6 đề ôn cuối kì có giải chi tiết

Bài tập ôn cuối học kỳ hai.
Các phần tập trung khi ôn bài: các em phải nắm vững kỹ thuật xử lý các dạng toán sau:
1. Đạo hàm và vi phân hàm thường.
2. Cực trị tự do
3. Đổi biến tọa độ cực trong tp kép
4. Tính tp đường 2 bằng tham sô hóa và Công thức Green,tp không phụ thuộc đường đi.
5. Công thức Gauss cho mặt 2(tức là phải có tp bội 3).
6. Tổng chuỗi.
7. Miền hội tụ.
Bỏ tp đường loại 1. Các phần khác nếu có chỉ chiếm tỷ lệ rất thấp(hàm hợp, hàm ẩn, cực trị có
điều kiện, mặt 1, stokes...)
ĐỀ 1
1. Cho hàm hai biến f ( x , y )  x 2  2 xy  x 3 , tính d 2f (1, 5).
2. Tìm cực trị hàm số f ( x , y )  4 x  x 2  2y 2


3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi


n 1

1 

n 1 

 2n 


4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa



n 1

5. Tính tích phân đường: I =
6. Tính tích phân I 



2n 2

.

3n  (1)n
( x  2)2n .
n 1

 
sin
xdx

ydy
C
:
y

cos
x
,
töø
n (0,1) .
,

 ,0  ñeá
C
2



| x  y 3 | dxdy , trong đó D là miền phẳng: x 2  y 2  4, y  x.

D

7. Cho S là phía ngoài mặt biên miền giới hạn bởi nón z  2 x 2  y 2 và trụ z  4  y 2 ,
tính tích phân: I 



2 yzdydz  xdzdx  z 2 dxdy .

S

ĐỀ 2
1. Cho hàm ẩn z  z( x, y ) xác định từ phương trình x 2  y 2  z 2  4x  2y  4z  7  0

 zx  0,

Tìm tất cả các (x,y,z) thỏa hệ phương trình: 
 zy  0.

2. Tìm cực trị của hàm số f ( x, y )  xy  3x thỏa x  y  1  0 .


3. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa



1 
 1
n
 n 1  n 1  ( x  4) .
3
2

n 1




4. Tính tổng chuỗi số S 

 n3 2 .
n 0

n



5. Tính tích phân đường loại hai I  2 xydx  x dy , trong đó C là biên định hướng dương
2

C


1  x  2

của miền phẳng D: 


2  x  y  2 x  x

2

bằng hai cách:

a. Tính trực tiếp bằng tham số hóa đường cong.
b. Dùng công thức Green.
6. Tính tích phân I 



5  4zds trong đó S là phần mặt paraboloid z  1  x 2  y 2 bị chắn

S

bởi mặt phẳng z  0.
ĐỀ 3
1. Cho hàm số f ( x , y , z)  x 2  3xy  e xyz , M  (1,1,0) . Tính giá trị

A

f (M )
f (M )

f (M )
2
3
.
x
y
z

2. Tìm cực trị tự do của hàm số f ( x , y )  x 3  3xy 2  15x  12y .


3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

(1)
n 1



4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa


n 1

5. Tính I 

y

 x dx  ( x

3

n

2.5.8....(3n  4)
23n 1.3n.n !

 n
en cos 
 2
n!

.



 xn .

 ln x )dy , trong đó C là đường tròn ( x  2)2  ( y  1)2  1,

C

laá
y theo chieà
u KÑH töø(2,2)  (3,1) .
6. Tính tích phân sau bằng cách dùng tọa dộ cầu: I 

 z

x 2  y 2 dxdydz , trong đó  là



miền giới hạn bởi nón z  3( x 2  y 2 ) , mặt phẳng z  0 và mặt cầu x 2  y 2  z 2  4 .
7. Dùng công thức Stokes tính I 

 ydx  zdy  xdz , trong đó C là giao tuyến của mặt trụ

C

x y
 z 2  2 và mặt phẳng y  x lấy ngược chiều KĐH nhìn từ phía dương của trục
2
2

2

Ox.
ĐỀ 4


x
y

x
 y .cos   . Chứng minh đẳng thức: x.fx  y .fy  f .
y
2. Tìm cực trị hàm số f ( x , y )  x 3  3xy  3y thỏa x  2 y  1 .
1. Cho f ( x , y )  x.e





 1
3. Tìm tất cả các giá trị của  để chuỗi sau hội tụ:
arctan  
n
n 1


4. Cho chuỗi lũy thừa S ( x ) 



n3  n  5
e

n 0

n

  n 2  3n  2 
.
 ln 
  n 2  1 

( x  e)n . Tìm miền hội tụ của S ( x ).

5. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 mặt trụ x 2  y 2  1, z  y 2 và mặt phẳng z  0 .



6. I  (e  (a  2n ) y  2 x
x

n 1

sin y )dx  (e y  (2a  5) x  ax n cos y )dy

C

Tìm các số thực a và số tự nhiên n sao cho tp trên khơng phụ thuộc đường đi.
Tính tp trên đường tròn đơn vị, lấy theo chiều kim đồng hồ với các tham số vừa tìm được.
7. Tính tích phân I 

 (2y  x )dydz  (x  y )dzdx  2zdxdy , trong đó S là mặt biên của
S

miền giới hạn bởi z  0, x  2y  z  1, x  2, y  0 , lấy phía ngồi.

ĐỀ 5
1. Cho hàm ẩn z  z( x, y ) xác định từ phương trình zx  ln(1  x  yz) , tính dz(1,0).
2. Tìm cực trị hàm số f ( x , y ) 

1 x  y
1 x2  y 2



3. Tính tổng chuỗi số S 

 1

n

n 0

 2n  1
(2n  1)!


4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũ thừa


n 1

5. Tính I 

y

 x dx  ( x

3

.

nn x n
ln(n  2)(2n)!!

 ln x )dy ,

C

C làđtrò
n ( x  2)2  ( y  1)2  1, lấ
y theo chiề
u KĐH từ(2,2)  (3,1) .
6. Tính

 (x  2y )dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi x

2

 y 2  4x, x 2  y 2  4x  3 ,

D

0 y  2x .
7. Tính

 (x
S
2

2

 2y )dydz  (z  x )dzdx  2y 2dxdy , trong đó S là phần mặt trụ

x 2  y  2y bị chắn bởi các mp z  0, z  1.

ĐỀ 6

  y 2fyy
 .
1. Cho f ( x , y )  sin( xy )  xy , tính giá trị biểu thức A  x 2fxx
2. Tìm cực trị hàm số f ( x , y )  ( x  y )e  xy
3. Tìm chuỗi Taylor của f ( x )  ln( x 2  x ) trong lân cận x  1 . Hãy chỉ rõ miền hội tụ của
chuỗi này.


4. Tính tổng chuỗi số sau: S 

 (1)n  n3n 


(n  1)! 


n 0



 x  y , x  y

5. Cho f ( x , y )  

2
2
 x  y , x  y

6. Tính I 



C

xdx  ydy
x2  y 2

. Tính

 f (x, y )dxdy , trong đó D là hình tròn đơn vị.
D

x2 y 2
, C là ¼ ellipse 2  2  1 nằm ở góc phần tư thứ nhất lấy theo
a
b

chiều kim đồng hồ.
7. Tính

 z
S

0  z  3.

x 2  y 2 dxdy , trong đó S là phía trên phần mặt cầu x 2  y 2  z 2  6z, với

GIẢI BÀI TẬP ÔN
Các em kiểm tra lại đáp số, nếu có sai báo lại cho cô qua diễn đàn nhé.

Đề 1
Câu 1: d f (1, 5)  8dx  4dxdy
Câu 2: f đạt cực đại tại x  2, y  0, fcd  4 .
2

2

1 

Câu 3: Cn  n 1 

 2n 

2 n

n



1
 1  HT
e


Câu 4: Đặt X  ( x  2) , chuỗi
2


n 1

3n  (1)n
 x  2n ( 1) trở thành
n 1




n 1

3n  (1)n n
X (2)
n 1

1
1
, BKHT của chuổi (1) là R 
.
3
3
1
1
2
2
 1 1
Vì (2) có khoảng HT là   ,  , nên chuỗi (1) HT nếu 0   x  2   và PK nếu  x  2   .
3

3
 3 3
1
1 
1
1 


, 2 
, 2 
Như vậy chuỗi (1) HT trong  2 
 và PK ngoài  2 
 .
3
3
3
3


BKHT của chuỗi (2) là RX 

Theo định nghĩa, R là BKHT của chuỗi (1).



1

0

Câu 5: I   sin x  cos x.(  sin x) dx  

2
2

Câu 6:

D1

D2

I

  y



3  x dxdy 

D1



7
6

  d
4

  x  y 3  dxdy

Miền D là miền màu xanh.

D2


2

0



3 sin   cos  r 2 dr 

5
4
7
6



d

 cos 
2

0



3 sin  r 2 dr





1
88 3  4 2  4 6
3



Câu 7: Áp dung công thức G-O

I

 2zdxdydz , trong đó V là vật thể giới hạn bởi nón z 

2 x 2  y 2 và trụ z  4  y 2 .

V

2


4  y  0
2  y  2
Hình chiếu của V lên Oxy: D : 
 2
2
2

2
2

2 x  y  4  y
x  y  2


2

I

2



2

d

0



2

dr

0

4  r 2 sin 2 



r 2  r 2 cos 2 

2 z.rdz 



2

d

0



2

(4  2r 2 )rdr  4

0

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Đề 2:

Câu 1:  x, y, z    2,1, 2 ,  x, y, z    2,1,6
Câu 2: fCT  f (2,1)  4
Câu 3: an 

3n 1  2n 1

6n 1

 R  lim

n  n

1
an

6n 6

 lim

n 

2
3n 3  2  
3

n

 2  KHT :  6, 2 .





1 
 1
n

Tại x  6 hay x  2 , chuỗi trở thành
 n 1  n 1  (2) 
3 
2
n 1

 (1)n 1  2 n 

   .
 2
3  3  
n 1 



Khi đó các chuỗi trên là tổng của 1 chuỗi pkỳ và 1 chuỗi htụ nên pkỳ.


Câu 4: Xét chuỗi lũy thừa S ( x) 

 (n  1) x

n

, MHT : D   1,1 .

n0

 


1
 x 
n

1
S ( x)  
x  

, x  D   1,1


  1  x   x  12
 n0






S

n0

Câu 5:



3 
n 1
n

n

1
15
1
1


   S 
4
 3
 3  1 1
n0
3




a. I 



2

1



 2 x(2  x)  x 2 (1)  dx 







2

0

 2(1  cos t ).sin t.( sin t )  (1  cos t ) 2 .cos t  dt



11 
7 4
       
3 
3 3

b. Dùng công thức Green:

I



 2 x  2 x  dxdy 

2

 
dx

1

D

2 x  x2

2 x

4 xdy 

4

3

Câu 6:

S : z  1  x2  y 2 ,

hc S  D : x 2  y 2  1
Oxy

ds  1  4 x 2  4 y 2
I







5  4 1  x2  y 2



d

D
2

0



1  4 x 2  4 y 2 dxdy 

 1  4x

2



 4 y 2 dxdy

D



1

(1  4r 2 )rdr 3

0

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Đề 3:

Câu 1: A  8
Câu 2: Điểm dừng: 1,2 ,  2,1 ,  1, 2  ,  2, 1

f đạt cực tiểu tại  2,1 , và cực đại tại  2, 1 , không đạt cực trị tại các điểm còn lại.

Câu 3: dùng tc D’A trên chuỗi trị tuyệt đối thì chuỗi hội tụ, D = 1/8

 n
en cos 
 2
Câu 4: an 
n!



 x n , lưu ý , a có n! ở mẫu số còn lại là dãy mũ và dãy bị chận nên chuỗi htụ với
n

mọi x. Cách viết bài: an 

en x
n!

n

 bn .

Áp dụng tiêu chuẩn D’A cho chuỗi vế phải: Dn 
đảm bảo Dn có nghĩa)

ex
n 1

n 

 0  D (có thể xét riêng x = 0 để




Do



b

n htụ nên theo tc so sánh

n0

a

n ht tuyệt đối.

n0

Câu 5: áp dụng công thức Green sau khi thêm vào 2 đoạn thẳng
L1 : y  1, x : 3  2; L2 : x  2, y :1  2 , miền D là góc phần tư màu xanh.

I 


D

3x 2 dxdy 

3



 

 3



2

2

d

0

1

2

 (8  ln 2)dy

dx

x

1

 2  r cos  2 .rdr  ln

0

3
51
3
 8  ln 2     4  ln  8
2
16
4

Câu 6:



0 z 3 x  y
2

2



1

 tan  

3
cos  0





6

 


2.

x2  y 2  z 2  4    2

I



2

0



 

d   d
2

6

2

 4 sin 2  cos  d  

0

56
15

Câu 7: chọn S là phần mp y = x giới hạn bên trong trụ, lấy phía trước nhìn từ phía dương Ox.
Áp dụng công thức Stokes

I

 dydz  dzdx  dxdy
S

1 
 1
nS  
,
,0 
2
2


2
I
ds , S : y  x, ds  2dzdx, hc S  D : x 2  z 2  2
Ozx
2


S

I 

 2dzdx  4
D

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Đề 4:
x

x



x
x
x2 y
x x
x
Câu 1: f x  1   e y  sin , f y  
e

cos

sin
y
y
y y
y
y2



x
y

xf x  yf y  xe  y cos

x
 f
y

Câu 2: x  1  2 y

g ( y)  f (1  2 y, y)  8 y3  18 y 2  6 y  1
3  5
1  5
x
4
2
 1  5 3  5 
 1  5 3  5 
f đạt cực đại tại 
,
,
 đạt cực tiểu tại 

2
4
2
4 



 n2  3n  2  3
Câu 3: ln 
~ , khi n  
 n2  1  n


 3
1

n 

 , an ~ . , khi n   : chuỗi phân kỳ.
1.   0,arctan

2 n
2
n
 3
1

 arctan1  , an ~ . , khi n   : chuỗi phân kỳ.
2.   0,arctan

4 n
4
n
1
1
3
~   an ~  1 , khi n   : do   1  1,   0 nên chuỗi hội tụ.
3.   0,arctan

n
n
n
Tóm lai : chuỗi htụ khi và chỉ khi   0 .

g ( y)  24 y 2  36 y  6  0  4 y 2  6 y  1  0  y 

Câu 4: Bán kính hội tụ (BKHT) của S(x) là R = e nên BKHT của S’(x) cũng vậy.


S '( x) 



n3  n  5

n 1

n.e

n

 x  e n 1 , khoảng hội tụ  2e,0


Tại x  2e, x  0 : chuỗi trở thành



n3  n  5

n 1

n.en

 e 

n 1







(1)n 1

n 1

n3  n  5
: pkỳ theo điều
n.e

kiện cần.
Vậy miền hội tụ là:  2e,0  .
Câu 5: V 



x 2  y 2 1

y dxdy  4
2




2

d

0



1

r 3 sin 2  dr 

0


4

Câu 6: Py  Qx  a  2n  2 x n 1 cos y  2a  5  nax n 1 cos y

 a  2n  2a  5

 n  2, a  1
2

na

Do R2 là miền đơn liên, P, Q và các đạo hàm liên tục trên R2 nên kết quả trên cho tp trên
các đường cong kín đều bằng 0. Vậy tp trên đường tròn đơn vị bằng 0.
Câu 7: Áp dụng công thức G-O I 




2dxdy 

1

 
2

dx

1 x
2

0

dy



1 x  2 y

0

2dz 

9
2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đề 5:

Câu 1:  x, y   1,0  z 1,0  ln 2

1
1
1  x  yz
z x  
 z x (1,0)   ln 2
y
2
1
1  x  yz
z

1
1  x  yz
z y  
 z x (1,0)  ln 2
y
2
1
1  x  yz
2
1
Câu 2: điểm dừng 1, 1 , A  C  
,
B



3
3
3
z

 

 

1, 1 là điểm cực đại, f 1, 1 


Câu 3: S 



 1

n 0



Câu 4:


n 1

n

 2n  1



1

(2n  1)! 




n 0

 1

ln 2
1

 dz (1,0)    ln 2  dx 
dy
2
2


n

3

   AC  B 2  0, A  0

3.

 2n 1
(2n  1)!







 1n

n 1

12n 1
1
 sin   sin1   sin1
 2n  1! 

nn x n
ln(n  2)(2n)!!

ln  n  3
ln  n  3  2n  2 
an
nn
1
2
R  lim

 lim
.  2n  2  .
 lim
.
.

n

1
n
n  an 1
n  ln  n  2 
n  ln  n  2   n  1 
e
1
 n  1
1



 n
Câu 5: giống đề 3.
Câu 6:

Đặt x  2  r cos , y  r sin 


D

Câu 7:

( x  2y )dxdy 





d
3
4



2

1

 2  r cos   2r sin   rdr 

7 2 3 14


6
4
3

Cách 1: S / / Oz  I3  0
S đối xứng qua mp x = 0 , P chẵn theo x  I1  0 .

Xét I 2 

  z  x  dzdx , S  S

S2 , S1,2 : y  1  1  x 2

1

S

Giả sử S là phía ngoài mặt trụ. PVT của S1 hợp với chiều dương Oy 1 góc nhọn, PVT của

S2 hợp 1 góc tù ( n  (2 x,2 y  2,0)  2( x, y  1,0) ).
1  x  1
hc S1,2  Dzx : 
Ozx
0  z  1
I2 

  z  x  dzdx    z  x  dzdx    z  x  dzdx    z  x  dzdx  0
S1

S2

Dzx

Dzx

Cách 2: Giả sử S là phía ngoài mặt trụ. Gọi S1 là phía trên mp z  1 và S2 là phía dưới mp z  0
Gọi  là vật thể giới hạn bởi S1 , S2 ,&S3 . Áp dụng công thức G-O:



Pdydz  Qdzdx  Rdxdy 



S1 S2 S3

I 

 2xdxdydz  0 (vật thể dx qua mp x=0,f lẻ theo x)

 


S1

S2







2 y 2 dxdy 

x2  y 2  2 y

2 y2  0

x2  y 2  2 y

Vì S1 , S2 / / Oxy nên 2 tp vế phải chỉ còn lại thành phần thứ 3.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Đề 6:

Câu 1: A  0.



1
1 
,
,
2
2

e1/ 2
3e1/ 2
AC 
,B 
   AC  B 2  0 .
2
2

Câu 2: điểm dừng  x, y    



Hàm số không có cực trị.






Câu 3: ln x 2  x  ln x  ln 1  x   ln 1  x  1  ln 2  ln 1 

x 1 

2 
n



 ln 2 

  1

n 1

 x  1n
n

n 1






n 1

 x 1 


n 1  2 

1
 ln 2 
 
n

Điều kiện khai triển (MHT): x   0,2 .


Câu 4:





  1
n 1



 1n 1
(n  1)3n

3n
S 


n  1!
n  1!


 n  1!
n0
n0
n0











n 1

 1n
n!






n0



3n 1

n! 3




n0

3n 1
1
  e1  1  e3  e3  1
3
 n  1!









1   x  1
1  n  n
 2 

n 1 

n




5
4

Câu 5: I   d 
4



1

 cos   sin   r 2 dr 

0





4

3
4

d



1

r 2 dr  0 

0


3

Câu 6: Py  Qx . Tp không phụ thuộc đường đi (khu vực áp dụng là miền đơn liên chứa C và không chứa

x y
  0)
a b

O, chẳng hạn khu vực phía trên đt
Chọn U  x, y  

x 2  y 2 thì dU  Pdx  Qdy .

Vậy I  U  0, b   U  a,0  a  b
Câu 7: Gọi S1 là phía dưới phần mp z  3 bị giới hạn bên trong mặt cầu,  nửa dưới của khối cầu

x2  y 2  z 2  6 z

 z

Áp dụng ct G-O,

x 2  y 2 dxdy  



x 2  y 2 dxdydz



S1 S

Xét tp khối:
Đặt: x   sin  cos , y   sin  sin  , z  3   cos , 0    3,



x  y dxdydz 
2

2

0



I



2



z x 2  y 2 dxdy  

S



 

d   d

81

4

2



3

 sin  . 2 sin  d  

0

z x 2  y 2 dxdy

S1

S1 : z  3 , hc S1  D : x 2  y 2  9
Oxy

I 

81

4


D

3 x 2  y 2 dxdy  

81
27
 27 
4
4

81
8



2

    , 0    2