Bài giản tiểu luận thuyết trình toán rời rạc nphepdem 2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

1


2

NHÓM II
1. Nguyễn Trung Việt
2. Lâm Chí Thiện
3. Y Phen
4. Lý Thành Hậu
5. Trần Quốc Thắng
6. Phạm Văn Thuần
7. Lê Hà Nam
8. Nguyễn Hữu Lợi


Nội dung:
 I.

Các nguyên lí

 II.

Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp. Nhị thức
Newton

 III.

Hoán vị lặp, Chỉnh hợp lặp và Tổ hợp lặp.
Đa thức Newton

 IV.

Đệ quy

3


I. Các nguyên lí:
1. Nguyên lý cộng
 Giả

sử để làm công việc A có 2 phương pháp

Phương pháp

1 có n cách làm

Phương pháp

2 có m cách làm

 Khi

đó số cách làm công việc A là n+m.

4

I. Các nguyên lí:
 Ví

dụ: Nam có 3 áo tay dài, 5 áo tay ngắn. Để chọn
1 cái áo thì Nam có mấy cách?

 Đáp

án: Áp dụng nguyên lí cộng thì:

Phương

pháp 1: Có 3 cách chọn áo dài tay

Phương

pháp 2: Có 5 cách chọn áo ngắn tay

Vậy

để chọn một áo thì Nam có 3 + 5 cách chọn.

5


I. Các nguyên lí:
2. Nguyên lý nhân
 Giả

sử để làm công việc A cần thực hiện 2 bước

Bước

1 có n cách làm

Bước

2 có m cách làm

 Khi

đó số cách làm công việc A là n.m

6


7

I. Các nguyên lí:
 Ví

dụ:
A

 Đáp

B

C

án:
Có 3.2 =6 con đường đi từ A đến C


8

I. Các nguyên lí:

Ví dụ: Cho tập X ={1,2,3,4,5,0}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác
nhau mà chia hết cho 2
 Đáp án: Gọi số có 3 chữ số là abc


TH1: c=0. Khi đó,
 c có 1 cách chọn
 a có 5 cách chọn ( a € X\{0} ) TH1 có 1.4.5 = 20.
 b có 4 cách chọn ( b € X\{ a, 0})
 TH2 . c≠0. Khi đó
 c có 2 cách chọn




a

có 4 cách chọn ( a € X\{c, 0} )

b

có 4 cách chọn ( b € X\{ a, c})

Vậy có 20+32 = 52.

TH2 có 2.4.4 = 32.


I. Các nguyên lí:
3. Nguyên lý chuồng bồ câu (Derichlet)
 Nguyên

lý Dirichlet do nhà toán học người Đức là Dirichlet
đề xuất từ thế kỉ XX đã được áp dụng để chứng minh sự tồn
tại nghiệm trong nhiều bài toán tổ hợp. Nguyên lý này được
phát triển từ mệnh đề gọi là nguyên lý “nguyên lý quả cam”
hay là nguyên lý “chuồng chim bồ câu”: Giả sử có một đàn
chim bồ câu bay vào chuồng. Nếu số chim nhiều hơn số
ngăn chuồng thì chắc chắn có ít nhất một ngăn có nhiều hơn
một con chim.

9


I. Các nguyên lí:
3. Nguyên lý chuồng bồ câu (Derichlet)
 Giả

sử có n chim bồ câu ở trong k chuồng. Khi đó tồn tại ít
nhất một chuồng chứa từ [n/ k] bồ câu trở lên.
 Ví

dụ: Có 20 chim bồ câu ở trong 7 cái chuồng. Khi đó sẽ có ít
nhất 1 chuồng có 3 con bồ câu trở lên

 Trong

ngày

1 nhóm có 367 người thì ít nhất có 2 người sinh cùng

10


I. Các nguyên lí:
 Ví

dụ: Cho tập X ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Lấy A là tập
hợp con của X gồm 6 phần tử. Khi đó trong A sẽ có
hai phần tử có tổng bằng 10

 Đáp

án: Ta lập các chuồng như sau: {1,9} {2,8}
{3,7} {4,6} {5} Do A có 6 phần tử nên trong 6
phần tử đó sẽ có 2 phần tử trong 1 chuồng. Suy ra
đpcm

11

12

I. Các nguyên lí:


4. Nguyên lý bù trừ.
 Cho A và
 |A

B là hai tập hữu hạn. Khi đó

ᴗ B|= |A|+|B| - |A ᴖ B|
A

Aᴖ B

B


I. Các nguyên lí:
 Ví

dụ: Trong một lớp ngoại ngữ Anh Pháp. Có 24 học
sinh học Tiếng Pháp, 26 học sinh học Tiếng Anh. 15
học sinh học Tiếng Anh và Tiếng Pháp. Hỏi lớp có bao
nhiêu người?
 Đáp án:
 Gọi A là

những học sinh học Tiếng Pháp

 Gọi B là những học sinh học Tiếng Anh

đó. Số học sinh của lớp là |A ᴗ B |. Theo nguyên lý bù trừ ta
có |A ᴗ B| = |A|+|B| - |A ᴖB| = 24 + 26 -15 = 35.

 Khi

13


II. Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp. Công thức nhị thức
Newton

2.1 Hoán vị
Bài toán: Trong giờ học môn Giáo dục
quốc phòng, một tiểu đội học sinh gồm
10 người được xếp thành một hàng dọc.
Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

14


II. Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp. Công thức nhị thức
Newton

2.1 Hoán vị


Định nghĩa hoán vị :

Cho tập hợp A gồm n phần tử,mỗi cách sắp đặt có thứ tự
n phần tử của A được gọi là 1 hoán vị của n phần tử.
Áp dụng vào bài toán:

A= { 10 học sinh } ; n =10 >0
Số cách sắp xếp = hoán vị của 10h/s

15


II. Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp. Công thức nhị thức
Newton
2.1 Hoán vị
 Định

lý:

Số các Hoán vị của một tập hợp có n phần tử là:
Pn= n!=n(n-1)....2.1
Quy ước : 0! = 1
AD: số cách sắp xếp = P10

=

10! = 10.9….2.1 =?

VD: Sắp xếp 6 học sinh vào 6 cái ghế. Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp?
Đáp án:

P6 = 6!=1.2.3…6=720

16


II. Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp. Công thức nhị thức
Newton

2.1 Hoán vị
 Ví

dụ 1: Cho A ={a,b,c}. Khi đó A có các hoán vị sau:

abc, acb,

bac, bca,
cab, cba
 Ví

dụ 2:

Cho X ={1,2,3,4,5}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm
5 chữ số khác nhau được tạo từ tập X?
Đáp án: 5!

17


II. Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp. Công thức nhị thức
Newton

2.2 Chỉnh hợp
 Bài

toán: Trong trận chung kết bóng đá phải phân định
thắng thua bằng đá luân lưu 11m . Huấn luyện viên của
mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự
5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ của đội để tham gia đá.
Có bao nhiêu cách sắp xếp danh sách thứ tự 5 cầu
thủ?

18


II. Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp. Công thức nhị thức
Newton
2.2 Chỉnh hợp
 Định

nghĩa chỉnh hợp :

Cho

A là tập hợp gồm n phần tử (khác nhau).
Mỗi bộ gồm k phần tử(0<=k<=n) sắp thứ tự
của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k
của n phần tử.

Số

các chỉnh hợp chập k của n phần tử ký hiệu

là: Ank

n!
A 
(n  k )!
k
n

19


II. Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp. Công thức nhị thức
Newton

2.2 Chỉnh hợp
Áp

dụng vào bài toán: Số cách sắp
xếp chính là chỉnh hợp chập 5 của
11 .



A =
5

11

11!
(11  5)!

=?

20


II. Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp. Công thức nhị thức
Newton

2.2 Chỉnh hợp
Nhận

xét:

 Hai

Chỉnh hợp khác nhau khi và chỉ khi hoặc
có ít nhất một phần tử của Chỉnh hợp này
không là phần tử của Chỉnh hợp kia hoặc các
phần tử của Chỉnh hợp giống nhau nhưng
được sắp xếp theo thứ tự khác nhau.

 TH:

n =k : chính là hoán vị của n.

21


II. Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp. Công thức nhị thức

Newton
2.2 Chỉnh hợp
dụ 1: Cho X ={abc}.

Ví

Khi

đó X có các chỉnh hợp chập 2 của 3 có
thứ tự là:
ab, ba, ac, ca, bc, cb

dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số
được tạo thành từ 1,2,3,4,5,6.

Ví

Kết

quả: 𝐴36 .

22


II. Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp. Công thức nhị thức
Newton

2.3 Tổ hợp
Bài

toán:

Một

nhóm có 8 thành viên, chọn 3
người lên thuyết trình. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn????

23


II. Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp. Công thức nhị thức
Newton

2.3 Tổ hợp
 Định

nghĩa:

 Cho

A có n phần tử và số nguyên k với 0 ≤ k ≤ n . Mỗi tập
con của A có k phần tử gọi là một tổ hợp chập k của n phần
tử(gọi tắt là tổ hợp chập k của A).

 Định

lý: Số các tổ hợp chập k của n phần tử

với (0 ≤ k ≤ n) là:

C

k
n

n!
=
k!(n  k )!

24


II. Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp. Công thức nhị thức
Newton
 2.3

Tổ hợp

Áp dụng vào bài toán:
Số cách chọn : = tổ hợp chập 3 của 8 .

C =
3

8

8!
3!(8  3)!

=?

25