ngân hàng tình huống thực tiễn trong các bài toán đại số giải thích 11 ban cơ bản

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN – TIN HỌC
BỘ MÔN GIÁO DỤC TOÁN HỌC
MÔN PHƢƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỐI ƢU

BÁO CÁO DỰ ÁN

NGÂN HÀNG TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN
TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11
BAN CƠ BẢN

Giảng viên hướng dẫn:

ThS. Phan Nguyễn Ái Nhi

Sinh viên thực hiện:

Ngô Thanh Trà
Nguyễn Thị Huế
Cao Sỹ Tiến
Trần Hữu Tân

Tháng 5 năm 2014
1


LỜI NÓI ĐẦU
Dạy học dựa trên dự án (project based learning) là một mô hình dạy học lấy người
học làm trung tâm. Nó giúp phát triển kiến thức và các kĩ năng liên quan thông qua
những nhiệm vụ mang tính mở, khuyến khích học sinh tìm tòi, hiện thực hóa những kiến
thức đã học trong quá trình thực hiện và tạo ra những sản phẩm của chính mình (Lập dự

án, n.d.). Với những đặc điểm đặc trưng như có tính thực tiễn, định hướng hành động và
sản phẩm cụ thể, tạo nên tính tự lực cho người học, gây hứng thú cho người học, có tính
liên môn và tạo môi trường hợp tác làm việc nhóm,… (Vũ Hồng Tiến n.d.), người học dễ
dàng phát triển các năng lực, cũng như dễ dàng lĩnh hội kiến thức, dù là ở bất kì môn học
nào, nếu như giáo viên khai thác được ứng dụng của mô hình dạy học này.
Với vai trò là giáo viên trong tương lai, chúng tôi rất biết ơn Bộ môn, giảng viên
đã tạo điều kiện cho chúng tôi tiếp cận mô hình dạy học này. Chúng tôi tin chắc rằng với
những kiến thức mới mẻ này, việc dạy và học sẽ trở nên hiệu quả hơn bao giờ hết. Và
việc thực hành quan sát thực tế, hình thành ý tưởng, xây dựng dự án song song với tiếp
thu kiến thức đã hỗ trợ rất tốt cho chúng tôi những kĩ năng làm dự án, làm việc nhóm, tổ
chức lớp học, viết báo cáo,…, đồng thời, các dự án khi hoàn thành sẽ là công cụ hỗ trợ
đắc lực cho chúng tôi khi vào nghề sau này.
Qua những ghi nhận khi quan sát thực tế, chúng tôi đã đề xuất được nhiều ý tưởng
khác nhau, nhằm hỗ trợ cho việc dạy và học đạt hiệu quả hơn. Cuối cùng, chúng tôi đã
chọn dự án Ngân hàng tình huống thực tiễn trong Toán học, phạm vi Toán Đại số & Giải
tích 11 ban cơ bản. Chúng tôi cho rằng đây là một dự án có tính khả thi và có khả năng
mở rộng phạm vi do tính ứng dụng khá cao. Để có được ý tưởng đó, chúng tôi chân thành
cám ơn sự giúp đỡ của Ban giám hiệu và học sinh trường Trung học Phổ thông Lê Thị
Hồng Gấm và Trung tâm bồi dưỡng văn hóa Thăng Long. Đặc biệt, chân thành cám ơn
giảng viên Thạc sĩ Phan Nguyễn Ái Nhi đã tích cực hướng dẫn cho nhóm chúng tôi trong
suốt quá trình thực hiện dự án. Và đương nhiên với khả năng còn hạn hẹp, những thiếu
sót trong dự án là không thể tránh khỏi, vì vậy chúng tôi rất mong được sự tiếp tục góp ý
từ quý giảng viên để dự án trở nên hoàn chỉnh hơn. Chân thành cám ơn!

2


MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU………………………………………………………………………… 2
MỤC LỤC…………………………………………………………………………...... 3

THÔNG TIN CHUNG CỦA DỰ ÁN………………………………………………… 4
TÍNH KHẢ THI CỦA DỰ ÁN……………………………………………………….. 6
NGÂN HÀNG TÌNH HUỐNG……………………………………………………...... 9
Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác…………………..... 9
Chương II. Tổ hợp - Xác suất………………………………………………… 11
Chương III. Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân…………………………….. 20
Chương IV. Giới hạn…………………………………………………………. 28
Chương V. Đạo hàm………………………………………………………….. 33
TỔNG KẾT………………………………………………………………………....34
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………………... 36

3


THÔNG TIN CHUNG CỦA DỰ ÁN
1. Tên dự án:
2.
3.

4.
5.
6.
7.
8.
9.

Ngân hàng tình huống thực tiễn trong các bài toán
Đại số & Giải tích 11 ban cơ bản.
GVHD:
ThS. Phan Nguyễn Ái Nhi

SVTH:
Ngô Thanh Trà
Nguyễn Thị Huế
Cao Sỹ Tiến
Trần Hữu Tân
Ngày triển khai: 01/03/2014
Ngày hoàn thành: 17/05/2014
Mục tiêu dự án: Xây dựng hệ thống tình huống thực tiễn trong Toán học hỗ
b
trợ việc dạy và học của giáo viên và học sinh.
Phạm vi dự án:
Toán học 11 – Đại số & Giải tích ban cơ bản.
Đăng kí thực hiện: 24 tình huống/5 chương.
Yêu cầu:
Tham khảo tài liệu tối đa 30%.
Sau đây là bảng kết quả xây dựng tình huống

NỘI DUNG

SỐ TÌNH HUỐNG
SÁNG TẠO
THU
SÁNG
CHƢƠNG
BÀI
DỰA TRÊN
THẬP
TẠO
TÀI LIỆU
I

Phương trình lượng giác cơ bản
1
Quy tắc đếm
1
II
Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
1
Xác suất của biến cố
1
1
4
Cấp số cộng
4
III
Cấp số nhân
1
1
Giới hạn của dãy số
1
IV
Giới hạn của hàm số
3
V
Quy tắc tính đạo hàm
1
TỔNG CỘNG = 20
2
2
16
TỈ LỆ = 100%

20%
80%
Ghi chú: Tình huống thu thập có sáng tạo xem như 50% thu thập, 50% sáng tạo.
10. Bảng kế hoạch quản lí dự án: (đính kèm)

4


5


TÍNH KHẢ THI CỦA DỰ ÁN
1. Đặt vấn đề
Toán học là môn học quan trọng gắn liền với hầu hết các môn học khác và
có tính ứng dụng cao trong đời sống xã hội. Việc học Toán ở các lớp Phổ thông là
nền tảng cho quá trình học, làm việc sau này của mỗi cá nhân cũng như sự tiến bộ,
phát triển của các ngành, lĩnh vực khác. Vì vậy, việc học Toán hiệu quả là mối
quan tâm hàng đầu của ngành Giáo dục. Tuy nhiên, qua quá trình quan sát thực tế
một số lớp học Toán tại trường THPT Lê Thị Hồng Gấm, chúng tôi nhận thấy
rằng việc học toán thường gặp nhiều khó khăn, gây ảnh hưởng đến chất lượng
cũng như kết quả học tập của học sinh; đồng thời giáo viên cũng gặp không ít khó
khăn trong việc truyền đạt kiến thức. Qua trao đổi với một số giáo viên, học sinh
tại trường, chúng tôi tổng kết được ba nguyên nhân sau:
Thứ nhất, nhiều học sinh cảm nhận rằng Toán học là môn học khô khan, ít
lời lẽ, ít biếm tấu, hài hước, người dạy cũng theo đó trở nên khô khan trong mắt
học sinh, họ cảm thấy việc học thật khó khăn, nặng nhọc…
Thứ hai, phần lớn học sinh ít quan tâm đến ứng dụng của Toán học trong
những tình huống thực tiễn ngoài đời sống. Việc học không phải là để tìm tòi, phát
triển kiến thức, tư duy mà đơn giản chỉ là để đối phó, học để vượt qua các kì kiểm
tra, để lên lớp, hay cao hơn là ra trường tìm việc làm mặc dù chẳng biết kiến thức

đã học sử dụng làm gì cho công việc sau này. Dần già, học sinh cảm thấy chán
nản, không có động cơ học tập lâu dài…
Thứ ba, chương trình phổ thông nhiều môn với lượng bài tập về nhà quá
nhiều, trong khi thời gian nghỉ ngơi, giải trí quá ít. Hơn nữa, học sinh còn phải
chịu nhiều áp lực từ phụ huynh, giáo viên nên tình trạng căng thẳng rất dễ xảy ra,
gây ảnh hưởng đến sức khỏe, cũng như kết quả học tập của học sinh.
Từ những nguyên nhân đó, nhóm chúng tôi đề xuất một số tình huống thực
tiễn thay cho một số bài toán thô - chay nhằm mang lại cho người học một môi
trường học thoải mái, thú vị,…, đồng thời cho học sinh thấy được kiến thức mình
học là có ý nghĩa thực tiễn, giúp học sinh học tốt và xác định động cơ học tập một
cách rõ ràng.
2. Cơ sở khoa học và thực tiễn của dự án
2.1. Tình huống là gì?
“Tình huống là một câu chuyện, có cốt chuyện và nhân vật, liên hệ
đến một hoàn cảnh cụ thể, từ góc độ cá nhân hay nhóm, và thường là hành
động chưa hoàn chỉnh. Đó là một câu chuyện cụ thể và chi tiết, chuyển nét
sống động và phức tạp của đời thực vào lớp học.” (Boehrer 1995)
2.2. Phƣơng pháp nghiên cứu tình huống – Case Study
6


“Phương pháp nghiên cứu tình huống là một kĩ thuật giảng dạy
trong đó những thành tố chính của một tình huống nghiên cứu được trình
bày cho người học với mục đích minh họa hoặc tạo kinh nghiệm giải quyết
vấn đề.” (Trần Thị Hồng Châu 2010, p.20).
“Phương pháp nghiên cứu tình huống là một phương pháp giảng
dạy dựa vào những ví dụ thực tế” (Marsick 1990, trích dẫn trong Trần Thị
Hồng Châu 2010, p.20), “được dùng để thúc đẩy hành động, tăng trưởng
và phát triển” (Galbraith & Zelenak 1991, trích dẫn trong Trần Thị Hồng
Châu 2010, p.20).

2.3. Tiền đề phát triển
2.3.1. Trên thế giới
Phương pháp nghiên cứu tình huống đã được nghiên cứu và ứng
dụng khá lâu ở các nước châu Mỹ, đầu tiên là ở Đại học Harvard.
“Ngay từ năm 1870, trường Đại học kinh doanh Harvard (người khởi
xướng là Christopher Columbus Langdell) đã áp dụng case study. Và
sau đó, từ năm 1909, nhà trường đã liên tục mời đại diện các doanh
nghiệp đến trường trình bày cho sinh viên nghe về các vấn đề trong
thực tiến kinh doanh, sau đó, yêu cầu các sinh viên phân tích, thảo luận
về các vấn đề, tình huống đó và đưa ra các kiến nghị về giải pháp. Năm
1921, cuốn sách đầu tiên về case study của Copeland ra đời. Học tập
kinh nghiệm của Trường Đại học kinh doanh Harvard, năm 1919,
trường đại học Western Ontario của Canada cũng đã bắt đầu áp dụng
case study trong giảng dạy kinh doanh (hai người khởi xướng là W.
Sherwood Fox, trưởng khoa cơ bản, và K.P.R Neville, trưởng phòng
giáo dục). Thậm chí, năm 1922, trường này còn thuê Ellis H. Morrow,
một cựu sinh viên Harvard, đến triển khai phương pháp này. Ngày nay,
Trường Kinh doanh Richard Ivey của Đại học Western Ontarino đã trở
thành cơ sở có uy tín số một ở Canada trong áp dụng case study vào
giảng dạy, và là đơn vị lớn thứ hai trên thế giới sản xuất tình huống.”
(Nguyễn Thị Phương Hoa n.d., p.1)
2.3.2. Tại Việt Nam
Từ một số năm trở lại đây, case study cũng đã được đưa vào áp dụng
trong giảng dạy ở các nhà trường đại học Việt Nam, đặc biệt ở các
ngành Y, Luật, Quản trị kinh doanh, tuy chưa phải ở mức phổ biến.
Trong đào tạo sư phạm, case study đã được sử dụng rộng rãi nhất là
trong vòng 20 năm trở lại đây và tỏ ra cực kỳ hiệu quả trong việc học
gắn với thực tiễn và làm cho các giờ học trở nên sinh động và hấp dẫn
7

2.4.

hơn (Nguyễn Thị Phương Hoa n.d., p.1). Ví dụ: Khoa quản lý công
nghiệp, ĐH Bách Khoa TPHCM (Vũ Thế Dũng n.d.); Đại học Thủ Dầu
Một và Đại học Tiền Giang (Phan Quan Việt n.d.)…
Những công trình nghiên cứu đã có liên quan đến dự án
Để thấy rằng dự án trên đây là có cơ sở, chúng tôi xin giới thiệu một
số công trình đã được nghiên cứu về tình huống trong giảng dạy Toán học
và các môn học khác.
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tình huống trong dạy học Giáo dục
học (Nguyễn Thị Phương Hoa n.d.)
- Tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học
Đại số và Giải tích nâng cao 11 – THPT (Nguyễn Thị Thanh Huyền
2011)
- Nghiên cứu xây dựng tình huống học tập và hướng dẫn học sinh giải
quyết tình huống học tập khi dạy học về chương “Chất rắn và chất lỏng.
Sự chuyển thể” (Vật lí 10 cơ bản) (Nguyễn Thị Trang 2009)
- Giáo dục môi trường thông qua dạy học hóa học lớp 10, 11 ở trường
Phổ thông (Trần Thị Hồng Châu 2010)
- …

8


NGÂN HÀNG TÌNH HUỐNG
CHƢƠNG I. HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC & PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
Tình huống 1 (Sáng tạo)
 Tên bài học: Phương trình lượng giác cơ bản
 Nội dung liên quan: Nghiệm của phương trình

𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝛼 ↔ 𝑥 = 𝛼 + 𝑘𝜋 𝑣ớ𝑖 𝑘 ∈ 𝑍
 Thời điểm tổ chức: Sau khi giới thiệu lí thuyết
 Thời lượng: 10 phút
 Chuẩn đầu ra: Áp dụng được công thức giải bài tập
 Tình huống:
Quốc vương của vương quốc Chặt Mốt (tên gọi Chặt Mốt là vì những người có võ
ở vương quốc này đều bị chột mắt bẩm sinh) tên là Khột Chông (vì ông sinh ra không
bị chột nên được vua cha đặt tên Khột Chông). Một hôm, ông cùng quan văn và quan
võ đến ngự hoa viên ngắm cảnh, chợt thấy quả đào chín mọng ở trên cây, bèn bảo
quan võ trổ tài nghệ bắn rơi quả đào. Quan võ tuổi cao mắt yếu, lại bị chột, sợ bắn hụt
thì mất mặt, thêm phần ganh tỵ với quan văn vì hai mắt sáng tinh tường, nên đã nghĩ
ra kế làm xấu mặt quan văn.
- Bẩm Hoàng thượng, tài nghệ của thần ai ai đều biết. Mặc dù là quan võ nhưng
văn chương của thần cũng không kém. Vậy xin thử tài quan văn, xem ông ta ngoài
học sâu hiểu rộng, có biết gì về võ nghệ, kiếm cung hay không. Xin Hoàng thượng
chuẩn tấu cho quan văn thử bắn rơi quả đào này! – Quan võ
- Ý kiến hay. Trẩm chuẩn tấu! – Hoàng thượng
Quan văn tài trí hơn người, biết quan võ chơi mình nên tìm kế nghi binh xin
Hoàng thượng cho về nhà chuẩn bị. Quan văn về nhà gặp thầy giáo dạy toán của con
mình, bèn kể chuyện khó xử, thầy mách nước cho người đi đo được các số liệu sau:
khoảng cách từ tâm quả đào đến điểm A vuông góc mặt đất là 10m, khoảng cách từ
vai quan văn đến chân là 1.5m, và làm dấu vị trí đứng bắn với khoảng cách từ A tới
chỗ đứng bắn là 8.5m.
Các bạn nghĩ xem với các số liệu đó thì có giúp ích gì cho quan văn không?
 Hướng giải quyết:
Gọi B là điểm trên đường thẳng từ tâm quả đào đến A, cách A một khoảng 1.5m.
9


Nhận xét rằng các vị trí tâm quả đào, vai của quan võ, và điểm B tạo thành một

tam giác vuông tại B. Gọi 𝛼 là góc nhắm bắn. Theo công thức lượng giác đã học ở lớp
10 thì:
𝑡𝑎𝑛𝛼 =

𝑐ạ𝑛𝑕 đố𝑖
𝑐ạ𝑛𝑕 𝑘ề

=

10 − 1.5
=1
8.5

 arctan(1)= 45 độ.

Vậy những số liệu trên hoàn toàn có thể giúp quan văn bắn trúng mục tiêu, chỉ cần
giương cung 1 góc 45 độ so với mặt đất thì có thể bắn rơi quả đào.

10


CHƢƠNG II. TỔ HỢP - XÁC SUẤT
Tình huống 2 (Sáng tạo)






Tên bài học: Quy tắc đếm

Nội dung liên quan: Quy tắc nhân
Thời điểm tổ chức: Sau khi giới thiệu lí thuyết và làm một số ví dụ cơ bản
Thời lượng: 10 phút
Chuẩn đầu ra: Xác định được sử dụng quy tắc nhân trong tình huống nào để phân
biệt với quy tắc cộng
 Tình huống:
Sau khi học bài quy tắc đếm, Thông Văn Minh về nhà lấy bài tập ra làm. Cậu đọc
đề bài “Số 𝑛 = 25 . 34 . 72
a) Có tất cả bao nhiêu ước số dương?
b) Có tất cả bao nhiêu ước số dương chia hết cho 6?”
Cậu hăng hái giải như sau:
“Nếu m là một ước số dương của n thì m phải có dạng 𝑚 = 2𝑘 . 3𝑙 . 7𝑠 , với k chạy
từ 0 đến 5, l chạy từ 0 đến 4, s chạy từ 0 đến 2.
a) Như vậy để chọn k có 5 cách, chọn l có 4 cách và chọn s có 2 cách.
Số cách chọn (k,l,s) để tạo thành m là 5×4×2 = 40 cách, tức là n có tất cả 40 ước
số dương.
b) Ta có 2×3 chia hết cho 6, cho nên bội số của 2×3 cũng chia hết cho 6.
Bội số của 2×3 có dạng 2𝑝 . 3𝑞 , ta thấy để chọn p có 5 cách, chọn q có 4 cách nên
số ước số dương chia hết cho 6 là 5×4 = 20”
Bạn thấy bài giải trên của Minh đã chính xác chưa, có cần bổ sung hay sữa chửa
chỗ nào không? Vì sao?
 Cách tổ chức và hướng giải quyết:
Giáo viên cho học sinh thảo luận nhóm, có thể là thi xem nhóm nào tìm được
nhiều lỗi sai nhất.

11


Bài giải của Minh có 3 lỗi sai chính dẫn đến kết quả chưa chính xác, tuy nhiên
việc đặt m là dạng của ước số dương là việc rất tốt để việc giải bài toán này rõ ràng

hơn.
Lỗi sai thứ nhất: “chọn k có 5 cách, chọn l có 4 cách và chọn s có 2 cách”
Lý do dẫn đến lỗi sai này là ở dòng đặt dạng tổng quát, Minh không nên viết là
“với k chạy từ 0 đến 5, l chạy từ 0 đến 4, s chạy từ 0 đến 2” mà nên đổi thành kí hiệu,
tức là “với 0 ≤ k ≤ 5, 0 ≤ l ≤ 4, 0 ≤ s ≤ 2”. Nếu đếm đúng thì chọn k phải có 6 cách,
chọn l phải có 5 cách và chọn s phải có 3 cách (Minh quên đếm số 0).
Vì vậy đáp số ở câu a) phải là 6×5×3 = 90 ước số dương.
Lỗi sai thứ hai: “Ta có 2×3 chia hết cho 6, cho nên bội số của 2×3 cũng chia hết
cho 6”. Bình thường thì đây là một nhận xét đúng nhưng trong trường hợp này
𝑚 = 2𝑘 . 3𝑙 . 7𝑠 , thì nhận xét trên bị thiếu, do tích của một số nhân với một số chia hết
cho 6 thì cũng chia hết cho 6. Như vậy, để chính xác phải nhận xét là “Ta có 2×3
chia hết cho 6, cho nên bội số của 2×3 cũng chia hết cho 6 và tích của một số nhân
với 2×3 cũng chia hết cho 6”.
Lỗi sai thứ ba: “chọn p có 5 cách, chọn q có 4 cách”, tương tự ở lỗi sai thứ nhất,
Minh không đổi điều kiện của k, l, s ra kí hiệu nên việc chọn số cách của p là q mặc
dù đúng nhưng chỉ là ngẫu nhiên, nếu trong bài tập khác thì sẽ sai, và việc đặt p, q
cũng không cần thiết, có thể sử dụng luôn cách đặt ban đầu. Lưu ý ở đây là vì sao
Minh lại ngẫu nhiên chọn đúng 5 cách của p, và 4 cách của q?
Xét lại dòng đặt dạng của m “Nếu m là một ước số dương của n thì m phải có
dạng 𝑚 = 2𝑘 . 3𝑙 . 7𝑠 , với 0 ≤ k ≤ 5, 0 ≤ l ≤ 4, 0 ≤ s ≤ 2”. Chú ý rằng nếu k = 0 hoặc l =
0 thì m không là bội số của 6, việc loại trừ trường hợp này của Minh là do ngẫu nhiên
từ câu a. Do đó, “Nếu m là một ước số dương của n chia hết cho 6 thì m phải có dạng
𝑚 = 2𝑘 . 3𝑙 . 7𝑠 , với 0 < k ≤ 5, 0 < l ≤ 4, 0 ≤ s ≤ 2”. Vậy số ước số dương của n chia
hết cho 6 là 5×4×3 = 60.
Tình huống 3 (Sáng tạo)
 Tên bài học: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
 Nội dung liên quan: Tổ hợp chập k của n phần tử
𝑛!
𝐶𝑛𝑘 =
𝑣ớ𝑖 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛

𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
 Thời điểm tổ chức: Sau khi giới thiệu phần lí thuyết
12


 Thời lượng: 7 phút
 Chuẩn đầu ra: Xác định được công thức cần dùng trong bài toán tương tự
 Tình huống:
Thế giới đang bị lâm nguy bởi thế lực hắc ám. Giáo sư Dumbledore - Hiệu trưởng
của trường học phép thuật Howargt chọn ra một nhóm gồm 5 phù thủy để đi cứu thế
giới. Trong đó có một phù thủy khối 10, hai phù thủy khối 11 và hai phù thủy khối 12.
Trường có 20 phù thủy khối 10, 25 phù thủy khối 11 và 10 phù thủy khối 12. Khả
năng của các phù thủy khá tương đồng với nhau vì vậy việc chọn lựa là ngẫu nhiên.
Theo bạn giáo sư Dumbledore có bao nhiêu cách để chọn ra được một đội cứu tinh
cho thế giới?
 Hướng giải quyết:
Số cách chọn 1 trong 20 phù thủy khối 10 là một tổ hợp chập 1 của 20 phần tử nên
1
2
2
có 𝐶20
cách. Tương tự ta có 𝐶25
, 𝐶10
cách để chọn phù thủy trong khối 11 và khối 12.
1 2 2
Vậy theo quy tắc nhân ta có tất cả 𝐶20
𝐶25 𝐶10 cách để chọn một đội cứu tinh.

Tình huống 4 (Sáng tạo)
 Tên bài học: Xác suất của biến cố

 Nội dung liên quan: Định nghĩa xác suất của biến cố A
𝑛(𝐴)
𝑃 𝐴 =
𝑛(Ω)
 Thời điểm tổ chức: Dẫn nhập vào bài xác suất
 Thời lượng: 7 phút
 Chuẩn đầu ra: Trình bày được định nghĩa về xác suất
 Tình huống:
Trong một cuộc thi có tên “Ai là người thông minh nhất hành tinh” được tổ chức
Đông Dương. Tham gia vào cuộc thi có 3 đại diện đến từ 3 đấ t nước. Đầu tiên là nước
bạn Lào, kế đế n là người anh em Campuchia và cuố i cùng là chủ nhà Viê ̣t Nam . Để
tìm ra ai là người thông minh nhất, người tham gia cần vượt qua rất nhiều câu hỏi hóc
búa. Trạng Quỷnh thông minh có tiếng lại còn đậu Trạng Nguyên năm đó , nên đươ ̣c
chọn làm đại diện cho Việt Nam để so tài cùng các nước khác . Bước vào cuô ̣c thi với
mô ̣t tinh thầ n sảng khoải và tự tin , Trạng Quỷnh khẳng định mình sẽ toàn thắng cuộc
thi này. Trạng Quỳnh là câ ̣u của Tra ̣ng Quỷnh là người khiêm tố n và tài trí hơn người
nhưng không muố n cháu mình hố ng hách như thế liề n phán rằ ng : “thằ ng Quỷnh lùn !
13


Tao cá khả năng mày thắ ng không hơn 50% đâu con”. Nghe vâ ̣y Quỷnh ta bố i rố i và
không biế t câ ̣u mình nói đúng hay không.
Theo ba ̣n, Trạng Quỳnh tiên đoán đúng hay sai ?
 Hướng giải quyết:
Với ba nước tham gia, mỗi nước đều có xác suất chiến thắng giống nhau. Nên khả
năng chiến thắng của Tra ̣ng Quỷnh là 1/3 hay 33%. Như vâ ̣y dự đoán của Tra ̣ng
Quỳnh là đúng.
Giáo viên giới thiệu định nghĩa với 𝑛 𝐴 = 1, 𝑛 Ω = 3.
Tình huống 5 (Thu thập có sáng tạo)
 Tên bài học: Xác suất của biến cố

 Nội dung liên quan: Công thức xác suất
𝑃 𝐴. 𝐵 = 𝑃 𝐴 . 𝑃 𝐵 (khi và chỉ khi A, B là hai biến cố độc lập)
 Thời điểm tổ chức: Sau khi giới thiệu lí thuyết
 Thời lượng: 7 phút
 Chuẩn đầu ra: Áp dụng được công thức giải bài tập
 Tình huống: Bốc nắp may mắn (Nguyễn Thị Thanh Huyền 2011, p.81)
Trong buổi hội nghị tri ân khách hàng, công ty bia Tiger có tổ chức “bốc nắp may
mắn”. Họ đánh ngẫu nhiên từ 1 đến 20 lên 20 cái ghế trong các bàn tiệc, những người
ngồi ở những vị trí được đánh số sẽ may mắn có cơ hội tham gia trò chơi “bốc nắp
may mắn” với giải thưởng là một chiếc xe máy Sirius 2014. Họ đặt một chiếc hộp đặc
biệt có 21 nắp khoen trên sân khấu, trong đó có 2 nắp ghi: “Chúc mừng bạn đã trúng
thưởng xe Sirius 2014” và để sự khởi đầu tốt đẹp, họ ưu tiên cho người đầu tiên được
bốc 2 nắp khoen. Bạn tình cờ tham gia buổi hội nghị đó và ngồi lên chiếc ghế được
đánh số 1. Bạn rất may mắn là người được bốc đầu tiên khi giải thưởng còn nguyên
và là người duy nhất được bốc 2 nắp. Hãy dự đoán xác suất để cả 2 nắp bạn bốc được
đều trúng thưởng?
 Cách tổ chức và hướng giải quyết:
Sử dụng phương pháp thảo luận nhóm.
Gọi A là biến cố nắp khoen đầu trúng thưởng. Ta có:
2
𝑃 𝐴 =
21
B là biến cố nắp khoen thứ hai trúng thưởng.
C là biến cố cả 2 nắp đều trúng thưởng.
Khi bạn bốc lần đầu thì trong hộp có 21 nắp trong đó có 2 nắp trúng.
Khi biến cố A đã xảy ra thì còn lại 20 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng. Do đó:

14

1
20
Từ đó ta có xác suất để cả 2 nắp bốc đều có thưởng là:
2
1
1
𝑃 𝐶 = 𝑃 𝐴 . 𝑃 𝐵\𝐴 =
×
=
≈ 0,00476
21 20 210
𝑃 𝐵\𝐴 =

Tình huống 6 (Sáng tạo)
 Tên bài học: Xác suất của biến cố
 Nội dung liên quan: Công thức xác suất
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵) (nếu A và B xung khắc)
𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃(𝐴)
𝑃 𝐴. 𝐵 = 𝑃 𝐴 . 𝑃 𝐵 (khi và chỉ khi A, B là 2 biến cố độc lập)
 Thời điểm tổ chức: Sau khi giới thiệu lí thuyết
 Thời lượng: 10 phút
 Chuẩn đầu ra: Xác định được công thức cần dùng trong bài toán tương tự
 Tình huống:
Để được ra trường Mai phải có bằng B vi tính, Mai tìm kiếm thông tin thì biết
được có 2 trung tâm tin học uy tín là Thành Trí và Quang Minh.
Ở trung tâm Thành Trí, thí sinh được phép thi 3 lần với xác suất lần đầu vượt qua
kì thi là 0,9. Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7. Nếu trượt cả
hai lần thì xác suất vượt qua kì thi ở lần thứ ba là 0,3.
Tại trung tâm Quang Minh thí sinh được phép thi 2 lần với xác suất lần đầu vượt
qua kì thi là 0,9. Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,8.

Năm nay Mai đã là sinh viên năm thứ 6, nếu không có bằng bạn ấy sẽ bị đuổi khỏi
trường, vậy nên Mai cần chọn trung tâm có xác suất đậu cao để học và thi.
Bình góp ý nên chọn trung tâm Thành Trí vì thi 3 lần thì xác suất đậu sẽ cao hơn.
Long thì bảo cả hai trung tâm xác suất đậu như nhau, nên chọn trung tâm nào rẻ
hơn mà học.
Phúc thì cho rằng trung tâm Quang Minh có xác suất đậu cao hơn vì xác suất lần 2
của trung tâm này cao hơn.
Mai băn khoăn không biết chọn trung tâm nào. Bạn nghĩ rằng trong ba người bạn
của Mai, ai là người nói đúng, bạn hãy chứng minh cho Mai thấy điều đó.
 Cách tổ chức và hướng giải quyết:
Sử dụng phương pháp thảo luận nhóm. Nhận xét rằng chắc chắn có một người
chọn đúng nhưng giải thích chưa hợp lý, vì họ chỉ lựa chọn theo cảm quan. Vậy ai là
người chọn đúng, và giải thích như thế nào mới thuyết phục?
Gọi 𝐴𝑖 là biến cố Mai thi đậu lần thứ 𝑖 (𝑖 = 1,2,3)
B là biến cố để Mai thi đậu.
Trường hợp 1: Chọn trung tâm Thành Trí
Ta có 𝐵 = 𝐴1 ∪ 𝐴1 𝐴2 ∪ ( 𝐴1 𝐴2 𝐴3 )
Suy ra 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐴1 𝐴2 + 𝑃(𝐴1 𝐴2 𝐴3 )
15


Trong đó
𝑃 𝐴1 = 0,9
𝑃 𝐴1 𝐴2 = 𝑃 𝐴1 . 𝑃 𝐴2 \𝐴1 = 0,1 . 0,7
𝑃 𝐴1 𝐴2 𝐴3 = 𝑃 𝐴1 . 𝑃 𝐴2 \𝐴1 . 𝑃 𝐴3 \𝐴1 𝐴2 = 0,1.0,3.0,3
Vậy 𝑃 𝐵 = 0,9 + 0,1.0,7 + 0,1.0,3.0,3 = 0,979
Trường hợp 2: Chọn trung tâm Quang Minh
Ta có 𝐵 = 𝐴1 ∪ (𝐴1 𝐴2 )
Suy ra 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐴1 𝐴2
Trong đó

𝑃 𝐴1 = 0,9
𝑃 𝐴1 𝐴2 = 𝑃 𝐴1 . 𝑃 𝐴2 \𝐴1 = 0,1 . 0,8
Vậy 𝑃 𝐵 = 0,9 + 0,1.0,8 = 0,98
Kết luận: Chọn trung tâm Quang Minh thì xác suất đậu sẽ cao hơn.
Tình huống 7 (Sáng tạo)
 Tên bài học: Xác suất của biến cố
 Nội dung liên quan: Công thức xác suất
𝑃 𝐴 =1−𝑃 𝐴
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 . 𝑃 𝐵 𝑣ớ𝑖 𝐴, 𝐵 𝑙à 𝑕𝑎𝑖 𝑏𝑖ế𝑛 𝑐ố độ𝑐 𝑙ậ𝑝
 Thời điểm tổ chức: Dẫn nhập lí thuyết
 Thời lượng: 10 phút
 Chuẩn đầu ra: Xác định được điểm sai của bài toán
 Tình huống:
Nhà anh Nam có 3 anh em nhưng 2 người anh của Nam chỉ sinh được con gái.
Năm nay Nam 32 tuổi, hiện kinh tế gia đình đã ổn định, vợ chồng anh bắt đầu dự định
sinh con. Vợ chồng anh nghĩ rằng dù sinh được con trai hay con gái cũng sẽ thương
yêu như nhau, tuy nhiên anh chị vẫn mong muốn có được 1 đứa con trai để nối dõi
tông đường. Chính sách của nhà nước đưa ra là mỗi gia đình chỉ nên có từ 1 đến 2
con, vợ chồng anh rất đồng tình với chính sách này để nuôi con được tốt hơn, và
quyết định chỉ sinh 2 con. Vợ chồng anh đi đến gặp bác sĩ để được nhờ tư vấn, nhưng
không may lại đến nhầm phòng mạch của một bác sĩ chuyên “lường gạt”. Tại đây bác
sĩ ấy tư vấn như sau:
“Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là 0,51.
Nếu anh chị muốn sinh ít nhất 1 đứa con trai trong hai lần sinh thì xác suất chỉ là
0,51. Tức chỉ 51% bởi vì:
Xác suất sinh 1 trai, 1 gái là: 0,51.0,49
Xác suất cả hai lần sinh con trai là: 0,51.0,51
Vậy xác suất trong hai lần sinh có ít nhất một lần sinh con trai là:
0,51.0,51 + 0,51.0,49 = 0,51
Vậy có cách nào tăng xác suất này lên không bác sĩ? - Anh Nam thắc mắc

Bác sĩ trả lời:
16


Cách thì không phải không có, nhưng chi phí khá cao, tôi có thể tăng xác suất này
lên 76% với giá 10 triệu đồng. Tăng khả năng có con trai lên 25% chỉ với 10 triệu
đồng tôi nghĩ cũng đáng đồng tiền bát gạo rồi. Anh chị thấy thế nào?
Được như vậy chúng tôi cũng thấy khả quan lắm rồi, tuy nhiên 10 triệu đồng
không phải là nhỏ. Bác sĩ cho vợ chồng em một đêm để suy nghĩ được không ạ?- Vợ
chồng anh Nam
Không sao, tôi sẽ chờ! Hi vọng anh chị đưa ra lựa chọn đúng đắn, chỗ của chúng
tôi rất uy tín. Chào anh chị! – Bác sĩ”
Vợ chồng anh Nam về nhà hỏi ý kiến mọi người về việc này. Trong nhà có My là
con gái lớn của anh cả Nam, năm nay đang học lớp 11. My nghe xong câu chuyện thì
xin phép nêu ý kiến:
“Bác sĩ tính sai rồi chú Nam ạ! Theo con thì:
Xác suất lần đầu sinh con trai và lần sau sinh con gái là: 0,51.0,49
Xác suất lần đầu sinh con gái và lần sau sinh con trai là: 0,49.0,51
Xác suất cả hai lần sinh con trai là: 0,51.0,51
Vậy xác suất trong hai lần sinh có ít nhất một lần sinh con trai là:
0,51.0,49 + 0,49.0,51 + 0,51.0,51 = 0,7599
Nên thật ra không cần làm gì thì từ đầu xác suất có ít nhất 1 con trai của chú đã
là 75,99% ≈ 76% rồi ạ! Con nghĩ người bác sĩ đó là một tay lường gạt thôi.”
Theo bạn, giữa hai người: Bác sĩ và My, có ai tính đúng không? Tại sao?
 Cách tổ chức và hướng giải quyết:
Giáo viên cho học sinh thảo luận nhóm. Sau đó, đại diện mỗi nhóm sẽ trình bày ý
kiến của nhóm mình. Giáo viên tổng hợp và giới thiệu lí thuyết.
Nhận xét rằng kết quả My tính là đúng nhưng đối với những tình huống có quá
nhiều trường hợp, ví dụ như sinh 5 lần, 10 lần chẳng hạn, thì cách tính của My sẽ rất
vất vả, thậm chí là tính không nổi. Giáo viên sẽ giới thiệu một công cụ hữu dụng cho

những tình huống như thế này, đó là công thức tính xác suất dựa trên biến cố đối.
Gọi A là biến cố hai lần sinh có ít nhất 1 con trai.
A là biến cố hai lần sinh toàn con gái.
Bi là biến cố lần thứ 𝑖 sinh con gái (𝑖 = 1,2). Suy ra 𝐴 = 𝐵1 ∩ 𝐵2
Khi đó ta có:
𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃 𝐵1 . 𝑃 𝐵2 = 1 − 0,49.0,49 = 0,7599
Tình huống 8 (Sáng tạo)
 Tên bài học: Xác suất của biến cố
 Nội dung liên quan: Công thức xác suất
𝑛(𝐴)
n(Ω)
 Thời điểm tổ chức: Sau khi giới thiệu lí thuyết
 Thời lượng: 7 phút
 Chuẩn đầu ra: Áp dụng được công thức giải bài tập
𝑃 𝐴 =

17


 Tình huống:
Năm nay Hùng 18 tuổi, bạn ấy muốn được tham gia giao thông bằng xe máy
nhưng pháp luật quy định bạn phải có giấy phép lái xe hạng A1. Hùng xin bố mẹ đi
học và thi bằng lái. Bạn ấy được phát một quyển đề cương ôn thi với 150 câu hỏi.
Thầy hướng dẫn cho biết đề thi có 20 câu, và phải hoàn thành ít nhất 16 câu thì mới
đạt yêu cầu ở phần thi lí thuyết. Do mải chơi nên đến ngày cuối cùng Hùng mới bắt
đầu học, dù đã cố gắng hết sức nhưng Hùng chỉ tiếp thu được 100 câu. Theo bạn, xác
suất Hùng thi đậu là bao nhiêu phần trăm?
 Cách tổ chức và hướng giải quyết:
Có thể sử dụng tình huống này làm một bài kiểm tra nhanh.
Chọn 15 câu làm một đề, ta có:

20
𝑛(Ω) = 𝐶150
16 4
𝑛 𝐴 = 𝐶100
𝐶50 ⟹ 𝑃 𝐴 =

Vậy xác suất Hùng thi đậu là 8.54%

16 4
𝐶100
𝐶50
= 0.0854 = 8.54%
20
𝐶150

Tình huống 9 (Thu thập)
 Tên bài học: Xác suất của biến cố
 Nội dung liên quan: Biến cố “không xảy ra” hay biến cố đối của A
𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃(𝐴)
 Thời điểm tổ chức: Cuối buổi học
 Thời lượng: 10 phút
 Chuẩn đầu ra: Xác định được xác xuất biến cố đối của A
 Tình huống: Chơi gieo xúc sắc (Ứng dụng của toán học phổ thông vào thực tiễn,
31 tháng 5-2013, p.57)
Tèo và Tí chơi trò gieo xúc sắc. Tèo quy định hai cách gieo như sau:
Cách 1: Gieo một lần 4 con xúc sắc, nếu xuất hiện một mặt 6 chấm là thắng.
Cách 2: Gieo 24 lần 1 cặp xúc sắc, nếu xuất hiện một cặp (6,6) là thắng.
Tèo chấp Tí gieo trước và nếu kết quả gieo của hai người giống nhau thì Tí thắng.
Nếu bạn là Tí, bạn sẽ chọn cách gieo nào?
 Cách tổ chức và hướng giải quyết:

Cách 1:
Gọi A là biến cố “gieo được ít nhất một mặt 6 chấm” trong phép thử “gieo một lần
4 con xúc sắc”.
54
54
𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃 𝐴 = 4 → 𝑃 𝐴 = 1 − 4 ≈ 0.5177
6
6
18


Cách 2:
Khi gieo 1 lần một cặp xúc sắc có 36 kết quả đối xứng. Nên gieo 24 lần một cặp
xúc sắc ta có 3624 kết quả đối xứng. Gọi B là biến cố “được một cặp (6,6) ít nhất một
lần” trong phép thử gieo 24 lần một cặp xúc sắc. Suy ra, biến cố 𝐵 là “không được
cặp (6,6) nào”. Ta có:
3524
𝑃 𝐵 = 24 → 𝑃 𝐵 = 1 − 𝑃 𝐵 = 0.4914
36
Ta thấy P(A) > P(B) nên chơi theo cách 1 khả năng thắng sẽ cao hơn.

19


CHƢƠNG III. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN
Tình huống 10 (Sáng tạo)
 Tên bài học: Cấp số cộng
 Nội dung liên quan: Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng
𝑛(𝑢1 + 𝑢𝑛 )
𝑛(𝑛 − 1)

𝑆𝑛 =
𝑕𝑎𝑦 𝑆𝑛 = 𝑛𝑢1 +
𝑑
2
2
 Thời điểm tổ chức: Mở đầu lý thuyết (tạo vấn đề từ tình huống)
 Thời lượng: 25 phút
 Chuẩn đầu ra: Xác định được công thức trên trong tình huống tương tự
 Tình huống: Chọn công ty làm việc
Bạn nộp hồ sơ xin việc. Có hai công ty muốn nhận bạn vào làm nhưng do tính chất
công việc rất khác nhau nên mức lương cũng rất khác nhau, cụ thể là:
Tình huống 1a:
Công ty A trả cho bạn tháng lương đầu là 4 triệu, sau đó mỗi tháng sẽ tăng cho bạn
thêm 200 ngàn nữa.
Công ty B trả cho bạn tháng lương đầu là 3.8 triệu, sau đó mỗi quý sẽ tăng thêm
cho bạn 900 ngàn.
Bạn lo lắng rằng sau một thời gian làm việc, bạn không đủ năng lực sẽ bị sa thải
hoặc vì một lý do cá nhân nào đó khiến bạn không tiếp tục công việc này được. Vì
vậy bạn cân nhắc xem trong một khoảng thời gian nào đó thì nên chọn công ty nào để
làm việc thì sẽ kiếm được nhiều tiền hơn (Gợi ý: so sánh tổng lương nhận được sau
mỗi tháng của 2 công ty). Sau đó rút ra nhận xét về tổng lương của mỗi công ty qua
các tháng.
Tình huống 1b:
Công ty C trả cho bạn tháng lương đầu là 4 triệu, sau đó mỗi tháng sẽ tăng cho bạn
thêm 200 ngàn nữa.
Công ty D trả cho bạn tháng lương đầu là 3 triệu, sau đó mỗi quý sẽ tăng thêm cho
bạn 700 ngàn.
Như tình huống trên, bạn cũng muốn tính thử xem sau một thời gian nào đó thì
làm việc ở công ty nào sẽ kiếm được nhiều tiền hơn. Sau tình huống 1a, bạn đã biết
rằng để tính được điều đó thì cần phải tìm thời gian làm việc để tổng lương ở hai công

ty bằng nhau là bao lâu? Vậy bạn hãy tính thử đi.
 Cách tổ chức và hướng giải quyết:
20


Giáo viên cho học sinh suy nghĩ – bắt cặp – chia sẻ để giải quyết tình huống 1a.
Bằng kĩ năng tính toán thông thường học sinh có thể tự tính lương nhận được qua các
tháng ở công ty A là 4 triệu, 4.2 triệu, 4.4 triệu, 4.6 triệu, 4.8 triệu, 5.0 triệu,...
công ty B là 3.8 triệu, 4.1 triệu, 4.4 triệu, 4.7 triệu, 5.0 triệu, 5.1 triệu,...
Từ đó tính tổng lương ở mỗi công ty sau 2 tháng, 3 tháng, 4 tháng, 5 tháng, 6
tháng,… Và có thể dễ dàng nhận xét rằng nếu nghỉ làm sau 5 tháng thì tổng lương
nhận được ở công ty A và B là như nhau (bằng 22 triệu), nếu nghỉ trước 5 tháng thì
tổng lương nhận được ở công ty A lớn hơn, nên chọn làm ở công ty A, ngược lại nếu
nghỉ làm từ tháng thứ 6 trở đi thì tổng lương nhận được ở công ty B lớn hơn, nên chọn
làm việc ở công ty B. Việc tính tổng lương nhận được này cùng với việc dự đoán thời
gian làm việc sẽ giúp bạn xác định nên chọn lựa công ty nào làm việc để kiếm được
nhiều tiền hơn.
Tiếp theo, giáo viên yêu cầu học sinh thảo luận nhóm để giải quyết tình huống 1b.
Nhìn sơ qua, có vẻ tình huống 1b cũng tương tự như tình huống 1a, nhưng học sinh sẽ
nhanh chóng phát hiện ra rằng việc áp dụng tương tự là không thể, vì dãy số cần viết
ra biểu thị cho mức lương qua các tháng quá dài. Giáo viên sẽ giới thiệu cho học sinh
một công cụ giải toán hiệu quả cho những bài tập, tình huống thế này, đó là công thức
định lí 3: Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng.
Viết 4 triệu là 4, 200 ngàn là 0.2, 3 triệu là 3, 700 ngàn là 0.7, chỉ việc thay vào
công thức ta có:
𝑆𝑛 = 4𝑛 +

𝑛(𝑛 − 1)
𝑛(𝑛 − 1) 0.7
× 0.2 1 , 𝑆𝑛 = 3𝑛 +

×
(2)
2
2
3

Cho vế phải của phương trình (1) và (2) bằng nhau, dễ dàng tính được thời gian
làm việc để tổng lương ở hai công ty bằng nhau là 𝑛 = 61.
Tình huống 11 (Sáng tạo)
 Tên bài học: Cấp số cộng
 Nội dung liên quan: Số hạng tổng quát của một cấp số cộng
𝑢𝑛 = 𝑢1 + 𝑛 − 1 𝑑 𝑣ớ𝑖 𝑛 ≥ 2
 Thời điểm tổ chức: Sau khi học xong lý thuyết và làm một số bài tập cơ bản
 Thời lượng: 15 phút
 Chuẩn đầu ra: Áp dụng được công thức để tìm 𝑢𝑛 và 𝑛
 Tình huống: Vua Hùng Vương gả con gái
Vua Hùng Vương thứ 18 có một người con gái tên là Mị Nương, sắc đẹp tuyệt
trần. Ông muốn tìm cho nàng một đức lang quân như ý. Nghe tin vua Hùng kén rể,
21


một hôm có hai chàng trai đến xin được sánh duyên cùng công chúa. Một người là
vua nơi núi cao rừng thẳm – Sơn Tinh, một người là vua nơi biển cả bao la – Thủy
Tinh. Không biết nên chọn ai, ông bèn phán:
- Con ta thì chỉ có một, mà ai cũng đều tài giỏi. Để công bằng ta sẽ tổ chức cuộc
thi sau, ai chiến thắng sẽ trở thành phò mã. Hai ngươi hãy xây dựng cho ta một cung
điện 10 tầng. Yêu cầu là tầng trên cùng phải được xây bởi 300 viên gạch, mỗi tầng
liên tiếp phía dưới cần thêm 400 viên gạch nữa. Và hai ngươi luân phiên nhau xây,
người đầu xây 100 viên gạch thì người sau xây 300 viên, rồi 500, 700 viên,…. Đến
khi nào cung điện xây xong, người đặt viên gạch cuối cùng sẽ là người chiến thắng.

Nếu là Sơn Tinh, bạn làm sao để có thể là người chiến thắng?
 Cách tổ chức và hướng giải quyết:
Giáo viên cho học sinh suy nghĩ – bắt cặp – chia sẻ để phân tích tình huống theo
các câu hỏi gợi mở như:
- Số viên gạch trong mỗi tầng của cung điện có gì đặc biệt?
- 300 viên gạch trên tầng đầu tiên thể hiện cái gì?
- Cung điện có 10 tầng thể hiện cái gì?
- Vậy phải áp dụng công thức nào cho bài tập này?
- Giả sử tổng số viên gạch để xây cung điện là 4000 viên, nó nói lên được điều gì?
- Người đặt viên gạch cuối cùng lên cung điện có phải xác định lượt cuối cùng của
việc xây đã kết thúc?
- Vậy có nên xây trước không?
Sau khi trả lời các câu hỏi, học sinh đã xác định được giả thiết của bài toán. Giáo
viên cho học sinh tự làm tiếp.
Bài giải cần áp dụng công thức số hạng tổng quát của một cấp số cộng hai lần. Lần
1 với 𝑢1 , 𝑛, 𝑑 có sẵn, có thể tính được 𝑢𝑛 = 3900. Nhận xét rằng hai người luân phiên
nhau xây số viên gạch là 100, 300, 500, 700,…, đó là dãy số tăng theo cấp số cộng
với công sai là 200. Như vậy, áp dụng công thức lần 2 với 𝑢𝑛 = 𝑢𝑛′ ′ , 𝑢1′ = 100, 𝑑′ =
200 có thể tính được 𝑛′ = 20, tức là để chiến thắng, Sơn Tinh phải là người xây sau.
Tình huống 12 (Sáng tạo)
 Tên bài học: Cấp số cộng
 Nội dung liên quan: Số hạng tổng quát của một cấp số cộng
𝑢𝑛 = 𝑢1 + 𝑛 − 1 𝑑 𝑣ớ𝑖 𝑛 ≥ 2
22







Thời điểm tổ chức: Sau khi giải xong tình huống “Vua Hùng Vương gả con gái”
Thời lượng: 15 phút
Chuẩn đầu ra: Áp dụng được công thức để tìm 𝑑 và 𝑛
Tình huống: Gửi tiết kiệm ngân hàng

Ba em mới bán đàn bò được 120 triệu đồng, ba dẫn em đến ngân hàng ACB gửi
tiết kiệm. Ở đây, nhân viên ngân hàng cho ba em biết có hai gói gửi tiết kiệm.
Gói 1: Gửi theo tháng, lãi suất mỗi tháng là 1.5%. Sau mỗi tháng, ba em có thể ra
rút cả vốn lẫn lãi rồi sau đó có thể gửi lại tiếp, hoặc nếu ba em không rút thì phần tiền
vốn vẫn được tính lãi với lãi suất cũ, nhưng phần tiền lãi sẽ được ngân hàng giữ riêng
chứ không được góp chung vào vốn để tính lãi. Nghĩa là, gửi 120 triệu đồng sau 1
tháng tiền lãi là 1.8 triệu, số tiền lãi 1.8 triệu này ngân hàng sẽ giữ hộ ba em và cộng
dồn vào tiền lãi các tháng tiếp theo, số tiền vốn 120 triệu vẫn được tính lãi với lãi suất
1.5%. Nhân viên ngân hàng lưu ý rằng, nếu ba em rút sau mỗi tháng thì lãi suất sẽ
không giữ ở mức 1.5% mà sẽ lên xuống tùy theo tình hình lãi suất.
Gói 2: Gửi theo năm, lãi suất cả năm là 10.2%, và bắt đầu từ tháng thứ hai trở đi,
mỗi tháng lãi suất cả năm sẽ tăng thêm 1%.
Ba em quyết định không rút tiền hằng tháng vì lãi suất ngân hàng ngày càng giảm
và cũng không rút lãi ra vì sợ xài mất. Ba em phân vân không biết nên chọn gói nào
để số tiền (tổng vốn và lãi) tăng lên 150 triệu đồng nhanh hơn. Nhân viên ngân hàng
khuyên ba em nên chọn gói số 2 nhưng ba tỏ ra không tin tưởng nhân viên ngân hàng
cho lắm. Vậy em hãy giúp ba mình đưa ra lựa chọn hợp lý đi!
 Cách tổ chức và hướng giải quyết:
Sau khi giải xong tình huống “Vua Hùng Vương gả con gái”, giáo viên triển khai
tình huống này và cho học sinh thảo luận nhóm phân tích đề bài, sau đó tùy đối tượng
học sinh có thể cho làm bài theo hình thức kiểm tra thường xuyên để lấy điểm cộng
hoặc cho làm bài tập về nhà.
Để làm được bài tập này, học sinh phải xác định được các giả thiết đã cho và chọn
công thức phù hợp. Theo đề bài, số liệu đã có là 𝑢𝑛 , 𝑢1 , 𝑑, cần xác định yêu cầu cuối

cùng của bài toán là tính được 𝑛 (số tháng để số tiền tăng lên 150 triệu đồng) của hai
gói gửi tiết kiệm, sau đó chọn gói mà 𝑛 nhỏ hơn. Như vậy công thức cần dùng ở đây
là số hạng tổng quát của một cấp số cộng.
Ở gói thứ nhất, việc tính n khá dễ dàng, vì tất cả số liệu trong công thức đã có sẵn.
Ở gói thứ hai, việc tính n phức tạp hơn, do thiếu số liệu 𝑑. Tuy nhiên, nếu tinh mắt
học sinh có thể nhận ra rằng:
23


10.2%/năm = 0.85%/tháng = 1.020 triệu đồng  𝑢′ 1
1%/năm

=

1
12

%/tháng

= 0.1 triệu đồng

 𝑑′

𝑛 cũng chính là 𝑛′
Từ đó có thể tính được 𝑢′ 1 và 𝑢′ 1 chính là số liệu 𝑑 ′ thiếu ở trên.
So sánh số liệu sau khi tính ta sẽ chọn gói thứ hai do
𝑛𝑔ó𝑖 1 ≈ 18 (tháng) > 𝑛𝑔ó𝑖 2 ≈ 14 (tháng).
Tình huống 13 (Sáng tạo)
 Tên bài học: Cấp số cộng
 Nội dung liên quan:

Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng
𝑛(𝑢1 + 𝑢𝑛 )
𝑛(𝑛 − 1)
𝑆𝑛 =
𝑕𝑎𝑦 𝑆𝑛 = 𝑛𝑢1 +
𝑑
2
2
Số hạng tổng quát của một cấp số cộng
𝑢𝑛 = 𝑢1 + 𝑛 − 1 𝑑 𝑣ớ𝑖 𝑛 ≥ 2
 Thời điểm tổ chức: Cuối buổi học
 Thời lượng: 10 phút
 Chuẩn đầu ra: Áp dụng được công thức giải bài tập
 Tình huống:
Hậu Nghệ và Hậu Đậu cùng yêu Hằng Nga – một cô gái xinh đẹp nghiêng thành
đổ nước. Hai người đều tài giỏi như nhau, không biết nên chọn ai để được chồng như
ý. Hằng Nga bèn ra câu đố, ai giải được sẽ trở thành chồng nàng. Câu đố như sau:
Đố vui, vui đố
Cho một dãy số
1, 3, 5, 7, 9,…
Cuối cùng là số 79
Hỏi đây, hỏi đây
Tổng các số hạng đố ai tính liền
Giỏi giang thi với bạn hiền
Đáp nhanh, đáp đúng, ưu tiên được người.

24


Các bạn đã biết, Hằng Nga đã sánh duyên cùng Hậu Nghệ. Tuy nhiên, ít ai biết

rằng Hậu Nghệ phải mất 6,9 phút để giải câu đố này. Các bạn hãy thử xem nếu được
thi với Hậu Nghệ, mình có phải là người chiến thắng không?
 Hướng giải quyết:
𝑢1 = 1
Từ đề bài xác định được các giả thiết 𝑢𝑛 = 79
𝑑 =2
Ta có:
𝑢𝑛 = 𝑢1 + 𝑛 − 1 𝑑
⇔ 79 = 1 + 𝑛 − 1 2
⇔ 𝑛 = 40
Vậy tổng 40 số hạng đầu của cấp số nhân là:
𝑢1+𝑢 𝑛 𝑛
1 + 79 40
Sn =
=
= 1600.
2
2
Học sinh so sánh thời gian tính toán với Hậu Nghệ xem có chiến thắng hay không.
Tình huống 14 (Thu thập)
 Tên bài học: Cấp số nhân
 Nội dung liên quan: Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
𝑢1 (1 − 𝑞𝑛 )
𝑆𝑛 =
𝑣ớ𝑖 𝑆𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑛 𝑣à 𝑞 ≠ 1
1−𝑞
 Thời điểm tổ chức: Dẫn nhập nội dung lí thuyết
 Thời lượng: 10 phút
 Chuẩn đầu ra: Xác định được công thức cần dùng trong tình huống tương tự
 Tình huống: Xây dựng tòa tháp (Ứng dụng của toán học phổ thông vào thực tiễn,

31 tháng 5-2013, p.22)
Các nhà sư dự định xây dựng một tòa tháp 11 tầng tại một ngôi chùa nọ. Theo cấu
trúc, diện tích của mặt sàn tầng trên bằng nửa diện tích mặt sàn tầng dưới, biết diện
tích mặt đáy tháp là 12,28𝑚2 . Lo sợ nhà thầu mua thừa vật liệu gây lãng phí, các nhà
sư muốn tự mình tính toán số lượng gạch hoa dùng để lát nền. Để cho đồng bộ, các
nhà sư yêu cầu nền tháp phải lát gạch hoa cỡ 30cm×30cm. Bạn hãy giúp các nhà sư
tính xem số lượng gạch hoa cần dùng để lát nền tháp là bao nhiêu?
 Cách tổ chức và hướng giải quyết:
Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích tình huống, có thể chia nhóm thảo luận.
Nhận xét rằng số lượng gạch hoa cần dùng phụ thuộc vào diện tích nền tháp. Do vậy,
vấn đề ở đây là cần tính được tổng diện tích của nền tháp.
25