Khái niệm về hình học không gian

1. Phương trình tổng quát của đường thẳngTrong không gian với hệ tọa độ cho
đường thẳng . Ta có thể xem là giao của hia mặt phẳng nào đó. Giả sử:
và .Khi đó điểm thuộc
khi và chỉ khi tọa độ của nó nghiệm đúng hệ phương trình sau:
(1).
Ngược lại, mỗi điểm có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình dạng (1) với điều kiện:
(2) đều nằm trên một đường
thẳng.Hệ phương trình (1) với các điều kiện (2) gọi là phương trình tổng quát cua đường thẳng2.
Phương trình tham số của đường thẳng Đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một
điểm thuộc nó và một vectơ mà đường thẳng chứa song song hoặc
trùng với . Vectơ như vậy gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng .Điềm nằm trên
đường thẳng khi và chỉ khi vectơ cùng phương, tức là có số sao cho .
Điều đó có nghĩa là : hay
Ngược lại, rõ ràng mọi điểm thỏa
mãn hệ phương trình (3) đều nằm trên một đường thẳng.Hệ phương trình (3) với điều kiện
gọi là phương trình tham số của đường thẳng, gọi là tham số.
3. Phương trình chính tắc của đường thẳngGiả sử đường thẳng có phương trình tham số
(3), trong đó đều khác 0. Bằng cách khử tham số trong (3) ta đi đến:
(4)
Trong truờng hợp một trong hai số bằng không thì ta vẫn viết phương trình (4) với quy ước
nếu mẫu số bằng 0 thì tử số cũng bằng 0.Phương trình (4) với điều kiện được gọi là
phương trình chính tắc của đường thẳng.
3. Vectơ đồng phẳng
Định nghĩa Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu ba đường thẳng chứa chúng cùng song song với một
mặt phẳng
Trên hình 24 các đường thẳng chứa 3 vectơ đều song song với mặt phẳng nên ba vectơ
này đồng phẳng.
Từ định nghĩa đó ta suy ra: nếu ta vẽ
thì ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi bốn điểm nằm trên cùng một phẳng.
Định lí 1. Cho 3 vectơ trong đó không đồng thời đồng phương.
Khi đó ba vectơ đồng phẳng nếu và chỉ nếu có các số sao cho

.
Định lí 2. Nếu là ba vectơ không đồng phẳng thì với mọi vectơ ta đều có:

trong đó bộ ba số là duy nhất.
1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian
Cho ba trục vuông góc với nhau từng đôi một và có chung một điển gốc
Gọi là các vectơ đơn vị tương ứng trên các trục trên (h.28).
Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc hoặc đơn giản là hệ tọa độ .
Trục gọi là trục hoành.
Trục gọi là trục tung.
Trục gọi là trục cao.
Điểm gọi là gốc của hệ tọa độ.
Chú ý rằng, vì 3 vectơ là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên:

.
6. Chia một đoạn thẳng theo một tỉ số cho trước
Giả sử điểm chia đoạn thẳng theo một tỉ số
.
Gọi ta có

.
.
Từ đó do nên
.
Đặc biệt nếu thì là trung điểm của , khi đó công thức trên trở thành:
.
Vậy tọa trung điểm của một đoạn thẳng bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của hai điểm mút
của đoạn thẳng ấy.

1. Định lí

Trong không gian với hệ tọa độ
.
Công thức trên gọi là biểu thức tọa độ của tích vô hướng hai vectơ.
Đặc biệt nếu ta có bình phương vô hướng:
.
Do đó độ dài của vectơ được tính theo công thức sau:
.
Ta đã biết hai vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng không:
.
2. Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm là độ dài của vectơ :
.
3. Góc giữa hai vectơ
Nếu là góc giữa hai vectơ
.
.
4. Tích có hướng của hai vectơ
a) Định nghĩa Trong không gian với hệ tọa độ . Vectơ
có tọa độ là ba định thức:

gọi là tích có (hay tích vecotơ) của hai vectơ.
b) Tính chất
i) cùng phương khi và chỉ khi .
ii) .
iii) , trong đó là góc giữa hai vectơ.
c) Diện tích tam giác Trong không gian với hệ tọa độ cho , ta có:
.
e) Thể tích hình hộp
Cho hình hộp . Ta có công thức tính thể tích:
.

Baì 65238
Cho đường thẳng : và mặt phẳng
a) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng .
b) Viết phương trình mặt cầu tâm tiếp xúc với mặt phẳng
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
a) Định nghĩa Vectơ được gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu nó nằm trên
đường thẳng vuông góc với .
Kí hiệu là (h.33)
Chú ý
i) Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, đó là các vectơ khác 0 và vuông góc với mặt phẳng đó,
các vectơ này cùng phương với nhau.
ii) Giả sử một điểm là một điểm thuộc mặt phẳng thì điều kiện cần và đủ để điểm thuộc
mặt phẳng là . Như vậy là tập hợp các điểm sao cho . Một
mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm thuộc nó và một vectơ pháp tuyến của nó.
b) Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng