, vì AN//BP, CP//AM nên ta có
=
và
=
.
KB
KP
KA
KM
KC
KN
Từ đó suy ra
=
. Do đó CN //BM . Vì BM//CN và N nằm trên
KB
KM
CN nên N = N . Vậy M, N, P thẳng hàng.
Bây giờ xét mệnh đề đối ngẫu của định lí Pappus ta thu được định lí sau:
Định lí 2.1.0. Cho ba đường thẳng a, b, c đồng quy tại D và ba đường thẳng
a , b , c đồng quy tại D . Xét các đường thẳng m, n, p với m qua a ∩ b và a ∩ b,
n qua a ∩ c và a ∩ c, p qua b ∩ c và b ∩ c. Khi đó m, n, p đồng quy tại một điểm.
Chứng minh. Gọi I = a ∩ c, J = a ∩ c , K = m ∩ p. Ta cần chứng minh I, J, K
thẳng hàng. Thật vậy, gọi N = c ∩ b , P = b ∩ c , Q = b ∩ a , R = a ∩ b . Áp dụng
định lí Pappus cho hai đường thẳng b, b với ba điểm thẳng hàng D , R, N trên
b và D, Q, P trên b ta có
I = D Q ∩ N D, J = D P ∩ RD, K = QR ∩ N P
Vậy I, J, K thẳng hàng.
21

Hình 2.3
Tương tự, nếu xét bài toán đối ngẫu của các bài toán 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, ta
cũng thu được những bài toán khác nhau. Như vậy từ một định lí của hình học
xạ ảnh, khi thể hiện vào mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin, ta thu được nhiều
kết quả khác nhau của hình học afin. Ví dụ tiếp theo là một bài toán về hai
tam giác thấu xạ ba lần.
Ví dụ 2.1.2. Cho hai tam giác ABC và A B C sao cho AA , BB , CC đồng
quy tại S, AB , BC , CA đồng quy tại T . Chứng minh rằng AC , BA , CB cũng
đồng quy tại một điểm.

Hình 2.4
1) Lời giải xạ ảnh. Chọn tam giác ABC làm tam giác tọa độ và S là điểm
đơn vị, A(1 : 0 : 0), B(0 : 1 : 0), C(0 : 0 : 1), S(1 : 1 : 1). Khi đó các đường thẳng
AA , BB , CC có phương trình lần lượt là y = z, z = x, x = y. Vì A , B , C lần
lượt nằm trên SA, SB, SC nên chúng có tọa độ là: A (a : 1 : 1), B (1 : b : 1),
C (1 : 1 : c). Do vậy tọa độ các đường thẳng AB , BC , CA là AB (0 : −1 :
22


b), BC (c : 0 : −1), CA (−1 : a : 0). Vì AB , BC , CA đồng quy nên ta có
0 −1 b
c
0 −1 = 0 ⇐⇒ abc = 1
−1 a 0
Xét các đường thẳng AC , BA , CB ta có AC (0 : c : −1), BA (−1 : 0 :
a), CB (b : −1 : 0). Tọa độ các đường thẳng này thỏa
0
c −1
−1 0 a = abc − 1 = 0
b −1 0

Vậy AC , BA , CB đồng quy tại một điểm.
2) Lời giải sơ cấp. Gọi U = AC ∩ CB . Ta cần chứng minh A , B, U thẳng
hàng. Thật vậy, áp dụng định lí Pappus cho hai đường thẳng T B và SC với
ba điểm T, A, B trên T B và ba điểm S, C, C trên SC ta có
T C ∩ SA = A , T C ∩ SB = B, AC ∩ CB = U
là ba điểm thẳng hàng.
Vậy AC , BA , CB đồng quy tại U .
Bây giờ lần lượt cho S, T, U ra vô tận, ta sẽ thu được những bài toán khác
nhau của hình học afin.
Bài toán 2.1.4. (Cho S ra vô tận) Cho hai tam giác ABC và A B C sao cho
AA //BB //CC và AB , BC , CA đồng quy tại T . Chứng minh rằng nếuAC
cắt CB thì AC , BA , CB đồng quy tại một điểm (Hình 2.4).
Lời giải. Gọi D là giao điểm của AA và BC , E là giao điểm của CC và
AB . Giả sử AC cắt CB tại U . Ta chứng minh A , B, U thẳng hàng. Áp dụng
định lí Menelaus chon tam giác C EA với cát tuyến B U C ta có
U A CC B E
.
.
=1
U C CE B A
Vì AA //BB //CC nên ta có
CC
AD BE
BC
=
,
=
CE
AA BA
BD

23


Từ những đẳng thức trên ta có
A D U A BC
=1
.
.
A A U C BD
Áp dụng định lí Menelaus đảo cho tam giác ADC ta có A , B, U thẳng hàng.
Tương tự ta có hai bài toán sau:
Bài toán 2.1.5. (Cho S, T ra vô tận) Cho hai tam giác ABC và A B C sao
cho AA //BB //CC và AB //BC //CA . Chứng minh rằng nếu AC cắt CB
thì AC , BA , CB đồng quy tại một điểm.
Bài toán 2.1.6. (Cho cả ba điểm S, T, U ra vô tận) Cho hai tam giác ABC và
A B C sao cho AA //BB //CC và AB //BC //CA . Chứng minh rằng nếu
AC //CB thì AC //BA //CB .

Hình 2.5
Dưới đây là bài toán đối ngẫu của bài toán xạ ảnh ban đầu.
Bài toán 2.1.7. Trong mặt phẳng cho các đường thẳng a, b, c, a , b , c sao cho
ba điểm A = a ∩ a , C = b ∩ b , B = c ∩ c thẳng hàng và ba điểm B = a ∩ b , A =
b ∩ c , C = c ∩ a thẳng hàng. Chứng minh rằng khi đó a ∩ c , b ∩ a , c ∩ b cũng
thẳng hàng.
24