KINH NGHIỆM HƯỚNG dẫn học SINH GIẢI bài tập TÍCH PHÂN, dần HÌNH THÀNH HƯỚNG SUY NGHĨ, tìm tòi PHÁT HIỆN RA lời GIẢI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN

ĐỀ TÀI
KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN, DẦN
HÌNH THÀNH HƯỚNG SUY NGHĨ, TÌM TÒI PHÁT HIỆN RA LỜI GIẢI

Họ tên giáo viên: Mai Văn Tánh
Chức vụ: Tổ trưởng tổ Toán – Tin
Đơn vị công tác: Trường THPT Mai Anh Tuấn
SKKN thuộc môn: Toán học

Năm học : 2010 – 2011


Đề tài: Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải bài toán tích phân dần hình
thành hướng suy nghĩ, tìm tòi và phát hiện ra lời giải.
A. Đặt vấn đề
Trong toán học phổ thông có nhiều bài toán chưa hoặc không có thuật giải cụ thể,
gặp những bài toán đó học sinh thường lung túng không biết hướng suy nghĩ tìm tòi
lời giải. Đối với những bài toán như vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm tòi
để phát hiện ra lời giải, nhằm trang bị cho học sinh tri thức suy luận, tư duy sang
tạo trong giải toán. Chúng ta có thể thông qua những hướng dẫn giải bài toán “cơ
sở” có trong sách giáo khoa dần truyền thụ cho học sinh suy nghĩ phát hiện lời giải.
Định hướng từ bài toán “cơ sở” mà học sinh “suy luận”- “quy bài toán lạ” về “bài
toán quen” là tư duy phổ biến trong toán học; “quy lạ về quen” được là giải thoát
bế tắc, củng cố long tin cho học sinh học toán, say mê với toán và giải toán có hiệu
quả. Dạy và hướng dẫn học sinh giải toán tích phân ở cấp THPT chuyên ban, tôi đặt
câu hỏi: “Làm thế nào để giúp học sinh chủ động giải toán tích phân, học sinh tin
tưởng là giải được bài toán tích phân có trong sách giáo khoa, các bài toán tích
phân trong đề thi đại học?”.

Qua giảng dạy tôi đúc rút kinh nghiệm và trả lời:
Thứ nhất: Để giải toán tích phân học sinh phải nắm được các vi phân “cơ bản” từ
đơn giản đến phức tạp.
Ví dụ: - Các vi phân cơ bản
+) dx = d(x+b) =

1
d (ax + b) với a ≠ 0, b ∈ ℜ
a

+) d e x = d( e x +b) = e x dx
+) sinxdx = - d(cosx) = - d(cosx + b)
1
a

+) sinaxdx = − d (cos ax + b), (a ≠ 0, a, b ∈ R)
…
2


- Các vi phân phức tạp hơn
+)

+)
+)
+)

sin x
1
dx = d (

)
2
cos x
cos x

x
x +a
2

2

x
a −x
2

2

dx = d ( x 2 + a 2 )
dx = − d ( a 2 − x 2 )

dx
= d [ln( x + a )]
x+a

+) (1 −

1
1
)dx = d ( x + )
2

x
x

…

Thứ hai: Học sinh phải nắm được các nguyên hàm thường gặp và các tính chất của
nguyên hàm
Thứ ba: Học sinh phải nắm được các tích phân “cơ bản” và các cách tính các tích
phân này.(gọi là cơ bản vì các tích phân này là cơ sở như các phép toán + , - ,*, /
ban đầu học toán, dễ nhớ công thức tổng quát và dễ nhớ cách tính). Những bài toán
khác thường quy về đó để giải.
Thứ tư: Học sinh phải biết mỗi tích phân “cơ bản” có những cách tính nào phổ biến
nhất, mối cách tính đó có thuận lợi (ưu thế), khó khăn (nhược điểm) gì? từ đó học
sinh tự chọn cách giải phù hợp nhất cho bài toán mà học sinh đang giải.
Thứ năm: Để tạo niềm tin cho học sinh “bài toán này” có thể “phương pháp tích
phân đổi biến số - như thế nào cho thuận lợi” hay “tích phân từng phần” để quy về
tích phân “cơ bản”. Tức là khi đã quy về tích phân “cơ bản” thì coi như đã giải
xong.
Trang viết này trao đổi cùng đồng nghiệp, tôi không có ý thức tìm ra hay đưa ra
cách giải tổng quát cho một dạng toán tích phân cụ thể, hay nêu bài toán tổng quát
và lời giải tổng quát cho tích phân ấy, mà tôi chỉ giúp học sinh “định hướng cho
học sinh niềm tin, suy luận được, tìm tòi được , giải thoát được khó khăn để quy lạ
về quen” khi giải toán tích phân.
3


B. Giải quyết vấn đề
I. Phần lý thuyết
1. Những khái niện học sinh đã biết
- Vi phân

- Đạo hàm các hàm số thường gặp
- Bảng các nguyên hàm cơ bản, các tính chất của nguyên hàm, các tính chất của
tích phân
- Hai phương pháp đổi biến số để tính tích phân
- Phương pháp tích phân từng phần.
2. Phần bổ xung
2.1. Các vi phân cơ bản (Đã liệt kê ở trên)
2.2. Các tích phân “cơ bản” và các cách tính phổ biến (Với giả thiết hàm số dưới
dấu tích phân lien tục trong đoạn đang xét)
1) Tích phân C1 =

2) Tích phân C2 =

β

f ' ( x)
dx = ln
f ( x)

β

f ( x)

∫
α

∫α ( x − m)( x − n)dx

f ( x)

với bậc của f(x) nhỏ hơn hai

A

B

Cách tính: viết ( x − m)( x − n) = ( x − m) + ( x − n) (thì C2 quy về C1)
β

3) Tích phân C3 =

∫
α x

2

dx
(a>0)
+ a2

Cách tính: Đặt x = a.tant hoặc x = a.cott
β

4) Tích phân C4 =

f ( x)

∫
α ( x − m)( x − n)

f ( x)

A

2

dx với bậc của f(x) nhỏ hơn ba
B

C

Cách tính: Viết ( x − m)( x − n) 2 = ( x − m) + ( x − n) + ( x − n) 2
4


β

α
Tìm A, B, C là hằng số ( đưa về dạng C1 và I = ∫ X dx )
α

β

5) Tích phân C5 =

dx

∫
α

x2 − a2

Ở đây tôi đưa ra 5 cách giải
+) Cách 1: Đổi biến số x =

a
sin t

+) Cách 2: Đổi biến số x =

a
cos t

+) Cách 3: Đổi biến số t = ln( x + x 2 − a 2 )
+) Cách 4: Đổi biến số t = x + x 2 − a 2
1

+) Cách 5: Biến đổi

x −a
2

2

=

1
x − a và đổi biến t =
( x + a)
x+a

x−a
x+a

Dấu hiệu “thử” và chọn “cách tính” là học sinh phải đổi cận tích phân. Nếu đổi cận
không phức tạp thì chọn cách tính thích hợp.
β

6) Tích phân C6 =

∫
α

dx
x2 + a2

Ở đây tôi đưa ra 5 cách giải
+) Cách 1: Đổi biến số x = a tan t
+) Cách 2: Đổi biến số x = a cot t
+) Cách 3: Đổi biến số t = ln( x + x 2 + a 2 )
+) Cách 4: Đổi biến số t = x + x 2 + a 2
+) Cách 5: Đổi biến số x 2 + a 2 = a + tx
β

7) Tích phân C7 =

∫
α

x 2 + a 2 dx

5


Tôi đưa ra 4 cách giải sau:
+) Cách 1: Đổi biến số x = atant
+) Cách 2: Đổi biến số x = acott
x

dx
u = x 2 + a 2
du =
⇒
x2 + a2
+) Cách 3: Tích phân từng phần 
dv = dx

v = x
2 β β
Thì C7 = x x + a α − ∫

x

2

2

2

α x +a

Tính

2
β
x
dx
∫
2
2
α x +a

2

dx

β x2 + a2 − a2
β
β
dx
2
2
2
dx
=
x
+
a
dx
−

a
∫
∫
= ∫
= C7 – a2C6
2
2
2
2
x +a
α
α
α x +a

(Đã quy về C6 ). Học sinh lựa chọn cách tính C6.
+) Cách 4: Đổi biến số t = x + x 2 + a 2
8) Tích phân C8 =

β
dx
∫
2
2
α a −x

Tôi đưa ra hai cách giải sau
+) Cách 1: Đổi biến số x = asint
+) Cách 2: Đổi biến số x = accost
β 1
dx

9) Tích phân C9 = ∫
sin
x
α

Tôi đưa ra các cách đổi biến sau:
+) Cách 1: Đặt

t = tan

x
⇒ dt =
2

1

dx
x
2
cos 2
2

+) Cách 2: Vi phân trực tiếp C9 =

x
d (tan )
β
β
1
2 = ln tan x β

dx = ∫
∫
x
x
2 α
α 2 tan
α tan
2
2
x
2
1 + tan
2

6


+) Cách 3: C9 =

β 1
β sin x
β d (cos x )
dx = ∫
dx = − ∫
∫
2
2
α sin x
α 1 − cos x
α 1 − cos x

+) Cách 4: Đặt t = tan
β

C9 =

∫
α

(Đưa về cách tính C3)

x
2t
và thay sin x =
thì đưa về tích phân dạng
2
1+ t2

dt
t

10) Tích phân C10 =

β 1
dx
∫
3
sin
x
α

β

β
sin x
d (cos x)
+) Cách 1: C10 = ∫ 4 dx = − ∫
2
2
α sin x
α (1 − cos x )

1

A

B

C

D

Đổi biến số t = cos x thì (1 − t 2 ) 2 = 1 − t + (1 − t ) 2 + 1 + 1 + (1 + t ) 2 (tìm A, B, C, D theo
phương pháp hệ số bất định).
β

+) Cách 2: Tích phân từng phần C10 =

1

∫
α sin

2

1
dx
x sin x

1

cos x

u = sin x
du = − 2 dx
⇒
sin x
Đặt 
1
dv =

dx v = − cot x

sin 2 x
thì C10 = −

cos x
sin 2 x

β

α

β

1 − sin 2 x
dx = M − C10 + C 9
3
sin
x
α

−∫

11) Tích phân C11 =

Ta có C11 =

β 1
dx
∫
3
α cos x

β cos x
β d (sin x)
dx = ∫
∫
4
2 2
α cos x

α (1 − sin x )

Cách 1: Đổi biến số: t = sinx và viết
1
1
A
B
C
D
=
=
+
+
+
2 2
2
2
2
(1 − t ) (1 − t )
(1 + t ) (1 + t ) 2
(1 − t )
(1 − t ) (1 + t )

7


3

4

(Dạng C – C , A=B=C=D=1/4)
Cách 2: Tích phân từng phần
1

u
=

cos x

dv = 1 dx

cos 2 x
10

12

Với cách này tương tự như cách tính C ta cũng quy đưa về tích phân C sau
12) Tích phân C12 =

+) Cách 1: Đặt t = tan

β

1

∫α cos x dx

x
1− t2
thay cos x =

thì sẽ quy C12 về cách tính tích phân dạng
2
1+ t2

n

1
dt (là tích phân dạng C2)
2
m1− t

C12 = ∫

β

+) Cách 2: Biến đổi C12 =

d (sin x)
2
x

∫
α 1 − sin

Đặt t = sinx thì cũng đưa về dạng C2 quen thuộc
x π
x π
1 + tan 2 ( − )
))
β d (tan( −

2
4
2
4
=−∫
dx = − ∫
+) Cách 3: Biến đổi C12 = − ∫
π
x π
x π
α sin( x −
α
α
)
2. tan( − )
tan( − )
2
2 4
2 4
β

β

dx

x π
= − ln tan( − )
2 4
β

13) Tích phân C13 =
β

Cách tính: C13 =

∫
α

∫
α

mx + n
ax + bx + c
2

β
α

mx + n
ax 2 + bx + c
β

dx = A.∫
α

dx

(a>0, m ≠ 0 )

d (ax 2 + bx + c )

ax + bx + c
2

β

+ B.∫
α

dx
ax + bx + c
2

8


Tìm A, B bằng phương pháp hệ số bất định
Thì C11 được quy về dạng quen thuộc.
II. Bài tập áp dụng và ví dụ minh họa
1

Bài toán 1. Tính I1 =

dx

∫ ( x + 1)
0

x2 +1

1

t

Cách 1: +) Đổi biến x + 1 = ⇒ dx = −

1
dt
t2

Đổi cận x = 0 thì t = 1, x = 1 thì t = ½
1
2

+) Ta có I1 = -

∫
1

dt
2t 2 − 2t + 1

=

2
2

1

∫
1
2

dt
1
1
(t − ) 2 +
2
4

(*)

(Tích phân (*) có dạng C6 )

dt

du =
1
1 2 1
+) Đổi biến số u = ln (t − ) + (t − ) +  thì
1 2 1
(
t
−
) +
2
2
4


2
4

+) Đổi cận t =
1 1
ln( +
)
2 2

Khi đó I1 =

2
.
2

∫

ln

1
1
1
1
⇒ u = ln , t = 1 ⇒ u = ln( +
)
2
2
2
2

du =

1

2

2
ln(1 + 2)
2
π π
2 2

Cách 2: Đổi biến số x = tan t , t ∈ (− ; )
+) Vi phân dx =

1
dt
cos 2 t

+) Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t =

π
4

t π
(1 + tan 2 ( + ))dt
dt
2
dt
2
2 8
=
=
+) Khi đó I1 = ∫

∫
∫
π
t
π
sin
t
+
cos
t
2
2
0
0 sin(t +
0
)
2 tan( + )
4
2 8
π
4

π
4

π
4

9

t π
d (tan( + ))
π
2
2 8 = 2 ln(tan( t + π )) 4
ln(1 + 2 )
0 =
∫0
t π
2
2 8
2
2 tan( + )
2 8

π
4

2
=
2

Nhận xét : Cách giải 2 thuận lợi hơn do đổi biến số x = tant quen thuộc.
Bài toán 2: Tính I2 =

2 3

dx

∫

x x2 + 4

5

Cách 1: Đổi biến số

t = x2 + 4 ⇒ t 2 = x2 + 4

+) Vi phân tdt = xdx
+) Đổi cận x = 5 ⇒ t = 3, x = 2 3 ⇒ t = 4
4

+) Khi đó I2 =

∫t

2

3

4

dt
−4

(Có dạng C2)

4

dt
1
1
1
1 5
= ∫[
−
]dt = ln
Có I2 = ∫ 2
4 3 t−2 t+2
4 3
3 t −4

π π
2 2

Cách 2: Đổi biến số x = 2 tan t , t ∈ (− ; )
+) Vi phân dx =

2
dt
cos 2 t

+) Đổi cận x = 5 ⇒ tan t1 =
+) Khi đó

I2 =

π

3

5
π
,x = 2 3 ⇒ t =
2
3

dt

( Có dạng C9)

∫ sin t

t

t
(1 + tan 2 )dt
dt
1
1
t
2
= ∫
= ln tan
I2 = ∫
t
sin t 2 t
2
2

t
tan
2
π
3

π
3

t
2

Tính tan 1 , từ tan t1 =
Vậy

1
2

π
6

π
3
t1

1
t
5
2X
2

=
, tan 1 > 0, X 1 = −
< 0 (loại), X 2 =
(nhận)
2
5
2 1− X
2
5
t
2

1
2

I2 = [ln tan − ln tan 1 ] = (ln

1
3

− ln

1
5

)=

1 5
ln
4 3

10


2 3

∫

Cách 3: - ) Viết lại I2 =

x

5

+) Đổi biến số

xdx
x2 +1

2

(do x > 0)

t = x2 + 4

dt
2

+) Vi phân xdx =

+) Đổi cận x = 5 ⇒ t = 9, x = 2 3 ⇒ t = 16
16

1
dt
Khi đó I2 = ∫
2 9 (t − 4) t

-) Lại đổi biến số u = t ⇒ u 2 = t ⇒ dt = 2udu
+) Đổi cận t = 9 ⇒ u = 3, t = 16 ⇒ u = 4
4
du
Khi đó I2 = ∫ 2
(đây là kết quả cách 1)
3 u −4
Cách 4: +) Đổi biến số x =
+) Vi phân dx = −

1
t

1
dt
t2

1

+) Đổi cận x = 5 ⇒ t =
1
t2

dt =
Khi đó I2 = − ∫
1
1 1
+4
5
t t2
1

5

;x = 2 3 ⇒ t =

1
2 3

1

2 3

5

∫
1

dt
1 + 4t 2

(đến đây ta đã đưa được về dạng C6)

2 3

+) Đặt u = ln(2t + 1 + 4t 2 )

2dt

+) Vi phân du =
+) Đổi cận t =

1 + 4t 2
1

2 3

⇒

dt
1 + 4t 2

⇒ u = ln 3; t =

=

du
2

1
⇒ u = ln 5
5

1 ln 5
1 5
Khi đó I2 = ∫ du = ln
2 ln 3
4 3

Nhận xét:
11


-

Cách 1: thuận lợi hơn, đổi cận dễ, tính tích phân nhanh
Cách 2: quen thuộc , đổi biến số hai lần, đổi cận phức tạp
Cách 3: đổi biến số hai lần
Cách 4: đổi biến số hai lần ở dạng quen thuộc.

Cả ba cách đều có niềm tin quy lạ về quen.
2

Bài toán 3. Tính I3 =

∫x
1

dx
x2 +1

4

Cách 1: +) Đổi biến số x =
+) Vi phân dx = −

1
t

dt
t2

+) Đổi cận x = 1 ⇒ t = 1, x = 2 ⇒ t =
1

Khi đó I3 =

∫
1
2

t3
t2 +1

1
2

dt

+) Đổi biến số u = t 2 + 1 ⇒ u 2 = t 2 + 1
+) Vi phân tdt = udu
+) Đổi cận t =
2

Thì

I3 =

∫ (u
5
2

2

1
5
⇒u =
,t = 1 ⇒ u = 2
2
2

− 1)du =

7 5 −8 2
24

Nhận xét: Cách giải 1 đổi biến số đi đến I3 =

1 t3
dt
∫
1 t2 +1
2

π

3
π π
4
mà đổi biến số x = tan t , t ∈ (− ; ) thì đi đến tích phân I3 = ∫ sin t dt . Đây là tích
2 2
t1 cos 4 t

phân khá phức tạp (tant1 = 1/2).
Cách 2: +) Đổi biến số t 2 =

1+ x2
1
⇒ x2 = 2
2
x
t −1

12


tdt

+) Vi phân xdx = − (t 2 − 1) 2
+) Đổi cận x = 1 ⇒ t = 2 , x = 2 ⇒ t =

5
2

Khi đó
2

2

dx

I3 = ∫ x 4 x 2 + 1 = ∫
1
1

xdx
x6

x +1
x
2

=

5
2

5
2

(t − 1)
− tdt
7 5 −8 2

. 2
= − ∫ (t 2 − 1)dt =
2
t
24
(t − 1)
2
2
2

∫

3

Nhận xét: Cách giải 2 học sinh phải biết tích phân dạng tổng quát
β

I = ∫ x m (a + bx n ) p dx (với m = -4, n = 2, p =
α

1 m +1
,
+ p = −2 ∈ Z ) thì việc đổi biến số
2 n

của cách 2 mới không lạ. Do vậy việc giải theo cách 1 là thuận lợi hơn, tự nhiên
hơn với đa số học sinh.
8

Bài toàn 4. Tính

I4 =

ln x

∫

x +1

3

dx

Cách 1: Tích phân từng phần
dx

u = ln x

 du =
x
dx ⇒ 
+) Đặt 
dv
=

x + 1 v = 2 x + 1

8

+) Khi đó I4 = 2 x + 1 ln x − 2∫

3
1

3

8

+) Quy về tính I =

∫
3

x +1
dx
x

x +1
dx (là dạng tích phân quen thuộc)
x

+) Đổi biến số t = x + 1 ⇒ t 2 = x + 1
+) Vi phân dx = 2tdt
+) Đổi cận x = 3 thì t = 2, x = 8 thì t = 3
3

3

t2
1
Khi đó I = 2 ∫ 2 dt = 2∫ (1 + 2 )dt (là tích phân hữu tỉ quen thuộc dạng C2)

t −1
2 t −1
2

13


Cách 2: +) Đổi biến số t = x + 1 ⇒ t 2 = x + 1
+) Vi phân dx = 2tdt
+) Đổi cận x = 3 thì t = 2, x = 8 thì t = 3
3

Khi đó I4 = 2 ∫ ln(t 2 − 1)dt (là dạng quen thuộc đối với học sinh)
2

Sử dụng tích phân từng phần
2tdt

u = ln(t 2 − 1) du = 2
⇒
t −1
+) 
dv = dt

v = t
3

t2
+) Thì I4 = 2[ t ln(t − 1) − 2∫ 2 dt ]
2 t −1

2

3
2

3

(Việc tính I =

t2
∫2 t 2 − 1 dt không có khó khăn đối với học sinh)
3

Bài toán 5. Tính I5 =

5x − 3

∫

2x 2 + 8x + 1

2

Cách giải: Viết

5x − 3

= A.

2 x + 8x + 1

2

dx

(2 x 2 + 8 x + 1)'
2x + 8x + 1
2

+B

1
2 x + 8x + 1
2

Ta tìm được A = 5/4, B = -13
3

3

5 d (2 x 2 + 8 x + 1)
dx
− 13∫
Khi đó I5 = ∫
4 2 2 x 2 + 8x + 1
2 x 2 + 8x + 1
2

(*)
b

α
Nhận xét: Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân (*) vvề dạng quen thuộc ∫ x dx,
a

β

(dạng C1) và dạng

∫

α

Bài toán 6. Tính I6 =

dx
x2 − a2
π
4

∫
0

(dạng C5).

1
tan x + 4
2

dx

(Dạng toán đổi cận có hỗ trợ máy tính cầm

tay)
14


Giải: Biến đổi I6 =

π
4

∫
0

Cách 1: +) Đặt

cos x
4 − 3 sin 2 x

dx

t = 3 sin x ⇒ dt = 3 cos xdx

+) Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x =
Khi đó I6 = 1

3

6
2

∫
0

dt
4−t

π
6
⇒t =
4
2

(ta đã đưa được về dạng C8)
2

π π
2 2

+) Đổi biến số t = 2 sin ϕ , ϕ ∈ [− ; ]
+) Vi phân dt = 2 cos ϕdϕ
+) Đổi cận t = 0 ⇒ ϕ = 0; t =
Khi đó I6 =

1

ϕ1

∫ dϕ =
3

0

1
3

6
6
⇒ ϕ = ϕ1 trong đó sin ϕ1 =
2
4

ϕ1 (sin ϕ1 =

6
)
4

Để tính giá trị này học sinh phải có sự hỗ trợ của máy tính cầm tay.
1

π
4

Cách 2: Biến đổi I6 = 2 ∫
0
+) Đổi biến số sin t =

cos x
3
1 − sin 2 x

4

dx

3
3
sin x ⇒ cos tdt =
cos xdx
2
2

+) Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x =

π
6
⇒ t = t1 trong đó sint1 =
gặp tích phân kiểu I6
4
4
β

học sinh phải biến đổi về dạng quen thuộc C8 =

∫
α

f ( x)
a2 − x2

dx và giải như trên thì đỡ

gặp khó khăn.
Khi đó I6 =

1

t1

t

cos t
1 1
1
dt =
dt =
t
∫
∫
3 0 cos t
30
3

t1
0

=

1
3

t1

(sin t1 =

6
)
4

15


Học sinh phải có sự hỗ trợ của máy tính cầm tay
Nhận xét: - Tích phân I6 tính trực tiếp hay thay tanx =

2t
dẫn tới tích phân phức
1− t2

tạp
- Khi gặp tích phân kiểu I6 học sinh phải biến đổi về dạng cơ bản

C8=

và giải như trên thì đỡ gặp khó khăn.
1

x 5 − 2011x

0

( x 2 + 1) x 2 + 1

Bài toán 7: Tính I 7 = ∫

dx .

Hướng giải:
Cách 1: Đổi biến số t = x 2 + 1 thì x2 = t2 – 1. xdx=tdt
+ Đổi cận: x = 0 thì t = 1, x = 1 thì t =

2

t 4 − 2t 2 − 2011
dt
+ Đi đến tích phân I 7 = ∫
t2
0
1

(a)

t 4 − 2t 2 − 2011
dt là không khó)
(Việc tính tích phân I 7 = ∫
t2
0
1

Cách 2: Đổi biến số t = x 2 + 1 thì dt = 2xdx
+ Đổi cận: x = 0 thì t = 1, x = 1 thì t = 2

t 2 − 2t − 2011
dt
+ Đi đến tích phân I 7 = ∫
t 3/2
0
1

(b)

Nhận xét: (Việc tính I7 (b) khó hơn I7 (a))

π π
Cách 3: + Đổi biến số x= tan ϕ ,ϕ ∈ (− ; )
2 2
+ dx = (1+ tan2 ϕ )

16


Đổi cận x = 0, thì ϕ = 0, khi x = 1thì
π

4
π π
sin 5 ϕ
ϕ ∈ (− ; ) ⇒ I 7 = ∫ ( 4 − 2011sin ϕ )dϕ (c)
2 2
0 cos ϕ

Cách 4: Biến đổi

x 5 − 2011x

x 4 − 2011x

( x 4 − 2011)
2
dx
=
dx
=
d
(
x
+ 1)
2
x +1
( x 2 + 1) x 2 + 1
( x 2 + 1) x 2 + 1
1
2010
 ( x 2 + 1) 2 − 2 x 2 − 2011 
2
=
d
(
x
+
1)
⇒
I

=
( x 2 + 1 − 2 − 2 )d x 2 + 1 (d )
7
∫
÷
2
x +1
x +1
0



Nhận vét: Việc tính I7, tôi hướng dẫn học trò làm 4 cách trên. Cách 1 và cách 2
tương tự nhau, có thuận lợi hơn, đổi cận dễ, tính nguyên hàm không phức tạp.
Cách 3, đổi biến số x= tan ϕ (là truyền thống), có dạng tích phân C6, song đi đến
tính nguyên hàm của hàm số lượng giác là không dễ.
Cách 4, Củng cố “thói quen” khi đi tính tích phân học sinh thường phải biến đổi
biểu thức dưới dấu tích phân ." Với cách này học sinh phải nắm chắc “vi phân” .
Cả bốn cách giải trên đều đi đến kết quả mong muốn, song cách 1 là thuận lợi hơn
cả.
C. Kết luận
- Mâu thuẫn là động lực của phát triển, mâu thuẫn giữa nhu cầu nhận thức và tri
thức kĩ năng còn hạn chế là động lực thúc đẩy nhận thức của học sinh.
- Con người bắt đầu tư duy tích cực nảy sinh nhu cầu tư duy, khi có nhu cầu hiểu
biết, khi có niềm tin và niềm say mê, hứng thú thì quá trình nhận thức có hiệu quả.
- Hiệu quả giáo dục đạt được cao hơn khi quá trình đào tạo biến thành tự đào tạo
- Đáp ứng nhu cầu của đại đa số học sinh tôi đã thông qua một số bài toán cụ thể,
hướng dẫn cho học sinh giải, thực hành bằng nhiều chách khác nhau của một bài
toán để học sinh phát hiện và xây dựng , lựa chọn cách giải phù hợp nhất cho bài
toán tích phân có trong chương trình sgk cũng như giúp các em giải các bài toán

tích phân trong đề thi đại học.
17


Thực tế kết quả tốt, thể hiện qua khảo sát thực hiện ở hai lớp có kết quả tiến bộ rõ
rệt.
Điểm giỏi Điểm khá
Điểm TB
Điểm kém Ghi
% ∑
%
%
%
∑
∑
số ∑
chú
2008-2009 12G 53 16 30,2 19 35,8 11 20,8
7
13,2
2009-2010 12B 48 17 35,4 21 43,8
6
12,5
4
8,3
2010-2011 12A 53 24 45,3 26
49
3
5,7
0

0
-Tuy nhiên tổng thời lượng cho kiến thức phần nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Năm

Lớp

Sĩ

là 11 tiết là quá ít, do nhu cầu giảm tải. Song thực tế mà người học phải giải quyết
các bài tập trong sgk và tiếp cận các đề thi đại học là không thể thiếu, do vậy giáo
viên cần thiết phải hướng dẫn cho học sinh phương pháp tìm tòi cách giải và có
niềm tin khi giải toán tích phấn.
D. Kiến nghị
Trong chương trình nên có sự thống nhất “chuấn” các vi phân, tích phân “cơ bản”
ngoài bảng nguyên hàm mà sách đã trình bày, thì định hướng cho học sinh nội dung
kiến thức cần phải nhớ, cần rèn luyện và những bài toán tích phân trong sgk học
sinh phải giải được cũng như giải được các bài toán tích phân trong đề thi đại học.
Do thời gian có hạn, kinh nghiệm của tôi hướng dẫn cho học sinh tìm tòi những
cách giải khác nhau của một bài toán tích phân cụ thể, để:
1) Học sinh chủ động giải toán, qua mỗi cách giải tự nhận ra khó khăn(hạn
chế), thuận lợi(ưu thế) của mỗi cách giải mà lựa chọn một cách giải thích hợp nhất
cho một bài toán.
2) Học sinh biết những dạng tích phân “cơ bản” để khi giải bài toán tích phân
cụ thể “ biết quy lạ về quen”.
3) Khi đã “quy lạ vè quen” các em có long tin, say mê, ham học hơn.
Trao đổi với đồng nghiệp tôi không có ý thức nêu bài toán tổng quát và cách giải
tổng quát cho một bài toán tích phân. Do vậy mong được sự góp ý xây dựng của
đồng nghiệp để kinh nghiệm giầu hơn, giúp học sinh học tốt hơn về toán tích phân.
Nga sơn, ngày 27/05/2011
18

Người thực hiện
Mai Văn Tánh

19