Nhóm 4:
Lê Bá Nhựt
-10520397
Lê Thị Hường
-10520528
Lê Thị Ánh Tuyết -10520641
Nguyễn Đức Duy - 10520502
Lớp MAT04
1
Đại số Bool
Giảng viên: TS. Cao Thanh Tình
2
Nội Dung Chính
Hàm Bool
Các dạng biểu diễn hàm Bool
Biểu đồ Karnaugh cho hàm Bool
Thuật toán tìm công thức đa thức tối tiểu cho hàm Bool
Hàm Bool của mạch điện
Bài tập
Đại số Bool
HÀM BOOL
3
Nội Dung Chính (tt)
I.
II.
Hàm Bool
1. Đại số Bool nhị phân
2. Hàm Bool
3. Đại số Bool của các hàm Bool
Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
1. Từ đơn
2. Đơn thức
3. Đơn thức tối tiểu trong Fn
4. Đa thức trong Fn
5. Dạng nối rời chính tắc của hàm Bool
6. Cách tìm dạng nối rời chính tắc của hàm Bool
7. Mệnh đề
8. So sánh các dạng đa thức của hàm Bool
9. Công thức đa thức tối tiểu cho hàm Bool
Đại số Bool
4
Nội Dung Chính (tt)
III.
IV.
V.
VI.
Biểu Đồ Karnaugh Cho Hàm Bool
1. Bảng mã
2. Biểu đồ Karnaugh cho hàm Bool
3. Nhận xét
4. Tính chất
5. Biểu đồ của 1 đơn thức
6. Biểu đồ của đa thức
7. Tế bào và tế bào lớn
Thuật Toán Tìm Công Thức Đa Thức Tối Tiểu Cho Hàm Bool
1. Họ phủ và họ phủ tối tiểu
2. Thuật toán
Đại Số Các Mạch Điện
1. Hàm Bool của mạch điện
2. Các loại cổng cớ bản
3. Thiết kế mạng các cổng tổng hợp hàm Bool
4. Tối ưu hóa việc thiết kế mạng các cổng tổng hợp hàm Bool
Bài Tập
Đại số Bool
HÀM BOOL
5
Đại số Bool
6
I.
Hàm Bool
George Boole
(1815-1864)
Đại số Bool
7
I.
Hàm Bool
1.
Đại số Bool nhị phân:
Đại số bool của các số nhị phân cũng thỏa các trường hợp (luật) như trong
mệnh đề.
Luât phủ định kép
¬ ¬E <=> E
Luật lũy đẳng
E ˄ E <=> E
E ˅ E <=> E
Luật giao hoán
F˄ E <=> E ˄ F
F ˅ E <=> E ˅ F
Luật kết hợp
(E ˄ F) ˄ G <=> E ˄ (F ˄ G)
(E ˅ F) ˅ G <=> E ˅ (F ˅ G)
Luật phân phối
E ˄ (G ˅ F) <=> (E ˄ G) ˅ (E ˄ F)
E ˅ (G ˄ F) <=> (E ˅ G) (E ˅ F)
Luật phủ định De-Morgan
¬ (E ˄ F) <=> ¬E ˅ ¬F
¬ (E ˅ F) <=> (¬E) ˄ (¬F)
Luật hấp thụ
E ˄ (E ˅ F) <=> E ; E ˅ (E ˅ F) <=> E
Luật trung hòa
E ˄ 1 <=> E
E ˅ 0 <=> E
Luật thống trị
E ˄ 0 <=> 0
E ˅ 1 <=> 1
Luật bù
E ˄ ¬E <=> 0
E ˅¬E <=> 1
Luật kéo theo
E → F <=> ¬E ˅ F
Phủ định kéo theo
¬( E → F) <=> E ˄ ¬F
Đại số Bool
8
I.
2.
Hàm Bool
Hàm Bool:
a. Định nghĩa Chon ≥ 1 và n ∈ N .
Hàm Bool n biến là ánh xạ f : Bn → B, trong đó B = {0, 1}
Một hàm Bool n biến là một hàm số có dạng f = f(x1 ,x2,…,xn), trong đó
mỗi biến trong x1, x2,…, xn và f chỉ nhận giá trị trong B = {0, 1}
Ký hiệu Fn để chỉ tập các hàm Bool n biến.
Ví dụ: Biểu thức logic E = E(p1,p2,…,pn) theo n biến p1, p2,…, pn là một
hàm Bool n biến.
Đại số Bool
9
I.
Hàm Bool
2.
Hàm Bool:
b. Bảng chân trị
Xét hàm Bool n biến f(x1,x2,…,xn)
Vì mỗi biến xi chỉ nhận hai giá trị 0, 1 nên chỉ có 2n trường hợp
của bộ biến (x1,x2,…,xn).
Do đó, để mô tả f ta có thể lập bảng gồm 2n hàng ghi tất cả các
giá trị của f tùy theo 2n trường hợp của biến. Ta gọi đây là bảng
chân trị của f.
Đại số Bool
I.
Hàm Bool
2.
10
Hàm Bool:
b. Bảng chân trị
Ví dụ: cho mạch điện như hình vẽ
A
M
N
B
C
Tùy theo cách trạng thái cầu dao A, B, C mà ta sẽ có dòng điện đi qua
MN.
Bảng giá trị
Đại số Bool
11
I.
Hàm Bool
3.
Các phép toán trên hàm Bool:
Với f , g ∈ F n ta định nghĩa tổng, tích, bù hàm Bool của f và g như sau
f ∨ g = ( f + g)
f ∧ g = fg = f .g
f = 1− f
Đại số Bool
12
I.
Hàm Bool
3.
Các phép toán trên hàm Bool:
Ví dụ: n = 2
X1
1
1
0
0
X2
1
0
1
0
0(x1, x2)
0
0
0
0
1(x1, x2)
1
1
1
1
f(x1, x2)
0
1
0
1
g(x1, x2)
1
1
0
0
¬
f(x1, x2)
1
0
1
0
¬
g(x1, x2)
0
0
1
1
f g(x1, x2)
0
1
0
0
f V g(x1, x2)
1
1
0
1
Đại số Bool
Các Dạng Biểu Diễn
Hàm Bool
13
Đại số Bool
14
II. Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
1.
Từ đơn:
Xét tập hợp các hàm Bool của n biến Fn theo n biến x1 ,x2,…,xn.
Mỗi hàm bool xi hay ¬ xi được gọi là từ đơn.
Ví dụ: x1, x2, x3,…
2.
Đơn thức:
Là tích khác không của một số hữu hạn từ đơn.
Hay có thể hiểu là: Tích Bool của 1 hay nhiều từ đơn sao cho tích này khác 0.
Ví dụ: Trong F4 xét x3, x1x2, x1x2x3x4 (bậc của đơn thức là số thành phần x)
Trong Fn các đơn thức có bậc từ 1 đến n
x, ¬x, y, ¬y, z, ¬z, t, ¬t là các từ đơn
x¬yz ¬t, ¬x ¬yt là các đơn thức
Đại số Bool
15
II. Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
3.
Đơn thức tối tiểu trong Fn:
Là đơn thức có bậc cao nhất bằng n trong Fn.
Dạng tổng quát m = y1y2...yn, yi = xi hoặc ¬xi 1 ≤ i ≤n
Ví dụ: Trong F4 xét các đơn thức tối tiểu bậc 4
x1x2x3x4, x1¬x2x3x4, x1x2x3x4, ¬x1¬x2¬x3¬x4
4.
Đa thức trong Fn:
Là tổng Bool các đơn thức f = u1 V u2 V u3 V…V uk, trong đó ui là các đơn thức.
Ví dụ: Trong F5 xét đa thức
f(x1,x2,x3,x4) = x1¬x5 V ¬x2x3¬x4 V ¬x3 V ¬x1x3x4x5
=> Tổng Bool 4 đơn thức f(1,0,1,1,0)=1¬0V¬01¬1V¬1V¬1110 = 1
Đại số Bool
16
II. Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
5.
Dạng nối rời chính tắc của hàm Bool:
Cho f thuộc Fn , f có thể viết dưới dạng sau
f = m1 V m2 V m3 V …V mk, (*)
với mi là các đơn thức tối tiểu bậc = n (i = 1…n )
(*) được gọi là dạng nối rời chính tắc của f
Ví dụ: Trong F4 có dạng biểu diễn sau đây
f(x,y,z,t) = x¬y¬zt V ¬xyzt V xy¬z¬t có dạng (*)
Đại số Bool
17
II. Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
6.
Cách tìm dạng nối rời chính tắc của hàm Bool:
Có 2 cách để xác định dạng nối rời chính tắc của một hàm Bool
Cách 1: Bổ sung từ đơn còn thiếu vào các đơn thức
Bước 1: Khai triển hàm Bool thành tổng của các đơn thức
Bước 2: Với mỗi từ đơn thu được ở bước 1, ta nhân đơn thức đó với
các tổng dạng với xi là những từ đơn bị thiếu trong đơn thức đó
Bước 3: Tiếp tục khai triển hàm thu được ở bước 2 và loại bỏ những
đơn thức bị trùng. Công thức đa thức thu được chính là dạng nối rời
chính tắc của hàm Bool ban đầu
Ví dụ: Trong F3 tìm dạng nối dời chính tắc f(x,y,z)= ¬x V ¬yz V xy¬z
f = ¬x(y V ¬y).(z V ¬z) V (¬x V x)¬yz V xy¬z
f = ¬xyz V ¬xy¬z V ¬x¬yz V ¬x¬y¬z V ¬x¬yz V x¬yzVxy¬z (*)
(*) Chính là dạng nối rời chính tắc
Đại số Bool
18
II. Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
6.
Cách tìm dạng nối rời chính tắc của hàm Bool:
Có 2 cách để xác định dạng nối rời chính tắc của một hàm Bool
Cách 2: dùng bảng chân trị. Để ý đến các vector bool trong bảng chân trị
mà f=1, tại đó Vector bool thứ k là u1, u2,…, un mà f(u1, u2,…, un) = 1.
Ví dụ: cho f(x,y) = x V ¬y. Tìm biểu thức dạng nối rời chính tắc của f
Lập bảng chân trị của f
Các thể hiện làm cho f = 1 là 00, 10, 11 lập được các từ tối tiểu tương ứng.
Vậy dạng nối rời chính tắc của f là f(x,y) = ¬x ¬y V x ¬y V xy
Đại số Bool
19
II. Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
7.
Mệnh đề:
f ∈ Fn Khi đó,
f có thể có nhiều dạng đa thức khác nhau , ta chọn ra các công thức đơn
giản nhất có thể được. Chúng chính là các công thức đa thức tối tiểu
của f.
f chỉ có một dạng nối dời chính thức duy nhất (không tính sự hoán đổi
của các đơn thức).
Đại số Bool
20
II. Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
8.
So sánh các dạng đa thức của hàm Bool:
f ∈ Fn và f có 2 dạng đa thức
f = u1 V u2 V… V up (1)
f = v1 V v2 V… V vq (2)
a.
Ta nói (1) và (2) đơn giản ngang nhau nếu
p=q
deg(uj) = deg(vj) (1 ≤ j ≤ p)
b.
Ta nói (1) đơn giản hơn (2) hay (2) phức tạp hơn (1)
p≤q
deg(uj) ≤ deg(uj) (1 ≤ j ≤ p)
chú ý:
Có thể hoán vị v1, v2, …,vq trước khi so sánh bậc nếu cần thiết
Có thể có những cặp đa thức không so sánh được
Đại số Bool
21
II. Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
8.
So sánh các dạng đa thức của hàm Bool:
Ví dụ:
a. f ∈ F4 có 3 dạng đa thức
f(x,y,z,t) = x ¬y ¬t V ¬xyz V x ¬z ¬ t V xyz (1)
= x ¬y ¬t V ¬xyz V xy ¬z V yzt (2)
= x ¬y ¬t V ¬xyzt V ¬xyz ¬t V xy ¬z V yzt (3)
(1) và (2) đơn giản ngang nhau
vì
p=q=4
deg(uj) = deg(vj) = 3
(2) đơn giản hơn (3) hay (3) phức tạp hơn (2)
vì
q=4
deg(vj) ≤ deg(qj)
Đại số Bool
22
II. Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
8.
So sánh các dạng đa thức của hàm Bool:
Ví dụ:
b. g ∈ F4 có 2 dạng đa thức
g(x,y,z,t) = x ¬yz V z ¬t V ¬xyz V ¬xy ¬zt (4)
= z ¬t V x ¬yzt V ¬xyzt V ¬xy ¬zt (5)
ta thấy: p = q = 4
d(u1) > d(v1); d(u2) < d(v2)
nên cần phải hoán vị
(5) x ¬yzt V z ¬t V ¬xyzt V ¬xy ¬zt (5`) (q` = 4)
(4) đơn giản hơn 5`
vì
p = q` = 4
deg(uj) ≤ deg(wj)
Đại số Bool
BIỂU ĐỒ KARNAUGH
23
Đại số Bool
24
III. Biểu Đồ Karnaugh
1. Công thức đa thức tối tiểu:
Với f ∈ Fn khi đó:
f có thể có 1 hay nhiều dạng đa thức khác nhau. Ta
chọn ra các dạng đa thức đơn giản nhất có thể được,
đó chính là các công thức đa thức tối tiểu của hàm
bool f.
Ta có thể tìm
các đa thức tối tiểu của hàm bool bằng
phương pháp biểu đồ karnaugh(Hàm bool không quá 4
biến).
Đại số Bool
25
III. Biểu Đồ Karnaugh
2. Bảng mã: B = {0;1}
Bảng mã cho B2 ( 2 biến bool x và y)
x
x
y
11
01
y
10
00
Bảng mã cho B3 (3 biến bool x, y, z)
z
z
x
x
x
x
101
111
011
001
100
110
010
000
y
y
y
y
Đại số Bool