Sáng kiến kinh nghiệm về giúp học sinh lớp 11 tự tin giải bài tập giới hạn

MỘT VÀI KINH NGHIỆM
GIÚP HỌC SINH KHỐI 11
TỰ TIN GIẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ


MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Mơn Tốn trong trường phổ thơng giữ một vai trị, vị trí hết sức quan
trọng, là môn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho hầu hết các môn học khác
trong trường phổ thông như: Lý, Hóa, Sinh, Văn………Như vậy, nếu học tốt
mơn Tốn thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc
trong Tốn sẽ trở thành cơng cụ để học tốt những mơn học khác.
Mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho
học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng tốn học cần thiết, mơn Tốn cịn rèn
luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận,
chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm
mĩ.
Thực tế trong nhà trường THPT hiện nay, đặc biệt là những trường
vùng ven không nằm trong nội ô thành phố như trường THPT Thanh Bình 1
thì chất lượng học tập mụn Toỏn ca hc sinh cũn thp, hầu hết các em sợ

học môn toán.
Qua 5 nm ging dy tụi nhn thấy học sinh khối 11 khi học chương
giới hạn, đặc biệt là phần bài tập về giới hạn của hàm số thì các em rất khó
tiếp thu và áp dụng mà bài tập về giới hạn hàm số lại luôn có mặt trong đề
các đề thi học kì, đề thi đại học và cao đẳng
Vì vậy để giúp học sinh khối 11học tốt phần bài tập giới hạn hàm số
tôi đã chọn đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải bài
tập giới hạn của hàm số ”.
2.Mục đích nghiên cứu:
Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học

tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ và phân loại được các dạng bài


tập giới hạn hàm số. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong
các tiết học.
3.Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh khối 11 trường THPT Thanh Bình 1
4.Giới hạn của đề tài:
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 11. Vì vậy tơi chỉ tập trung vào
vấn đề “Giúp đỡ học sinh học tốt phần bài tập giới hạn hàm số trong chương
trình lớp 11”.
5.Nhiệm vụ của đề tài:
Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt phần bài tập giới hạn hàm số trong
chương trình. Nắm vững và phân dạng được từng loại bài tập giới hạn hàm,
đảm bảo tốt kiến thức phần bài tập giới hạn hàm trong các kỳ thi học kì, thi
đại học và cao đẳng
Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng
đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường
THPT.
6.Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong q trình nghiên
cứu tơi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài.
Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).
Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, ……………….)
Phương pháp thực nghiệm.
7.Thời gian nghiên cứu:
Năm học 2011-2012.

NỘI DUNG
Chương I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ PHÁP LÝ CỦA ĐỀ TÀI
1/ Cơ sở lý luận:
2/ Cơ sở pháp lý của đề tài:
- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa, định lí đã học trong chương
trình tốn trung học phổ thông
- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới q trình
giải bài tập


- Dựa trên những kết quả đúng đắn và những chân lí hiển nhiên hay đã
được chứng minh, thừa nhận.

Chương II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI:
1.Thời gian và các bước tiến hành:
Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2012-213.
2.Khảo sát chất lượng đầu năm:
Thông qua bài khảo sát chất lựơng đầu năm tôi thu được kết quả như
sau:
Trên trung bình 18%.
3.Tìm hiểu ngun nhân dẫn đến kết quả trên:
Tơi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp. Vì vậy việc lĩnh hội
kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh địi hỏi nhiều cơng sức và thời
gian.Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ:
- Các em cịn lúng túng trong việc tìm ảnh của một hình qua một phép
biến hình.
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lơgíc cịn hạn chế.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học mơn hình học.

Đây là mơn học địi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Thực sự là
khó khơng chỉ đối với HS mà cịn khó đối với cả GV trong việc truền tải
kiến thức tới các em.Hơn nữa vì điều kiện kinh tế khó khăn, mơi trường giáo
dục, động cơ học tập,… nên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học
sinh. Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên
chưa xác định được động cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng to lớn của
mơn hình học trong đời sống.


Đây là năm đầu tiên đổi mới phương pháp dạy học ở lớp 11 nên
phương tiện dạy học chưa đầy đủ.
Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để
có biện pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá
giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu kém. Việc này cần thực hiện ngay trong từng
tiết học, bằng biện pháp rèn luyện tích cực, phân hố nội tại thích hợp.
Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp
giúp đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu
chung của tiết học, học sinh khá không nhàm chán.

Chương III: Giải quyết vấn đề:
I/ Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan:
A-KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa giới hạn của hàm số:
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có
giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn ∈ K và xn ≠ a ,

∀n ∈ ¥ * mà lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: lim  f ( x )  = L .

x →a 

2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:
a. Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.

( )

( )

b. Định lý 2:Nếu các giới hạn: lim  f x  = L , lim  g x  = M thì:


x →a 
x →a 

lim  f ( x ) ± g ( x )  = lim  f ( x )  ± lim  g ( x )  = L ± M
 x →a 
 x →a 

x →a 
lim  f ( x ) .g ( x )  = lim  f ( x )  .lim  g ( x )  = L .M
 x →a 
 x →a 

x →a 
f ( x ) lim  f ( x )  L
=
lim
= x →a 
,M≠0
x →a g x

( ) lim  g ( x )  M

x →a 
lim f ( x ) = lim  f ( x )  = L ; f ( x ) ≥ 0, L ≥ 0

x →a
x →a 


c) Nguyên lý kẹp: Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng
K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x ∈ K , x ≠ a và

lim  g ( x )  = lim  h ( x )  = L ⇒ lim  f ( x )  = L .






x →a

x →a

x →a

2. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) =
a , đều có lim[f(xn)]= ∞ thì ta nói f(x) dần tới vơ cực khi x dần tới a, kí
hiệu: lim  f ( x )  = ∞ .


x →a 

b) Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = ∞ đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói
f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vơ cực, kí hiệu: lim  f ( x )  = L .

x →∞ 

c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn
> a ∀n ∈ ¥ * , thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :

lim  f ( x )  . Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a ∀n ∈ ¥ * thì



x →a+

lim 
ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: x →a−  f ( x ) 

B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TỐN
Trong q trình giải bài tập giới hạn của hàm số ta thường gặp 3 trường
hợp tìm giới hạn cơ bản sau:
Một là : Giới hạn của hàm số tại một điểm: lim  f ( x ) 

x →a 
Hai là: Giới hạn vô cực của hàm số : xlim  f ( x ) 

→±∞ 

lim 

Ba là: Giới hạn một bên của hàm số: x →a+  f ( x )  , x →a−  f ( x ) 
 lim 

Hiển nhiên lý do tôi phân thành 3 trường hợp cơ bản vì lúc này tơi
khơng xét tính chất của hàm số mà chỉ nhận dạng trường hợp bằng cách
nhìn vào giá trị mà x đang tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới
hạn trái, giới hạn phải)
Trong mỗi trường hợp nêu trên lại chia ra từng dạng bài tập nhất
định.Ở đây tôi sẽ khái quát quá trình giải bài tập giới hạn hàm số theo sơ
đồ tư duy sau:


ĐỀ BÀI
Quan sát
chia trường
hợp
Giới hạn vô cực

Giới hạn tại một điểm:

Giới hạn một bên

Dạng 2:()

Dạng 1:

Dạng3:
Dạng 1:Tính
trực tiếp

Dạng 3:()

Dạng:

0
÷
0

Dạng 2 

lim f ( x ) = f (a)
x →a

lim
x→
a

f ( x)
g( x)

Sau đây tơi sẽ trình bày phương pháp chung để giải từng dạng bài tập đã nêu trong
sơ đồ tư duy

• KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM

( )

CỦA HÀM SỐ: lim  f x 

x→ a 

Dạng 1: lim f ( x ) = f (a)
x→
a
Phương pháp:
Thay a trực tiếp vào biểu thức f(x). Kết luận:

lim f ( x ) = f (a)
x →a

Ví dụ 1:Tính các giới hạn sau:
1/. Lim
x →2

( 2 x + 3)

x −1
3/. Lim
x→3 x + 2
1/ Lim( 2 x + 3 ) = 2.2 + 3 = 7
x →2
2 / Lim (
x→ 2
−

3 / Lim
x→
3

2
2/. Lim ( x + 5 − 1)

x→−2

.

 2x 2 + 3x +1 
4/ Lim  2
÷
x→-1 -x + 4x + 2


BÀI GIẢI

x 2 +5 − = ( − 2 +5 − =2
1)
2)
1

x −1
3 −1
2
=
=
x +2 3 +2 5

 2 x 2 + 3 x + 1  2.( − 1) 2 + 3.( − 1) + 1 0
=
=

=0
4/ Lim 
x→−1 − x 2 + 4 x + 2  − ( − 1) 2 + 4 ( − 1) + 2
−3


Bài tập tương tự:
Bài tập 1:Tính các giới hạn sau:
2
1. lim(x + 2x+1)
x → -1

x +1
4. lim
;
x → 2x - 1
1
f ( x)
g( x)

2. lim(x + 2 x +1)
x →1

3. lim ( 3 - 4x )
x→
3

2

x 2 + x +1

5. lim
x →-1 2x 5 + 3

0
→  ÷. (ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào f(x) và
x →a
0
f ( x)
0
g(x). Ta thấy f(x)=f(a)=0, g(x)=g(a)=0. nên lim
lúc này có dạng  ÷.
x →a g ( x )
0
Dạng 2: lim

Phương pháp:
Phương pháp 1:Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức ta có thể chia tử số và
mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2.
Chú ý 1:


• Nếu f ( x ) = ax 2 + bx + c có 2 nghiệm x1 , x2 thì ta phân tích
f ( x ) = ax 2 + bx + c = a( x − x1 )( x − x2 )
• Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

A2 − B 2 = ( A − B ) ( A + B )

(
= ( A + B) ( A

A3 − B 3 = ( A − B ) A2 + AB + B 2
A3 + B 3

2

− AB + B 2

)
)

Phương pháp 2: Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và
mẫu cho các biểu thức liên hợp
Chú ý 2: Các biểu thức liên hợp thường gặp

a −1
a +1
a −1
2/ a +1 =
a −1
a−b
3/ a − b =
a+ b
a−b
4/ a + b =
a− b

1/ a − 1 =

5/ 3 a − 1 =
6/ 3 a +1=

a −1
3

a2 + 3 a + 1
a −1

a2 − 3 a + 1
a−b
7/ 3 a − 3 b =
3 2
a + 3 ab + 3 b 2
a+b
8/ 3 a + 3 b =
3 2
a − 3 ab + 3 b 2
3

Ví dụ 2:Tính các giới hạn sau:

 x+3 
1/Lim  2
x→3  x + 2 x − 3 ÷


 x2 + 2x − 3 
2 / Lim  2
x→1 2 x − x − 1 ÷



 x2 + x − 2 
3/ Lim 
÷
2
x→1
 x −1 

( 1+ x)
4 / Lim

4x


5/ Lim 
x→0  9 + x − 3 ÷

7 / Lim
x→1

x→0

6 / Lim
x →2

x+2 −2
x+7 −3
Bài giải.

3

−1

x

2x − 2
x−2


x+3
1
−1
 x+3 
1/ Lim  2
= Lim
=
÷= Lim
4
x→−3  x + 2 x − 3 
x→−3 ( x − 1) ( x + 3 )
x→−3 x − 1
 x2 + 2 x − 3 
( x − 1) ( x + 3) = Lim x + 3 = 4
2 / Lim  2
÷ = Lim
x→1 2 x − x − 1

 x→1 2( x − 1)( x + 1 ) x→1 2( x + 1 ) 3
2
2

 x2 + x − 2 
( x − 1) ( x + 2 ) = Lim x + 2 = 3
3/ Lim 
÷ = Lim
2
x→1
 x − 1  x→1 ( x − 1) ( x + 1) x→1 x + 1 2

( 1+ x)
4 / Lim

3

( 1 + x − 1) ( 1 + x )


−1

2

= Lim
x →0
x
x
2
x( x + 3x + 3)
= Lim
= Lim ( x 2 + 3 x + 3) = 3
x→0
x→0

x
x→0

4x


5/ Lim 
= Lim
x→0  9 + x − 3 ÷ x→0

= Lim

4x

(

x→0

9+ x +3
x

2x − 2
6 / Lim
= Lim
x →2 x − 2
x →2

(

2( x − 2)

= Lim

( x − 2) (

x →2

2x + 2

)

4x

(

2x − 2

( x − 2) (

9+ x +3

9+ x −3

) = Lim 4
x→0

(

)(

= Lim
x →2

(

+ ( 1 + x ) + 1


)(

)

9+ x +3

)

= Lim
x→0

x→1

x→1

(

9+ x +3

9+ x−9

)

9 + x + 3 = 24
2x + 2
2x + 2

)

) = Lim
x →2

2x − 4

( x − 2) (

2x + 2

2
1
=
2x + 2 2

( x + 2 − 2 ) ( x + 2 + 2 ) ( x + 7 + 3)
( x + 7 − 3) ( x + 7 + 3) ( x + 2 + 2 )
( x − 2 ) ( x + 7 + 3)
x+7 +3 6 3
= Lim
= Lim
= =
x+2+2 4 2
( x − 2) ( x + 2 + 2)

7 / Lim

4x

x+2 −2
= Lim
x + 7 − 3 x→1

x→1

Bài tập tương tự:
Bài tập 2:Tính các giới hạn sau:

)

)


1/ Lim
x→3

x 2 + 2x - 15
x-3

8/ Lim
x→0

2x 2 + 3x+1
x2 - 1

x − 2x −1
9/ Lim
x→1 x 2 − 12 x + 11

2/ Lim
x→-1

8 x3 − 1
3/ Lim
2
x→ 1 6 x − 5 x + 1
2
3
( x+ 3 ) − 27
4/
Lim
x
x→0

10/ Lim
x→1

6/

Lim
x→0

2x −1 − x
x −1

x +1 −1
11/ Lim
x→0 3 − 2 x + 9
12/ Lim
x→1

1+ 2x − 1
2x

2 x + 2 − 3x + 1
x −1

13/ Lim
x→1

x-5
Lim
x→5 x − 5

5/

x+4 −2
x

x+3 −2
x −1

x-3
7/ Lim

2 + 2 x − 15
x→3 x

14/ Lim
x→6

x3 + −
1 1
2 +x
x

x−2 −2
x−6

22/ Lim
x→
2

15/ Lim
x→
1

1
16 / Lim
x→ x
0

(

1 +x − 1 −x

)

4 −x 2 −2
9 −x 2 −
3
4 x +5 − 3 x +5
18/ Lim
x + −2
3
x→
1
17/ Lim
x→
1

19/ Lim
x→
7

2− x−
3
2 −49
x

20 / Lim
x→
3
21/ Lim
x→

1

Dạng 3: lim
x →a

x 2 −2 x +6 − x 2 +2 x −
6
2 −4 x +3
x
− 2 +2 x −
x
1
2 −x
x

f ( x)
g( x)

x +2 − 2 x
x − − 3 −x
1

23/ Lim
x→
3

x + − 3x −
1
5
2 x + − x +6

3

24/ Lim
x→ 2
−

x2 + −
5 3
x +2

 1
3 
25/ Lim 
−
÷
1 −x
÷
x→
1
1 −x3 

26/ Lim
x→
1
27/ Lim
x→ 2
−
28/ Lim
x→
2

x−
1
x + −2
3
2 −x
x +7 −
3

3 − 2x +
5
x +2 −2

L
→  ÷. (với L ≠ 0 ) .Ta tính nhẫm dạng bằng cách
0


thay a vào f(x) và g(x). Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0. nên lim
x →a
L
lúc này có dạng  ÷.
0

f ( x)
g( x)

Phương pháp:
Bước 1: Tính lim f ( x ) = L (với L ≠ 0 )
x →a

Bước 2: : Tính lim g( x ) = 0 và xét dấu biểu thức g(x) với x ≠ a
x →a
Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim
x →a

f ( x)
g( x)
f ( x)
g( x)

lim f ( x ) = L

lim g( x ) = 0

L>0

g(x) > 0

L>0

g(x) < 0

L<0

g(x) > 0

+∞
−∞
−∞

L<0

g(x) < 0

+∞

x →a

lim

x →a

x →a

Ví dụ 3:Tính các giới hạn sau:

1/ lim
x →4

x+2

( x − 4)

2

2 / lim
x →3

x−5

( x − 3)

2

Bài giải

1/ lim
x →4

x+2

( x − 4)

2

Ta có:
 lim ( x + 2 ) = 6 > 0
 x →4

2
2
 lim4 ( x − 4 ) = 0 va ( x − 4 ) > 0 (∀x ≠ 4)
 x→
x+2
Vay lim
= +∞
2
x →4
( x − 4)

3x + 1
x →−2 x + 2
(
) ( x 3 + 8)

3/ lim


2 / lim
x →3

x −5

( x − 3)

2

Ta có:
 lim ( x − 5) = −2 < 0
 x →3

2
2
 lim3 ( x − 3) = 0 va ( x − 3) > 0 (∀x ≠ 3)
 x→
x−5
Vay lim
= −∞
2
x →4

( x − 3)
3x + 1
x →−2 x + 2
(
) x3 + 8

3/ lim

(

)

3x + 1
x →−2 x + 2
(
) ( x + 2) x2 − 2x + 4

= lim

(

)

3x + 1

= lim

x →−2

( x + 2) ( x2 − 2x + 4)

2

Ta có:
 lim ( 3 x + 1) = −5 < 0
 x →−2

2
2
2
2
 lim2 ( x + 2 ) x − 2 x + 4 = 0 va ( x + 2 ) x − 2 x + 4 > 0 (∀x ≠ −2)
 x →−
3x + 1
Vay
lim
= −∞
x →−2 x + 2
(
) x3 + 8

(

)

(

(

)

)

Bài tập tương tự:
Bài tập 3: Tính các giới hạn sau:
1/ lim
x →2

x+2

( x − 2)

3/ lim

x →−2

2 / lim

2

x →−2

2x + 1

( x + 2)

x3 + 1

( x + 2)

2

x +1
x →−3 x + 3
(
) x2 + 4x + 3

4 / lim

2

(

)

• KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA

( )

HÀM SỐ: lim  f x 

x→ ∞ 


Dạng 1: lim
x →∞

f ( x)
∞
→  ÷
g( x)

∞

Phương pháp:
Chia tử và mẫu cho xk với k là lũy thừa cao nhất của tử hoặc mẫu. Chú ý rằng
nếu x → +∞ thì coi như x>0, nếu x → −∞ thì coi như x < 0 khi đưa x ra
hoặc vào khỏi căn bậc chẵn
Chú ý các giới hạn cơ bản sau:

1/ lim x k = +∞

2 / lim x 2 k = +∞

3/ lim x 2 k +1 = −∞

4 / Lim

x →+∞

x →−∞

x →−∞

1
=0
x →±∞ x k

Ví dụ 4:Tính các giới hạn sau:
1/.

2x +1

x→−∞ x − 2
Lim

3/. Lim

x→+∞

x2 − 1
x +1

x −1
x→+∞ x 2 − 1

2/. Lim

4/. Lim

x→−∞

x2 − 1
x +1

BÀI GIẢI

1/.

1

1
x2 + ÷

2+
2x +1
x
x = 2 =2
Lim
= Lim 
= Lim
x→−∞ x − 2
x →−∞ 
2 1
2  x→−∞
1−
x 1 − ÷
x
x


1 1 
1 1
x2  − 2 ÷
−
x −1
 x x  = Lim x x 2 = 0 =0
= Lim
2/. Lim 2
x→+∞ x − 1 x→+∞ 2 
1
1  x→+∞
1− 2 1
x 1 − 2 ÷

x
 x 


x −1
= Lim
x→+∞
x +1
2

3/ Lim

x→+∞

.

1 
1 


x 2 1 − 2 ÷
x 1 − 2 ÷
 x 
 x 
= Lim
x→+∞
x +1
 1
x 1 + ÷
x



1

x 1 − 2 ÷
 x 
= Lim
= Lim
x→+∞
x→+∞
 1
x 1 + ÷
x

x −1
= Lim
x→−∞
x +1
2

4 / Lim

x→−∞

1 

1 − 2 ÷
 x  1
= =1
1

1
1+
x

1 
1 


x 2 1 − 2 ÷
x 1 − 2 ÷
 x 
 x 
= Lim
x→−∞
x +1
 1
x 1 + ÷
x


1 
1 


− x 1 − 2 ÷
− 1 − 2 ÷
 x 
 x  −1
= Lim
= Lim

=
= −1
x→−∞
x→−∞
1
 1
1
1+
x 1 + ÷
x
x

Bài tập tương tự:
Bài tập 4: Tính các giới hạn sau:


2x − 3
x →+∞ 1 − 3 x
2 x 2 + 3x + 1
3/ Lim 2
x →−∞ 3 x − x + 5

2x3 − x2 + 1
x →−∞ 3 x 6 + 2 x 4 + 1
( x − 2 ) ( 2 x + 1) ( 1 − 4 x )
4 / Lim
3
x →+∞
( 3x + 4 )

1/ Lim

2 / Lim

5

x + 2x2 + 1
5/ Lim
x →+∞
x3 + 1
x2 + 2x + 3

7/ Lim

3

x →−∞

9/ Lim

x →−∞

x 2 + 3x − 8
6 / Lim 4
x →−∞ x − 6 x + 1
4x2 + 1
8/ Lim
x →−∞ 3 x − 1

x3 − x + 1

14 − x

x − x2 − 1

11/ Lim

x →−∞

x2 − 1 + 2x

x →−∞

2x + 3

12 / Lim

2x + 3
2

Dạng 2: lim f ( x ) .g ( x ) →
x →∞

3x − 1

10 / Lim

x →+∞

(

x4 + x2 + 1
x 3 + 1 ( x − 1)

)

( 0.∞ )

Phương pháp:
Ta biến đổi lim f ( x ) .g ( x ) →
x →∞

f x
( 0.∞ ) về dạng 1: lim ( ) →
x →∞ g ( x )

Sau đó sử dụng phương pháp của dạng 1 để giải
Chú ý: A B = A2 B với A, B ≥ 0

A B = − A2 B với A ≤ 0, B ≥ 0

Ví dụ 5:Tính các giới hạn sau:

1 ) lim ( x+ 2 )
x → +∞

x -1
x3 + x

2) lim ( x+1)
x→ -∞

BÀI GIẢI

2x+1
x 3 + x+ 2

∞
∞÷
 


2

1 ) lim ( x+ 2 )
x → +∞

x -1
= lim
x 3 + x x → +∞

( x+ 2 ) ( x - 1) =

 2  1
x  1+ ÷ .x  1- ÷
 x  x
1

x 3  1+ 2 ÷
 x 
2

2

x3 + x

2

lim

x → +∞

2

 2  1
 2  1
x  1+ ÷ .  1- ÷
 1+ ÷ .  1- ÷ 1
x  x
x  x

= lim 
= =1
x→ +∞
1
1
1

3
x  1+ 2 ÷
 1+ 2 ÷

 x 
 x 
3

= lim

x → +∞


2x+1
= lim  −
x 3 + x+ 2 x→ - ∞ 


2) lim ( x+1)
x→ - ∞

( x+1) ( 2x+1) 

2




x 3 + x+ 2
2

 1  1
x  1+ ÷ .x  2+ ÷
2

( x+1) ( 2x+1) = − lim  x   x 
= − lim
x→ - ∞
x→ -∞
1 2
x 3 + x+ 2
x 3 (1+ 2 + 3 )
x x
2

2

2

 1  1
 1  1
x  1+ ÷ .  2+ ÷
 1+ ÷ .  2+ ÷ − 2
x  x
x  x

= − lim
= − lim 
=
=− 2
x→ -∞
x→ - ∞
1 2
1 2
1

3
x (1+ 2 + 3 )
1+ 2 + 3
x x
x x
3

Bài tập tương tự:
Bài tập 5: Tính các giới hạn sau:

3x +1
x 3 +1

1 ) lim ( 1- 2x )
x →+∞

2x 3 + x
2 ) lim x 5 2
.
x →- ∞
x - x +3

Dạng 3: lim  f ( x ) ± g ( x )  →
x →∞





3 ) lim x

x →- ∞

( ∞ ± ∞)

Phương pháp:
Nhân (chia ) lượng liên hợp để đưa lim  f ( x ) ± g ( x )  về dạng
x →∞





2x +1
.
3x 3 + x 2 + 2


f ( x) − g( x)

lim

f ( x) + g( x )

x →∞

f ( x) − g( x)

hoặc lim
x →∞

f ( x) − g( x )

Nếu gặp căn bậc 3 ta cũng nhân (chia) dạng liên hợp thích hợp

 A neu A ≥ 0
A2 = A = 
− A neu A < 0

Chú ý:

Ví dụ 6:Tính các giới hạn sau:

( x + x − x − 2)
3/ lim ( x+ x + x + 1 )
2

1 ) lim

2

2) lim

x → +∞

x → −∞

(

x2 + x − x2 − 2

(

4 / lim x+ x 2 + x + 1

2

x → +∞

x → −∞

)

)

BÀI GIẢI

1 ) lim

x → +∞

= lim

x → +∞

(

x +x−
2

= lim

x → +∞

2

x2 + x - x2 + 2
x2 + x + x2 − 2

= lim

x → +∞

(
x − 2 ) = lim

x


x


x2 + x − x2 − 2

x → +∞

x2 + x + x2 − 2

x2 + x + x2 − 2

x → +∞

= lim

)(

x+ 2
x2 + x + x2 − 2

 2
 2
x 1+ ÷
x 1+ ÷
 x
 x
= lim
1
2 x → +∞
1
2
1+ + x 1− 2
x 1+ + x 1− 2
x
x
x
x
 2
2
x 1+ ÷
1+
1

 x
x
= lim
=
2
1
2
1
2  x → +∞
1+ + 1− 2
1+ + 1− 2 ÷
x
x
x
x 

)


2 ) lim

x → −∞

(

x2 + x −

(
x − 2 ) = lim
2

x2 + x + x2 − 2

x → −∞

= lim

x → −∞

)(

x2 + x + x2 − 2

)

x2 + x + x2 − 2

x → −∞

x2 + x - x2 + 2

= lim

x2 + x − x2 − 2
x+ 2

x2 + x + x2 − 2

 2
 2

x 1+ ÷
x 1+ ÷
 x
 x
= lim
= lim
x → −∞
1
2 x→ −∞
1
2
x 1+ + x 1− 2
-x 1 + - x 1 − 2
x
x
x
x
 2
 2
x 1+ ÷
− 1+ ÷
1
 x
 x
= lim
= lim
=−
x → +∞
2


1
2
1
2  x → +∞
1+ + 1− 2
-x  1 + + 1 − 2 ÷
x
x
x
x 


)

(

3/ lim x+ x 2 + x + 1 =
x → +∞

( x+
lim

x → +∞

)(

x2 + x + 1 x - x2 + x + 1

)

x - x2 + x + 1

1

x  −1 − ÷
x - ( x + x + 1)
−x −1
x

= lim
= lim
= lim
x→ +∞
x - x 2 + x + 1 x → +∞ x - x 2 + x + 1 x → + ∞ x - x 1 + 1 + 1
x x2
1
1


1
x  −1− ÷
x  −1 − ÷
−1−
x
x


x
= lim
= lim

= lim
x→ +∞
x→ +∞ 
x → +∞
1 1
1 1
1 1 
x - x 1+ + 2
1- 1 + + 2
x  1- 1 + + 2 ÷
x x
x x
x x 

2

2

= +∞


1
1 1 
1 1

(Vi lim  − 1 − ÷ = − 1, lim  1- 1 + + 2 ÷ = 0 va 1- 1 + + 2 < 0)
x → +∞
x → +∞ 
x
x x ÷

x x





Chú ý:Ta cũng có thể giải bài 3 của ví du6 6 này theo cách sau tạm gọi là:
Cách 2

)

(



1 1 
1 1 
3/ lim x+ x 2 + x + 1 = lim  x+ x 1 + + 2 ÷ = lim  x+ x 1 + + 2 ÷
x → +∞
x → +∞ 
x x ÷ x → +∞ 
x x ÷





1 1 
= lim x  1+ 1 + + 2 ÷ = +∞
x→ +∞ 

x x ÷



1 1 
(Vi lim x = +∞ , lim  1+ 1 + + 2 ÷ = 2 )
x → +∞
x → +∞ 
x x ÷



)

(

4 / lim x+ x 2 + x + 1 =
x → −∞

( x+
lim

x → −∞

)(

x2 + x + 1 x - x2 + x + 1

)

x - x2 + x + 1

1

x  −1− ÷
x - ( x + x + 1)
−x −1
x

= lim
= lim
= lim
x → −∞
x - x 2 + x + 1 x→ −∞ x - x 2 + x + 1 x→ −∞ x - x 1 + 1 + 1
x x2
1
1


1
x  −1− ÷
x  −1− ÷
−1−
x
x


x
= lim
= lim

= lim
x → −∞
1 1 x → +∞ 
1 1
1 1  x → +∞
x+ x 1 + + 2
1+ 1 + + 2
x  1+ 1 + + 2 ÷
x x
x x
x x 

2

=

2

−1
2
• Như vậy sau khi giải bài 4 của ví dụ 6 nhiều học sinh sẽ thắc mắc rằng bài 4
này có thể giải theo cách 2 của bài 3 như trên không?
Câu trả lời là khơng vì nếu giải theo giải theo cách 2 của bài 3 ta sẽ có:


)

(




1 1 
1 1 
4 / lim x+ x 2 + x + 1 = lim  x+ x 1 + + 2 ÷ = lim  x - x 1 + + 2 ÷

÷
x → −∞
x → −∞ 
x x ÷ x→ −∞ 
x x 



1 1 
= lim x  1- 1 + + 2 ÷
x → −∞ 
x x ÷


Tới kết quả


1 1 
lim x  1- 1 + + 2 ÷ sẽ dẫn đến dạng vơ định (0. ∞ ) lại quay
x → −∞ 
x x ÷



về dạng 2 của trường hợp giới hạn hàm số ở vô cực mà việc khử dạng vô

∞ ) lại gây khó khăn cho một số em học sinh có học lực trung bình,

định(0.
yếu

Bài tập tương tự:
Bài tập 6: Tính các giới hạn sau:
1) lim

x →+∞

(

x+1 - x

(
5) lim (
7) lim (

x 2 +1 + x - 1

3) lim

x →−∞

9 ) lim x
11/ lim

x → +∞

(

(

)

4x 2 + 9 + 2x
3

x3 + x2 − x

)

2

x →+ ∞

2

x2 + x - x2 + 4

x → +∞

( x + x +1 - x )
4) lim ( 3x + x+1 - x 3 )
6) lim ( 2x +1 + x )
8 ) lim ( x + 2x +4 - x - 2x+4 )
10) lim x ( x +1 - x )
12 / lim ( x+ 3x − x )

2) lim

3x 2 + x+1+ x 3

x →−∞

x → −∞

)

)

)

)

x → +∞

2

x → −∞

2

2

x → +∞

2

x →+∞

3

2

3

x → +∞

* KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM

( )

( )

SỐ: lim  f x  hoặc lim  f x  .Cần lưu ý học sinh đây chỉ là trường hợp đặc


x → a+ 
x → a− 
biệt của giới hạn tại một điểm, lúc này x không tiến đến a mà tiến đến bên trái
điểm a ( x → a − ), hoặc tiến về bên phải bên phải điểm a ( x → a + ).Bài tập Giới


( )

( )

hạn một bên: lim  f x  hoặc lim  f x  .chủ yếu rơi vào dạng 3 của trường



x → a+ 
x → a− 
hợp Giới hạn tại một điểm là

f ( x)
g( x)

L
→  ÷. (với L ≠ 0 ) .Ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào
x →a
0
f ( x)
f(x) và g(x). Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0. nên lim
lúc này có
x →a± g ( x )
lim
±

L
dạng  ÷.
0

Phương pháp:

lim
Bước 1: Tính x →a± f ( x ) = L (với L ≠ 0 )

lim

Bước 2: : Tính x →a± g( x ) = 0 và xét dấu biểu thức g(x) với x < a hoặc
x>a

Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim
x →a

f ( x)
(bảng xét dấu
g( x)

đã nêu ở dạng 3- trường hợp 1 Giới hạn tại một điểm)
Ví dụ 7: Tính các giới hạn sau:

1/ lim
−
x →1

2x − 3
x −1

2 / lim
+
x →1

2x − 3
x −1

BÀI GIẢI

1/ lim

−
x →1

2x − 3
x −1


 lim ( 2 x − 3) = 2.1 − 3 = −1 < 0
 x →1−
Ta có: 
 lim ( x − 1) = 0 va x − 1 < 0
∀x < 1
 x →1−
Vậy lim
−
x →1

2 / lim
+
x →1

2x − 3
= +∞
x −1

2x − 3
x −1

 lim ( 2 x − 3) = 2.1 − 3 = −1 < 0
 x →1+

Ta có: 
 lim ( x − 1) = 0 va x − 1 > 0
∀x > 1
 x →1+
Vậy lim
−
x →1

2x − 3
= −∞
x −1

Bài tập tương tự:
Bài tập 7: Tính các giới hạn sau:
2x - 1
x→ 2 x - 2
x2 - 2
3) lim−
x→ 2 x - 2

1) lim+

2x - 1
x→ 2 x - 2
2 x -7
4) lim−
x →1 x - 1
2) lim−

5 ) lim+

x →1

2 x -7
x -1

• MỘT VÀI TRƯỜNG HỢP GIỚI HẠN HÀM SỐ KHƠNG TN
THỦ CÁC QUY TẮC TRÊN
Ví dụ 1:

III/HiƯu qu¶ của sáng kiến kinh nghiệm:
1/Kết quả từ thực tiễn:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc phõn loi v giải
những dạng bi tp nh đà nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hớng dẫn học sinh tỉ


mỉ cách phân tích một bài toán từ nhn dng hàm số : hàm số dạng cơ bản,
hàm số dạng nhõn lng liờn hp,dng để lựa chọn phơng pháp phù hợp trên
cơ sở giáo viên đa ra những sai lầm mà học sinh thờng mắc phải trong quá
trình suy luận,trong các bớc tính tích phân này rồi từ đó hớng các em đi đến
lời giải đúng.
Sau khi hớng dẫn học sinh nh trên và yêu cầu học sinh giải một số bài
tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các
đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các
năm trớc thì các em đà thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đÃ
giải đợc một lợng lớn bài tập đó.
2/Kết quả thực nghiệm:
Sáng kiến đợc áp dụng trong năm học 2009-2010.
Bài kiểm tra trên lớp 11CBO4(nm hc 2011-2012) không áp dụng sáng
kiến v lớp 11CBO4(nm hc 2012-2013) áp dụng sáng kiến nh sau:
xếp loại

giỏi

khá

tb

yếu

đối tợng
Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú
đặc biệt là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận trọng và
hiểu bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc nh trớc, đó là việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học
sinh.

phần III:kết luận kiến nghị
I/ kết luận:
Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm cđa häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n
cã ý nghÜa rÊt lớn trong quá trình dạy học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ