De thi HSG+DaP an

Phòng GD Tam Dơng
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9
Năm học: 2006 -2007
Môn : Toán
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1: ( 2 đ)
a) Chứng minh rằng không thể biểu diễn số 2007 thành tổng của hai số chính phơng.
b) Chứng minh rằng luôn tồn tại số có dạng 78787878 chia hết cho 79.
Câu 2: (1,5 đ)
Rút gọn biểu thức .

2 3 3
2
1 1 ( (1 ) (1 ) )
2 1
x x x
M
x
+ +
=
+
.
Câu 3: (2,5 đ)
a) Giải phơng trình nghiệm nguyên:
01
22
=++
yxxyyx
.
b) Giải phơng trình:
2 2 2

1 1 2x x x x x x+ + + + = +
Câu 4: (1,5 đ)
Cho x>0, y>0 thoả mãn x+
1
y

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
16 2006
x y
P
y x
= +
Câu 5: (2,5 đ)
Cho hình thoi ABCD ,
0
60
=
B
. Một đờng thẳng đi qua D không cắt hình thoi nhng
cắt các đờng thẳng AB , BC lần lợt tại E và F . Gọi M là giao điểm của AF và CE . Chứng
minh rằng.
a) Tam giác AEC đồng dạng với tam giác CAF.
b) AD
2
= AM.AF
Hớng dẫn chấm
Môn: Toán 9
Năm học: 2006-2007
Câu Nội dung Điểm
1a

------
1b
Xét 2 số nguyên a, b có các trờng hợp xảy ra nh sau:
+) Nếu a, b cùng tính chẵn lẻ thì a
2
và b
2
cùng tính chẵn lẻ

a
2
+ b
2
là số
nguyên chẵn. Do đó a
2
+ b
2
2007

.
+) Nếu a, b khác tính chẵn lẻ :
Giả sử a chẵn , b lẻ thì a
2
+ b
2
= (2k)
2
+(2l+1)
2

= 4m +1 chia cho 4 d 1, mà
2007 chia cho 4 d 3 nên a
2
+ b
2


2007 ( Với k, l, m
Z
)
(Trờng hợp a lẻ b chẵn tơng tự).
Vậy không thể biểu diễn số 2007 thành tổng của 2 số chính phơng
-----------------------------------------------------------------------------------------
Xét 80 số có dạng a
n
= 787878 (1
80)n
gồm
n
số 78 viết liên tiếp
nhau.
Theo nguyên tắc Đirichlet tồn tại 2 số a
k
, a
t
mà a
k
- a
t
chia hết cho 79

(
1 80)t k <
với a
k
- a
t
=10
2t
.
k t
a

.
Do (10
2t
, 79) =1

k t
a

chia hết cho 79 (đpcm)
0,25đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2

ĐKXĐ:
1 1x

2 3 3
2
2
2. 1 1 ( (1 ) (1 ) )
2.
2 1
2 2 (1 )(1 ) ( 1 1 )(1 1 (1 )(1 ))
2 1
x x x
M
x
x x x x x x x x
x
+ +
= =
+
+ + + + + + +
= =
+
2
1 2 (1 )(1 ) 1 ( 1 1 )(2 (1 )(1 ))
2 1
x x x x x x x x
x
+ + + + + + +
=
+

0,25đ
0,25đ
0,25đ
2
( 1 1 ) ( 1 1 )
1 1 ( 1 1 )
( 1 1 )( 1 1 )
(1 ) (1 ) 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
= + + +
= + + +
= + + +
= + =
Vậy
2
2
2
M x x= =
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
3a)
------
3b)
01
22
=++

yxxyyx
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2( 1) 0 2 2 2 2 2 2 0
( 2 1) ( 2 1) ( 2 ) 0
( 1) ( 1) ( ) 0
x y xy x y x y xy x y
x x y y x xy y
x y x y
+ + = + + =
+ + + + + =
+ + =
Do
2
( 1)x
2 2
0;( 1) 0;( ) 0y x y
với mọi
, ,x y z Z
Nên
2 2 2
( 1) ( 1) ( ) 0x y x y + + =

1 0
1 0 1
0
x
y x y
x y

=


= = =


=

(thoả mãn)
KL: Vậy phơng trình có nghiệm
1x y= =
.
-----------------------------------------------------------------------------------------
ĐKXĐ:
2
1x x+
0
và
2
1x x + +
0
áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có :
2
2
( 1) 1
1
2
x x
x x
+ +

+
(1).
2
2
( 1) 1
1
2
x x
x x
+ + +
+ +
(2).
Cộng các vế của phơng trình (1) và (2) suy ra :
1x +
2
1x x+
+
2
1x x + +
=
2
2x x +
2
2
2
2 1
2 1 0
( 1) 0 1
x x x
x x

x x
+ +
+
=
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Thử lại : thấy
1x =
là nghiệm của phơng trình.
KL: nghiệm của pt là :
1x =
0,25đ
4
5a)
5b)
Do x>0, y>0 thoả mãn x+
1
y

1. Suy ra
2
1
(x+

1
y
)
2
1
4 4
4
x x y
y y x

Ta có
16 2006
x y
P
y x
= +
=
(16 ) 2005
x y y
y x x
+ +
16
2
xy
xy
+ 2005
y
x
=8 +
2005

y
x
Vì
4
y
x

8 2005.4 8028P
+ =
.
Vậy: Min
8028P =
4
1
2
1
2
y
x
x
x
y
y

=


=

=
=



----------------------------------------------------------------------------------------
Ta có:
AED
đồng dạng với
CDF

( vì chúng cùng đồng dạng với
BEF
) .
Suy ra
AE CD
AD CF
=

hay
AE AC
AC CF
=
. (Vì tam giác ABC đều)
Mặt khác
CAE FCA
=
nên

AEC

đồng dạng với
CAF

Do
AEC

đồng dạng với
CAF

Nên suy ra
ACE CFA
=
Do đó
ACM

đồng dạng với
AFC

.
Suy ra
AM AC
AC AF
=
hay
2
.AC AM AF=
2
. .AD AM AF =

0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
B
A
E D F
C
M